Bài 2: Vị trí tương đối của một mặt cầu với mặt phẳng và đường thẳng
Trong m?t ph?ng, cho đường tròn C(O;R) và đường thẳng a.
Khi thay đổi vị trí của đường thẳng a(3 vị trí sau) thì đại lượng nào thay đổi theo?
o.
R
M
N
(C)
H
Giữa đường C(O;R) và đường thẳng a có 3 vị trí tương đối sau:
Hãy bổ sung các mệnh đề sau cho hoàn chỉnh ?
Giải
( OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng a)
Tương tự như trên, ta cố định mặt cầu S(O;R) và thay đổi vị trí của mặt phẳng (P).
Xác định các vị trí của mặt phẳng (P) ?
Sự thay đổi vị trí của mặt phẳng (P) kéo theo sự thay đổi của đại lượng nào?
So sánh đại lượng đó với R ?
Trong từng vị trí của mặt phẳng (P), hãy cho biết trường hợp nào mặt cầu và mặt phẳng có điểm chung ?
Cho một mặt cầu S(O;R) và một mặt phẳng (P) bất kỳ.
Cho một mặt cầu S(O;R) và một mặt phẳng (P) bất kỳ.
H
M
Cho một mặt cầu S(O;R) và một mặt phẳng (P) bất kỳ.
Cho một mặt cầu S(O;R) và một mặt phẳng (P) bất kỳ.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mp(P) và d = OH là khoảng cách từ O đến mp(P)
Th1: d > R
?M ? (P),OM ? OH > R
? M nằm ngoài mặt cầu
mọi điểm của (P) đều nằm ngoài mặt cầu (S).
Th2: d = OH = R
Điểm H gọi là tiếp điểm
Khi đó ta nói : Mp(P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại H
Mp(P) gọi là tiếp diện của mặt cầu (S)
? H ? (S)
?M ? (P), M ? H OM > OH = R
? M nằm ngoài mặt cầu (S)
Th3: d = OH < R
Vậy : (S) ? (P) = C(H;r) trong đó
?M ? (S) ? (P)
Chú ý: khi d = 0
thì O ? (P), H ? O
và (S) ? (P) = C(O;R)
C(O;R) được gọi là đường tròn lớn của mặt cầu S(O,R)
d = OH > R
d = OH = R
d = OH < R
d = OH = 0 < R
d = OH < R
d = OH = R
d = OH > R
Ví dụ: xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) và mặt cầu S(O;R) biết khoảng cách từ O đến (P) là d=R/2.
d
r
Gọi H là hình chiếu của O lên (P).
(P) Có cắt mặt cầu hay không?
Ta có d=OH=R/2
Do dGiải
Nếu đường thẳng a đi qua điểm O thì Đường thẳng a cắt mặt cầu S(O,R) tại 2 điểm A, B.
Nếu đường thẳng a không đi qua điểm O thì tồn tại duy nhất một mặt phẳng chứa a và O . Để tiện nghiên cứu ta đặt (O,a) = (P).
Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng a và d = OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng a
* TH1: d > R
khi đó a ? (C) = ?
Điểm chung của đường thẳng a và mặt cầu S(O;R) nếu có sẽ nằm trong tập hợp nào ?
C(O;R)
* TH2: d = R
Điểm H gọi là tiếp điểm của a và (S)
Khi đó ta nói : Đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(O;R) tại H
Đường thẳng a được gọi là tiếp tuyến của mặt cầu (S)
(C)
khi đó a ? (C) = {H}
* TH3: d < R
(C)
d = OH = 0
d = OH < R
d = OH = R
d = OH > R
H
D
C
B
Giải:
Ta có AB là tiếp tuyến nên
Gọi H là h/c của O lên CD, ta có OC=OD=a
Nên tam giác OCD cân tại O, suy ra H là trung điểm CD
Ta có
Vậy khoảng cách từ O đến CD là a/2
M
Cho một mặt cầu S(O;R) và một mặt phẳng (P) bất kỳ.