Chương VI: Uốn phẳng
1. Khái niệm về uốn phẳng:
Quan sát - Một người nhảy cầu (H.6.1).
- Cầu trục nâng hàng (H.6.2).
- Thanh có mặt cắt đối xứng (H.6.3).
Như vậy một thanh chịu uốn phẳng không Những chỉ chịu tác dụng của các lực có đường tác dụng nằm trong mặt phẳng đối xứng và có phương vuông góc với trục thanh mà còn chịu tác dụng của ngẫu lực nằm trong mặt phẳng đối xứng đó.
o
a
b
c
d
Quan sát thanh (H. 6.3) có:
+ mặt phẳng chứa các ngoại lực tác dụng gọi là mặt phẳng tải trọng.
+ Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt là đường tải trọng.
+ Thanh chịu uốn được gọi là dầm
2. Nội lực trong dầm chịu uốn phẳng:
Giả sử dầm có mặt cắt đối xứng chịu uốn phẳng bởi một lực P (H.6.4).
a. Xác định phản lực tại A và B

b.Xác định nội lực
Dùng mặt cắt 1-1 cách A một khoảng là z cắt dầm làm 2 phần và xét cân bằng phần trái.
- Phải thêm vào mặt cắt các thành phần nội lực là: Q và Mx.
Theo điều kiện cân bằng tĩnh học ta có:



:Q được gọi là lực cắt
:Mx được gọi mô men uốn nội lực
+ định nghĩa: Một thanh chịu uốn phẳng khi trên mặt cắt của nó tồn tại đồng thời hai thành phần nội lực đó là lực cắt Q và mô men uốn Mx
* Quy ước dấu của nội lực
- Lực cắt Q có dấu dương nếu quay pháp tuyến ngoài của mặt cắt 900 theo chiều kim đồng hồ sẽ trùng với Q (H.6.5 a,b)

- Lực cắt Q có dấu âm nếu quay pháp tuyến ngoài 900 ngược chiều kim đồng hồ sẽ trùng với Q (H.6.5.c.d)

- Mô men uốn có dấu dương nếu nó làm cho phần dầm đang xét dãn thớ dưới (H.6.6.a,b)

- Mô men uốn có dấu âm nếu nó làm cho phần dầm đang xét dãn thớ trên. (H.6.6.c,d)

Q > 0
Q < 0
Mx > 0
Mx < 0
3. Biểu đồ nội lực


1. Các bước vẽ biểu đồ:
a) Xác định các phản lực.
b) Phân đoạn dầm và thiết lập biểu thức Q, Mx trên từng đoạn đó.
c) Dựa vào biểu thức Q và Mx đã thiết lập để vẽ biểu đồ.

+ Với biểu đồ lực cắt:
- Nếu Q > 0 biểu diễn lên phía trên trục chuẩn.
- Nếu Q < 0 biểu diễn xuống phía dưới trục chuẩn.

+ Với biểu đồ mô men uốn:
- Nếu mô men uốn Mx > 0 (thớ dưới dãn) ta biểu diễn xuống phía dưới trục chuẩn.
- Nếu mô men uốn Mx < 0 (thớ trên dãn) ta biểu diễn lên phía trên trục chuẩn.
Tóm lại đối với biểu đồ mô men uốn ta luôn biểu diễn về phía thớ của dầm bị dãn

2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Vẽ biểu đồ lực cắt và mô men uốn cho dầm AB đặt trên hai gối đỡ chịu tác dụng của lực P (H6.7)
2
2
1
1
YA
Mx1
Q1
Mx2
Q2
+ Ta có phản lực tại hai gối đỡ là:

+ Chia dầm ra hai đoạn: AC và CB.
- Trên đoạn AC dùng mặt cắt 1- 1. Khảo sát phần trái ta có:

- Trên đoạn AC dùng mặt cắt 2- 2. Khảo sát phần phải ta có:

Vậy lực cắt trên AC là hằng số bằng (Pb/l)
Với biểu đồ Mx
Cho Z1= 0 ? Mx1= 0;
Cho Z1= a ? Mx1=Pab/l

Vậy lực cắt trên CB là hằng số bằng (-Pa/l)
Với biểu đồ Mx
Cho Z2= 0 ? Mx2= 0;
Cho Z2= b ? Mx2=Pab/l

(6-1)
(6-2)
(6-3)
(6-4)
Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AB (H.6.8)
Phương trình cân bằng:
Chia dầm làm 3 đoạn: (CA; AD; DB)
+ Trên đoạn CA dùng mặt cắt 1- 1 xét cân bằng phần trái:
Biểu đồ trên đoạn CA được vẽ như sau:
Từ (6-5) vẽ được biểu đồ Q1
Cho z1=0 ? Q1= - qa
Cho z1=a ? Q1= - 2qa
Từ (6-6) vẽ được biểu đồ Mx1
Cho z1=0 ? Mx1= 0
Cho z1=a ? Mx1= -1,5qa2

(6-5)
(6-6)
F
E
+ Trên đoạn AD dùng mặt cắt 2- 2 xét cân bằng phần trái:
Biểu đồ trên đoạn AD được vẽ như sau:
Từ (6-7) vẽ được biểu đồ Q2
Cho z2=a ? Q2= 2qa
Cho z2=4a ? Q2= - qa
Từ (6-8) vẽ được biểu đồ Mx2
Cho z2=a ? Mx2= -1,5qa2
Cho z2=4a ? Mx2= 0.
Tại mặt cắt F có Q2 = 0 nên tại đó mô men uốn Mx2 có cực trị.
Mặt cắt F cách A một khoảng là: AF = 2FD=2a.
Vây:


Có thể xác định được vị trí của mặt cắt E bằng cách cho:
Giải phương trình trên ta xác định được vị trí của mặt cắt E có Mx2 = 0 cách C là 1,876a
(6-7)
(6-8)
F
q
P=qa
YA
z2
A
C
E
+ Trên đoạn DB dùng mặt cắt 3- 3 xét cân bằng phần phải:
Biểu đồ trên đoạn DB được vẽ như sau:
Từ (6-9) vẽ được biểu đồ Q3
Thấy Q3 là hằng số bằng (- qa) nên biểu đồ là đường thẳng song song với trục chuẩn
Từ (6-10) vẽ được biểu đồ Mx3
Cho z3=0 ? Mx3= 0
Cho z3=a ? Mx3= qa2.

(6-9)
(6-10)
4. định lý Gui-Rap-Xki
a. đạo hàm bậc nhất của lực cắt Q theo trục z tại một mặt cắt nào đó bằng cường độ phân bố tải trọng q tại mặt cắt đó:
b. đạo hàm bậc nhất của mô men uốn theo trục z tại một mặt cắt nào đó bằng lực cắt Q tại mặt cắt đó:
c. đạo hàm bậc hai của lực cắt Q theo trục z tại một mặt cắt nào đó bằng cường độ phân bố tải trọng q tại mặt cắt đó:
Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AB (H.6.8)
Phương trình cân bằng:
z1
Q1
-qa
-2qa
-1,5qa2
Q
Mx
Chia dầm làm 3 đoạn: (CA; AD; DB)
+ Trên đoạn CA dùng mặt cắt 1- 1 xét cân bằng phần trái:
Biểu đồ trên đoạn CA được vẽ như sau:
Với biều đồ Q
Cho z1=0 ? Q1= - qa
Cho z1=a ? Q1= - 2qa
Với biểu đồ Mx
Cho z1=0 ? Mx1= 0
Cho z1=a ? Mx1= -1,5qa2

Ví dụ 2: Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AB (H.6.8)
Phương trình cân bằng:
Chia dầm làm 3 đoạn: (CA; AD; DB)
+ Trên đoạn CA dùng mặt cắt 1- 1 xét cân bằng phần trái:
Biểu đồ trên đoạn CA được vẽ như sau:
Từ (6-5) vẽ được biểu đồ Q1
Cho z1=0 ? Q1= - qa
Cho z1=a ? Q1= - 2qa
Từ (6-6) vẽ được biểu đồ Mx1
Cho z1=0 ? Mx1= 0
Cho z1=a ? Mx1= -1,5qa2

(6-5)
(6-6)
F
E
+ Trên đoạn AD dùng mặt cắt 2- 2 xét cân bằng phần trái:
Biểu đồ trên đoạn AD được vẽ như sau:
Từ (6-7) vẽ được biểu đồ Q2
Cho z2=a ? Q2= 2qa
Cho z2=4a ? Q2= - qa
Từ (6-8) vẽ được biểu đồ Mx2
Cho z2=a ? Mx2= -1,5qa2
Cho z2=4a ? Mx2= 0.
Tại mặt cắt F có Q2 = 0 nên tại đó mô men uốn Mx2 có cực trị.
Mặt cắt F cách A một khoảng là: AF = 2FD=2a.
Vây:


Có thể xác định được vị trí của mặt cắt E bằng cách cho:
Giải phương trình trên ta xác định được vị trí của mặt cắt E có Mx2 = 0 cách C là 1,876a
(6-7)
(6-8)
Câu hỏi và bài tập
Câu 1: Nêu định nghĩa thanh chịu uốn phẳng? lấy ví dụ trong thực tế?
Câu 2: Nêu các bước vẽ biểu đồ nội lực của một dầm chịu uốn phẳng?
Câu 3: Vẽ biểu đồ nội lực cho các dàm chịu uốn dưới đây:
- Nêu được khái niệm và định nghĩa một thanh chịu uốn phẳng.
Chỉ ra được các thành phần nội lực trên mặt cắt của thanh.
Quy ước dấu của lực cắt và mô men uốn nội lực.
Thứ tự các bước vẽ biểu đồ nội lực.
Vận dụng định lý Gui-Rap-Xki để kiểm tra biểu đồ đã vẽ.