Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 1
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

,
Biến cố ngẫu nhiên: Những sự việc, những sự kiện, những hiện tượng có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra và nó không phụ thuộc vào một kết quả, kết cục nào trong khi thực hiện một phép thử, một thí nghiệm là một biến cố ngẫu nhiên. Các biến cố ngẫu nhiên thường được ký hiệu bởi các chữ in hoa: A, B, C, ...
Biến cố sơ cấp: Mỗi kết quả, kết cục (loại trừ nhau) có thể xảy ra trong một phép thử, một thí nghiệm là một biến cố sơ cấp. Các biến cố sơ cấp thường được ký hiệu bởi các chữ thường: a, b, c, ...
§1. Các khái niệm và ví dụ
1.1  Các khái niệm
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 2
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
Không gian các biến cố sơ cấp: Tập hợp tất cả các biến cố sơ cấp trong một phép thử, một thí nghiệm gọi là Không gian các biến cố sơ cấp của phép thử, thí nghiệm đó và ký hiệu bởi Ω.
Biến cố chắc chắn: Những sự việc, những sự kiện, những hiện tượng luôn xảy ra khi thực hiện một phép thử, một thí nghiệm là một biến cố chắc chắn và ký hiệu bởi Ω.
Biến cố không thể có: Những sự việc, những sự kiện, những hiện tượng không bao giờ xảy ra khi thực hiện một phép thử, một thí nghiệm là một biến cố không thể có và ký hiệu bởi Ø.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 3
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
Ví dụ : Gieo 1 con xúc xắc
sự kiện xuất hiện mặt có mấy chấm là biến cố ngẫu nhiên;
sự kiện xuất hiện mặt có nhiều hơn 6 chấm là biến cố không thể có;
sự kiện xuất hiện mặt có số chấm từ 1 đến 6 là biến cố chắc chắn;
tập hợp các sự kiện xuất hiện các mặt 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm, 4 chấm, 5 chấm, 6 chấm là không gian các biến cố sơ cấp Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 4
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.2.  Mối quan hệ
 
-  Kéo theo: Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B và được ký hiệu là A => B, nếu có sự xảy ra của biến cố A thì có sự xảy ra của biến cố B.
 
-  Xung khắc: Hai biến cố A, B gọi là xung khắc với nhau và được ký hiệu là A ∩ B = Ø, nếu và chỉ nếu A và B không thể cùng xảy ra.
-  Đối lập: Hai biến cố A, B gọi là đối lập với nhau và được ký hiệu là B = Ā = Ω\A, nếu và chỉ nếu nhất thiết phải có A xảy ra hoặc B xảy ra, nhưng chúng không cùng xảy ra.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 5
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
Ví dụ : Gieo 2 con xúc xắc, gọi A là biến cố xuất hiện 2 mặt có số chấm như nhau, B là biến cố có tổng số chấm là số chẵn, C là biến cố có tổng số chấm là số lẻ. Khi đó ta có biến cố A kéo theo biến cố B, hai biến cố A, B khác nhau (biến cố B không kéo theo biến cố A), hai biến cố A và C xung khắc với nhau, hai biến cố B và C đối lập với nhau.
 
Ví dụ: Một hộp đựng 5 bi đỏ và 3 bi xanh kích thước như nhau, bốc ngẫu nhiên ra 4 bi, gọi A là biến cố bốc ra được số lẻ bi đỏ, B là biến cố bốc ra được ít nhất 1 bi đỏ, C là biến cố bốc ra không có bi đỏ.
Khi đó ta có: A => B; A ≠ B;  A∩C = Ø;  B∩C = Ø; 
B = Ω\C;    C = Ω\B;
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 6
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.3.  Các phép toán về biến cố
-  Phép cộng (hợp): Tổng của hai biến cố A và B là biến cố C và ký hiệu là: A+B (hoặc A∪B = C), xảy ra nếu và chỉ nếu có ít nhất 1 trong 2 biến cố A, B xảy ra.
-  Phép nhân (giao): Tích của hai biến cố A và B là biến cố C và ký hiệu là: AxB (hoặc A∩B = C), xảy ra nếu và chỉ nếu cả 2 biến cố A, B cùng xảy ra.
- Phép trừ (hiệu): Hiệu của biến cố A và B (theo thứ tự đó) là biến cố C và ký hiệu là: A-B = C (hoặc A\B), xảy ra nếu và chỉ nếu biến cố A xảy ra và biến cố B không xảy ra.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 7
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.4.  Hệ đầy đủ các biến cố
 Một dãy n biến cố: A1, A2, A3, ..., An trong cùng một phép thử, lập thành một hệ đầy đủ các biến cố nếu thoả hai điều kiện:  A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪...∪ An = Ω  và 
Ai ∩ Aj  = Ø    /i, j = 1, 2, ..., n;
Ví dụ : Gieo một hạt giống, gọi A là biến cố hạt giống nảy mầm thì {A, Ā} là hệ đầy đủ các biến cố.
Ví dụ:  Kiểm tra phân loại theo thứ tự một lô hàng gồm n sản phẩm thành 2 loại tốt hoặc xấu, ký hiệu Ak (k = 1, 2, 3, ..., n) là biến cố kiểm tra sản phẩm thứ k thuộc loại xấu. Hãy biểu diễn các biến cố sau:
    a) A = Cả n sản phẩm đều là sản phẩm xấu.
    b) B = Có ít nhất 1 sản phẩm xấu.
    c) C = Cả n sản phẩm đều là sản phẩm tốt.
    d) D = Có ít nhất 1 sản phẩm tốt.
    e) E = Có m sản phẩm đầu là xấu còn lại là tốt.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 8
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.5.  Định nghĩa xác suất theo cổ điển
 
1.5.1. Định nghĩa: Trong một phép thử, thí nghiệm ngẫu nhiên có n kết cục (loại trừ lẫn nhau) có thể xảy ra với khả năng như nhau, khi đó không gian các biến cố sơ cấp có n biến cố sơ cấp: Ω = {a1, a2, ..., an}. Nếu một biến cố A có m biến cố sơ cấp thuận lợi (m ≤ n) thì xác suất của biến cố ngẫu nhiến A được xác định là P(A) = m/n
Tức là: P(A) = (số khả năng thuận lợi xuất hiện biến cố A)/(số khả năng có thể xảy ra)
- Ta thấy: Xác xuất biến cố chắc chắn bằng 1 (vì m = n); xác xuất biến cố không xảy ra bằng 0 (vì m = 0); xác xuất hiện biến cố A bất kỳ là 0 ≤ m/n ≤ 1 (vì m ≤ n).
Cho nên: P(Ω) = 1;    P(Ø) = 0;     0 ≤ P(A) ≤ 1 với A là biến cố bất kỳ.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 9
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.5.2.  Các ví dụ

Ví dụ 1:  Một hộp đựng hạt giống trong đó có 16 hạt tốt và 4 hạt xấu, bốc ngẫu nhiên ra 5 hạt. Tính xác xuất của các biến cố sau
a) A = Trong 5 hạt bốc ra có 4 hạt tốt.
        b) B = Trong 5 hạt bốc ra có ít nhất 1 hạt tốt.
        c) C = Trong 5 hạt bốc ra có ít nhất 4 hạt tốt.
        d) D = Trong 5 hạt bốc ra có nhiều nhất 4 hạt tốt.
- Giải:        Số khả năng có thể xảy ra khi bốc ngẫu nhiên ra 5 hạt trong 20 hạt là C520 = 15504.
    a)  Số khả năng thuận lợi cho A là: C416.C14 = 7280
        Ta có : P(A) = 7280/15504 = 0,4696
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 10
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
    b) -   Số khả năng thuận lợi cho B là:
C116.C44 + C216.C34+C316.C24+C416.C14+C516.C04 = 15504
Ta có : P(B) = 15504/15504 = 1
    c) -   Số khả năng thuận lợi cho C là:
C416.C14+C516.C04 = 11648
Ta có : P(C) = 11648/15504 = 0,7512
    d) -   Số khả năng thuận lợi cho C là:
C520.C04 - C516.C04 = 11136
Ta có : P(D) = 11136/15504 = 0,7183
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 11
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
Ví dụ 2:  Một đợt xổ số có 105 tấm vé số trong đó có 1 giải đặc biệt, 1 giải nhất, 2 giải nhì, 3 giải ba và 10 giải khuyến khích. Một người mua ngẫu nhiên 2 tấm vé số. Tính xác xuất của các biến cố sau:
        a) A = Người đó mua trúng giải đặc biệt.
        b) B = Người đó mua trúng giải nhất và giải đặc biệt.
      c)  C = Người đó mua trúng giải ba trở lên.
       d) D = Người đó mua trúng giải khuyến khích.
  e)      E = Người đó mua trúng ít nhất 1 giải. 
- Phép trừ (hiệu): Hiệu của biến cố A và B (theo thứ tự đó) là biến cố C và ký hiệu là: A-B = C (hoặc A\B), xảy ra nếu và chỉ nếu biến cố A xảy ra và biến cố B không xảy ra.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 12
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.5.3. Các tính chất.
Cho A, B là các biến cố bất kỳ trong một phép thử, xác suất của các biến cố A, B có các tính chất sau:
Nếu A （ B thì P(A) ≤ P(B)
        0 ≤ P(A) ≤ 1
        P(Ф) = 0 và P(Ω) = 1
        P(A) + P( Ā) = 1
        P(B) = P(AxB) + P(ĀxB)
Nếu A∩B = Ф thì P(A+B) = P(A) + P(B)
Nếu A∩B = Ф thì P(A\B) = P(A)
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 13
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

1.6. Định nghĩa xác suất theo hình học
Cho miền W đo được trong mặt phẳng (đường thẳng, không gian) và miền con đo được S của Ω.
Gọi A là biến cố lấy ngẫu nhiên một điểm M trong miền W. Đặt A = {M ∈ S }.
Định nghĩa: Xác suất của biến cố A (điểm M rơi vào miền X) được xác định là P(A) = độ đo S / độ đo W
Ví dụ 1: Tính xác suất để một điểm M rơi vào một hình tròn nội tiếp một hình vuông có cạnh bằng 2m.                                                               
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 14
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
Ta thấy: diện tích hình vuông bằng 4 (m2), diện tích hình tròn bằng π (m2).  
Nên: Xác suất của biến cố A là
P(A) = diện tích hình tròn/diện tích hình vuông = π/4
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 15
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.7. Sự độc lập của các biến cố. 
Định nghĩa: Trong một phép thử hai biến cố A, B được gọi là độc lập với nhau nếu P(A∩B) = P(AxB) = P(A).P(B)
Tính chất 1: Hai biến cố A, B độc lập với nhau khi và chỉ khi P(A/B) = P(A) hoặc P(B/A) = P(B)
Tính chất 2: Hai biến cố A, B độc lập với nhau khi và chỉ khi hai biến cố Ā và B độc lập (hoặc ngược lại hoặc các biến cố đối lập của chúng độc lập)
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 16
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.8. Xác suất có điều kiện. 
1.8.1. Định nghĩa: Cho A, B là hai biến cố bất kỳ trong một phép thử và P(A) > 0. Xác suất có điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra là một số không âm và ký hiệu là P(B/A) hoặc PA(B) được xác định như sau: .
- Ví dụ: Một lớp có 14 sinh viên nam và 18 sinh viên nữ, gọi ngẫu nhiên lần lượt ra 2 người.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Biến cố A là biến cố người thứ nhất gọi ra là nữ.
b) Biến cố B là biến cố người thứ hai gọi ra là nữ.
c) Biến cố C là biến cố cả 2 người gọi ra đều là nữ.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 17
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Tổng số sinh viên là 32.
a) Số cách gọi lần lượt ra 2 người (có quan tâm đến thứ tự) là A232 = 32 x 31 = 992.
Số cách gọi đươc người thứ nhất là nữ là 18 x 31 = 558.
  Nên: P(A) = 558/992 = 0,5625
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 18
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
b) Số cách gọi đươc người thứ hai là nữ (biến cố B) là
18.17 + 14.18 = 558.
c) Số cách gọi được cả 2 đều là nữ (biến cố C = A,B) là
A218 = 18 x 17 = 306. .
  Nên: P(C) = P(A.B) = 306/992 = 0,3085.
  Nên:   P(B) = 558/992 = 0,5625.
  Ta thấy
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 19
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.8.2.  Công thức xác suất của tích các biến cố 
Từ định nghĩa xác suất có điều kiện ta suy ra xác suất của tích 2 biến cố như sau:
    Mở rộng cho trường hợp xác suất của tích nhiều biến cố ta được:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 20
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
Ví dụ 1: Một người bán 7 con gà (4 đen, 3 vàng), người khách thứ nhất đến mua một con, người khách thứ hai đến mua một con. Tính xác suất để người thứ hai mua con gà đen.
Gọi A1 là biến cố người khách thứ nhất mua một con gà đen, A2 là biến cố người khách thứ nhất mua con gà vàng và B là biến cố người khách thứ hai mua con gà đen.
Ta có:  B = B.A1 + B.A2. Do A1, A2 xung khắc,
nên B.A1 + B.A2 xung khắc.  Khi đó: 
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 21
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
Ví dụ 2: Trong một lô hàng 100 sản phẩm có 10 sản phẩm xấu. Bộ phận kiểm định người ta kiểm tra ngẫu nhiên không hoàn lại 5 sản phẩm, nếu không có sản phẩm nào xấu thì chấp nhận. Tính xác suất để lô hàng được chấp nhận.
Gọi Ai / i = 1, 2, 3, 4, 5 là biến cố sản phẩm thứ i được kiểm tra là tốt và B là biến cố lô hàng được chấp nhận.
Ta có: B = ∩ Ai / i = 1, ...,5.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 22
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.9.CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ-CÔNG THỨC BAYES. 
1.9.1. Nhóm đầy đủ: n biến cố Ai /  i = 1, 2, 3, ... n trong một phép thử được gọi là nhóm đầy đủ (họ đầy đủ) các biến cố nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:
1)    Chúng xung khắc với nhau từng đôi một (Ai∩Aj = Ф mọi  i,j = 1, 2, 3, ... n và i ≠ j );
2)    Tổng của n biến cố là biến cố chắc chắn
(ỤAi = A1∪A2∪A3 ∪... ∪An = Ω)
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 23
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.9. 2. Công thức xác suất đầy đủ: . 
Giả sử {Bi / i,= 1, 2, 3, ... n } là một nhóm đầy đủ và A là một biến cố xảy ra chỉ khi một trong các biến cố Bi xảy ra, khi đó:
Được gọi là công thức xác suất đầy đủ.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 24
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.9. 3. Công thức Bayes . 
Giả sử {Bi / i,= 1, 2, 3, ... n } là một nhóm đầy đủ và A là một biến cố xảy ra chỉ khi một trong các biến cố Bi xảy ra, khi đó:
Được gọi là công thức Bayes.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 25
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
Ví dụ 1: Một lô hạt giống được phân làm 3 loại. Loại I tỷ lệ nảy mầm là 80% chiếm 2/3 số hạt, loại II tỷ lệ nảy mầm là 70% chiếm 1/4 số hạt và còn lại là loại III tỷ lệ nảy mầm là 50%. Hỏi tỷ lệ nảy mầm chung của lô hạt giống là bao nhiêu? Lấy ngẫu nhiên ra một hạt gieo thì hạt nảy mầm, tính xác suất để hạt lấy ra đó là loại II.
Gọi:  Bi / i = 1, 2, 3 là biến cố hạt giống lấy ra từ loại thứ i và A là biến cố hạt giống lấy ra nảy mầm.
Ta thấy {Bi} là nhóm đầy đủ các biến cố. Biến cố A xảy ra  thì hạt giống đó phải thuộc 1 trong 3 loại, tức là một trong 3 biến cố Bi phải xảy ra.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 26
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
,
Khi đó: A = (A∩B1)∪(A∩B2)∪(A∩B3).
Áp dụng công thức xác suất đây đủ, ta có:
Áp dụng công thức Bayes, ta có:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 27
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
Ví dụ 2: Trong một trại chăn nuôi gia súc có 80% bò và 20% trâu, người ta kiểm tra thấy có 50% bò và 30% trâu cho sữa đảm bảo chất lượng tốt. Người phụ trách trại chọn ngẫu nhiên một con trong trại để kiểm tra lại.
a) Tính xác suất để con được kiểm tra lại thuộc loại cho sữa đảm bảo chất lượng tốt.
    b) Sau khi kiểm tra thấy con được kiểm tra thuộc loại cho sữa đảm bảo chất lượng tốt, tính xác suất để con được kiểm tra là con bò (tương tự là con trâu).
Gọi: A là biến cố chọn ngẫu nhiên ra được con thuộc loại cho sữa tốt.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 28
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Ta thấy {B, C} là một nhóm đầy đủ các biến cố. Biến cố A xảy ra thì hoặc B hoặc C xảy ra.
        B là biến cố chọn ngẫu nhiên ra được con bò
        C là biến cố chọn ngẫu nhiên ra được con trâu.
a)    Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:  
b)    Áp dụng công thức Bayes ta có:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 29
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.10. DÃY PHÉP THỬ BERNOULLI - XÁC SUẤT NHỊ THỨC
1.10.1.  Định nghĩa dãy phép thử Bernoulli:
n phép thử độc lập được gọi là n Phép thử Bernoulli (Lược đồ phép thử Bernoulli) nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:
1. Mỗi phép thử chỉ xảy ra một trong hai biến cố A hoặc Ā;
2. P(A) = p và P(A) như nhau trong mọi phép thử.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 30
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
1.10.2.  Định nghĩa Xác suất Nhị thức:
Xác suất của biến cố A xuất hiện m lần trong dãy n phép thử Bernoulli. Ký hiệu là Pn(m; p) gọi là Xác suất Nhị thức và được tính bởi công thức:
- Ví dụ 1: Gieo một đồng xu 10 lần, gọi A là biến cố có 6 lần xuất hiện mặt sấp, B là biến cố có 4 lần xuất hiện mặt ngửa, C là biến cố có ít nhất 1 lần sấp. Tính các xác suất P(A), P(B), P(C).
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 31
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Ví dụ 2: Gieo một con xúc xắc 50 lần, gọi A là biến cố xuất hiện mặt 6 chấm. Tính xác suất khi A xuất hiện 15 lần.
Xác suất xuất hiện mặt 6 chấm là 1/6 và mặt khác là 5/6.
Áp dụng công thức xác suất Nhị thức ta có:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 32
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Ví dụ 3:Xác suất nảy mầm của một loại hạt giống là 0,85. Gieo thử 100 hạt gọi A là biến cố hạt nảy mầm. Tính xác suất để có 85 hạt nảy mầm.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 33
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Chương 2. 
ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
2.1. Định nghĩa và ví dụ
Hàm X xác định trên không gian biến cố sơ cấp Ω và nhận giá trị trong R = (-∞; +∞) được gọi là Đại lượng ngẫu nhiên (Biến ngẫu nhiên) nếu với mọi  x∈R, tập hợp {ω:  X(ω) < x  }  là biến cố ngẫu nhiên.
Chú ý ĐLNN thường được ký hiệu bởi chữ in hoa X, Y, Z, ... còn giá trị của nó nhận thường được ký hiệu bằng chữ thường x, y, z, ...
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 34
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
2.2. Các ví dụ về Đại lượng ngẫu nhiên  
    Ví dụ 1: Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp khi gieo 10 lần một đồng xu, khi đó X là một ĐLNN và X có thể nhận các giá trị là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Ví dụ 2: Gọi Y là số hạt giống nảy mầm khi gieo n hạt, khi đó Y là một ĐLNN, Y có thể nhận các giá trị là 0, 1, .., n.
Ví dụ 3: Một xạ thủ có 5 viên đạn để bắn vào một mục tiêu cho đến khi nào trúng thì thôi, gọi X là số viên đạn xạ thủ đã bắn, khi đó X là ĐLNN và X có thể nhận các giá trị là 1, 2, 3, 4, 5. 
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 35
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

2.3. ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN RỜI RẠC, BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 
2.3.1. . Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: là ĐLNN mà tập hợp các giá trị nó có thể nhận là một tập hợp hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.
2.3.2. Bảng phân phối xác suất: là bảng cho biết 2 thông tin xác định ĐLNN (các giá trị có thể nhận và xác suất tương ứng của nó).
Giả sử biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị x1, x2, x3, ... xn với các xác suất tương ứng là P(X = xi) = pi. Ta có bảng phân phối xác suất:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 36
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Trong đó: Σpi = 1 / i = 1, 2, 3, ..., n.
2.3.3. Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: là ĐLNN mà tập hợp các giá trị nó có thể nhận là một khoảng (a; b) liên tục trong R. Để mô tả ĐLNN liên tục người ta thường dùng khái niệm Hàm mật độ.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 37
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

2.3.4. Hàm mật độ:  
Hàm p(x) được gọi là hàm mật độ của một ĐLNN liên tục X nào đó, nếu nó thỏa mãn hai điều kiện sau:
- Ví dụ:Hàm mật độ p(x) của biến ngẫu nhiên nhận mọi giá trị trên [a; b] với khả năng đều như nhau (Hàm mật độ đều trên [a; b]) xác định như sau:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 38
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

2.4. HÀM PHÂN PHỐI 
2.4.1. Định nghĩa: Gọi hàm P[ω: X(ω) < x] ,  x ∈R, là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X và ký hiệu là:
F(x) = P[ω: X(ω) < x] ,  x ∈R
Chú ý:   
Nếu X là ĐLNN rời rạc P(X = xi ) = pi  thì F(x) = Σpi  / i =1,2,.., n.
Nếu X là ĐLNN liên tục với hàm mật độ p(x) thì:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 39
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
Ví dụ 1: Gieo một đồng xu một lần, gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp, ta có hàm phân phối của X:
- Ví dụ: Một lớp có 14 sinh viên nam và 18 sinh viên nữ, gọi ngẫu nhiên lần lượt ra 2 người.
Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Biến cố A là biến cố người thứ nhất gọi ra là nữ.
b) Biến cố B là biến cố người thứ hai gọi ra là nữ.
c) Biến cố C là biến cố cả 2 người gọi ra đều là nữ.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 40
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
2.4.2. Tính chất của hàm phân phối
Giả sử F(x) là hàm phân phối của ĐLNN X, ta có:
Hàm phân phối xác định với mọi x ∈ (-∞; +∞).
0 ≤ F(x) ≤ 1, với mọi x ∈(-∞; +∞);      F(-∞) = 0,    F(+∞) = 1
Hàm phân phối F(x) và hàm mật độ p(x) có mối liên hệ với nhau, nếu hàm mật độ p(x) liên tục tại x thì : F`(x) = p(x)
P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a).
Nếu hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X liên tục tại X0 thì P(X=x0)=0. Do đó, ta có:
P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = F(b) - F(a) , P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a) + P(b)
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 41
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ví dụ 1: Một xạ thủ đã bắn 5 viên đạn vào một mục tiêu, xác xuất trúng của mỗi viên là 0,6. Gọi X là số viên đạn trúng mục tiêu. Tính các xác suất bằng 2 cách:
P(1 ≤ X < 5);    P(0 < X ≤ 4);    P(2 ≤ X ≤ 5)
Ta có Bảng phân phối xác suất và Hàm phân phối của X:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 42
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Tính trực tiếp:
P(1 ≤ X < 5)
= P{(X = 1) + (X = 2) + (X = 3) + (X = 4)} =
= P(X =1)+P(X =2)+P(X =3)+P(X =4)=
=0,0768+0,2304+0,3456+0,2592 = 0,9120
Tương tự: P(0 < X ≤ 4) = 0,9120;  P(2 ≤ X ≤ 5) = 0,9130;   
        P(1 ≤ X < 5) = F(5) - F(1) = 0,9222 - 0,0102 = 0,9120  
Tính thông qua hàm phân phối:  
        P(0 < X ≤ 4) = F(5) - F(1) = 0,9222 - 0,0102 = 0,9120  
 P(2 ≤ X ≤ 5) = F(5) - F(2) + P(X = 5) =
                            = 0,9222 - 0,0870 + 0,0778 = 0,9130.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 43
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
2.5 Phân phối Nhị thức 
Xét n phép thử Bernoulli, biến cố A trong phép thử có P(A) = p. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử trên, khi đó phân phối của X gọi là phân phối nhị thức và ký hiệu là X = B(n; k) ta có:
- Ví dụ: Một xạ thủ có 5 viên đạn để bắn vào một mục tiêu, xác xuất trúng của mỗi viên là 0,6. Gọi X là số viên đạn đã bắn trúng mục tiêu.
            a) Tính xác suất để trong 5 viên đã bắn có 2 viên trúng mục tiêu.
            b) Để phá hủy được mục tiêu cần phải bắn trúng ít nhất 3 viên, tính xác suất để mục tiêu bị phá hủy.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 44
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Áp dụng công thức tính xác suất nhị thức, ta có: 
2.6. Phân phối Poisson
Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ > 0 nếu phân phối xác suất của nó có dạng:                    
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 45
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chú ý: Giữa phân phối Nhị thức và phân phối Poisson có mối quan hệ với nhau:                                       
Ví dụ: Một lô cây hoa giống có 10000 cây, xác suất mỗi cây không ra hoa là 0,001. Tìm xác suất để trong lô cây giống đó có 3 cây không ra hoa; có nhiều nhất 5 cây không ra hoa.                                       
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 46
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ta thấy: p = 0,001 là khá bé và n = 10000 là khá lớn, cho nên có thể thay xác suất Nhị thức bằng phân phối Poisson với λ = np = 10. Ta có:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 47
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
2.6. Phân phối Hình học 
Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối hình học nếu phân phối xác suất, hàm phân phối của nó có dạng: .
Ví dụ: Một xạ thủ có 5 viên đạn để bắn vào một mục tiêu cho đến khi nào trúng thì thôi, xác xuất trúng của mỗi viên là 0,6. Gọi X là số viên đạn đã bắn. Tính các xác suất:
          a) Xạ thủ phải bắn đến viên đạn thứ tư.
          b) Xạ thủ phải bắn cả 5 viên đạn.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 48
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
2.7. Phân phối siêu bội 
Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối siêu bội với tham số N, M, n nếu phân phối xác suất của nó có dạng:
Chú ý:  Phân phối siêu bội và phân phối nhị thức có mối liên hệ: Nếu n cố định, N tăng lên vô hạn và tỷ số M/N tiến dần tới p (0 < p < 1) thì:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 49
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

2.8. Phân phối Chuẩn 
Đại lượng ngẫu nhiên X gọi là có phân phối chuẩn dạng tổng quát, ký hiệu là Ν(μ, σ2), nếu hàm mật độ của nó có dạng:
Trường hợp đặc biệt nếu μ = 0 và σ2 = 1 thì gọi là phân phối chuẩn tắc, ký hiệu là Ν(0, 1). Khi đó hàm mật độ và hàm phân phối tương ứng có dạng:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 50
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Ví du ̣: Một hộp hạt giống có xác suất không nảy mầm của mỗi hạt là 0,2. Gieo kiểm tra 400 hạt giống đó. Tính xác suất để có đúng 80 hạt không nảy mầm.
Ta có: n = 400; p = 0,2; k = 80. Áp dụng công thức trên ta có:
Từ phân phối nhị thức với n khá lớn chuyển về dạng phân phối chuẩn tắc bằng cách đặt:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 51
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

2.9. Phân phối Student  
Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Student (phân phối t) với k bậc tự do nếu hàm mật độ được xác định bởi:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 52
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
2.10. PHÂN PHỐI KHI BÌNH PHƯƠNG ( χ2 ) 
Đại lượng ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Khi bình phương ( χ2 ) với n bậc tự do nếu hàm mật độ của nó có dạng:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 53
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

2.11. KỲ VỌNG
Kỳ vọng của ĐLNN X là một số ký hiệu là EX và được xác định như sau:
    nếu P(X = xi) = pi
   nếu X có hàm mật độ là p(x)
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 54
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ví dụ. 
Cho ĐLNN x và Y có phân phối bởi bảng sau:
Khi đó:
   EX = 1.1/4 + 3.3/4 = 10/4 = 5/2               
EY = (-1).1/4 + 1.3/4 = 2/4 = 1/2
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 55
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các tính chất: 
EC = C nếu C là hằng số
E(C.X) = C.EX nếu C là hằng số
E(X + Y) = EX + EY
E(X - Y) = EX - EY
E(X.Y) = EX.EY nếu X, Y độc lập
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 56
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
2.12. PHƯƠNG SAI 
Giả sử X là ĐLNN có kỳ vọng là EX. Khi đó kỳ vọng của ĐLNN (X - EX)2 gọi là phương sai của ĐLNN X và ký hiệu là DX. Tức là: DX = E(X – EX )2 .
Ý nghĩa của phương sai: Từ định nghĩa của kỳ vọng ta thấy phương sai của ĐLNNN X chính là giá trị trung bình của bình phương độ lệch giữa giá trị của đại lượng X và giá trị của kỳ vọng EX. Như vậy phương sai đặc trưng cho độ phân tán của các giá trị của X so với kỳ vọng EX. Phương sai càng lớn thì độ phân tán càng lớn, ngược lại phương sai càng gần 0 thì độ phân tán càng bé.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 57
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Các tính chất: 
DX ≥ 0    với mọi ĐLNN X (được suy ra từ định nghĩa).
DX = EX 2 - (EX) 2.
D(cX) = c 2.DX     với c là hằng số.
D(X + Y) = DX + DY     với X, Y là các ĐLNN độc lập và có phương sai DX, DY.
D(C) = 0     với C là hằng số.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 58
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ví dụ : Giả sử X là ĐLNN có phân phối đều trên [a; b] với hàm mật độ
Tính DX.
Ta có:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 59
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
 2.13. MỐT (Mode)
Mốt (ký hiệu xmod) là giá trị của ĐLNN X sao cho tại xmod hàm mật độ f(x) đạt giá trị cực đại. Mốt có thể là một điểm, có thể là một khoảng mốt.
Trường hợp X là ĐLNN rời rạc, xmod là giá trị mà xác suất để X = xmod là lớn nhất.
2.14. TRUNG VỊ (Median)
Trung vị (ký hiệu xmed) là giá trị của ĐLNN X sao cho tại xmed hàm phân phối F(x) đạt giá trị bằng 1/2. Trung vị có thể là một điểm, có thể là một khoảng trung vị.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 60
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

,
Ví dụ 1 : Giả sử ĐLNN X có mật độ phân phối chuẩn N(a, σ2) thì tại x = a hàm mật độ đạt giá trị cực đại. Vậy: xmod = a.
Ví dụ 2: Giả sử ĐLNN X có hàm phân phối là
có trung vị xmed = 1/2
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 61
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

CHƯƠNG 3. ĐẠI CƯƠNG VỀ THỐNG KÊ 
3.1. MẪU NGẪU NHIÊN
3.1.1. Khái niệm Mẫu ngẫu nhiên
Tập hợp mẫu (tập mẫu) là tập hợp các phần tử (đối tượng) được chọn theo một phân phối xác suất nào đó.
Tập mẫu thường ký hiệu là (X1,X2, ...,Xn), các giá trị mẫu thường ký hiệu là (x1,x2, ..xn), tập mẫu gồm n phần tử thì n gọi là kích thước mẫu
Mẫu ngẫu nhiên là một dãy gồm n ĐLNN độc lập (X1,X2,...,Xn) có cùng phân phối xác suất F(x1,x2, ..xn).
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 62
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

3.1.2. Một số phương pháp chọn mẫu
a) Mẫu ngẫu nhiên hoàn lại: là mẫu được chọn từ tập tổng quát N phần tử bằng cách chọn ngẫu nhiên ra một phần tử thứ nhất X1 khảo sát, ghi nhận kết quả, sau đó trả lại tập tổng quát và tiếp tục lặp lại như vậy, chọn ngẫu nhiên phần tử thứ hai X2, thứ ba X3, ..., Xn, cuối cùng ta thu được tập mẫu (X1, X2, ..., Xn). Xác suất mỗi phần tử được chọn ra là như nhau và bằng 1/N.
b) Mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại: là mẫu được chọn từ tập tổng quát N phần tử bằng cách chọn ngẫu nhiên ra một phần tử thứ nhất X1 khảo sát, ghi nhận kết quả, sau đó không trả lại tập tổng quát và tiếp tục lặp lại như vậy, chọn ngẫu nhiên phần tử thứ hai X2, thứ ba X3, ..., Xn, cuối cùng ta thu được tập mẫu (X1, X2, ..., Xn). Xác suất mỗi phần tử được chọn ra là không như nhau.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 63
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

c) Mẫu đặc trưng (điển hình): là mẫu được chọn bằng cách phân loại tập tổng quát theo đặc trưng và từ các bộ phận đặc trưng chọn mẫu theo cách a) hoặc cách b) ở trên rồi hợp nhất lại ta được mẫu (thường dùng khi số lượng phần tử tập tổng quát lớn).
d) Phương pháp phân dãy: là mẫu được chọn bằng cách phân chia ngẫu nhiên tập tổng quát thành nhiều dãy từ mỗi dãy chọn mẫu theo cách a) hoặc cách b) ở trên rồi hợp nhất lại ta được mẫu (thường dùng khi số lượng phần tử tập tổng quát lớn).
e) Phép thử độc lập (quan sát): là mẫu được chọn bằng cách thực hiện các phép thử (quan sát) độc lập và lấy các kết quả của nó ta được tập mẫu.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 64
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

3.2. CÁC ĐẶC TRƯNG MẪU 
3.2.1. Kỳ vọng mẫu (Trung bình mẫu)
Định nghĩa: Giả sử cho (X1, X2, ..., Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối F(x). Ta gọi:
    là Trung bình mẫu.
Khi n khá lớn ta có thể xem đó là kỳ vọng mẫu.
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 65
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chú ý 1: Nếu mẫu ngẫu nhiên cho dưới dạng tần suất: 
thì trung bình mẫu được tính:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 66
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Chú ý 2: Nếu mẫu ngẫu nhiên cho dưới dạng khoảng (Xi – Xi+1)
thì trung bình mẫu được tính:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 67
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ví dụ1:Cho mẫu quan sát (Xi) với i =1,2,...,10 của ĐLNN X là:
Khi đó: Trung bình mẫu của ĐLNN X là
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 68
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ví dụ 2: Cho mẫu quan sát của ĐLNN X dưới dạng khoảng là:
Khi đó: Trung bình mẫu của ĐLNN X là
Từ bảng trên ta có bảng sau:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 69
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

3.2. 2. Phương sai mẫu 
Định nghĩa: Giả sử cho (X1, X2, ..., Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối F(x). Ta gọi
là phương sai chưa điều chỉnh (hay phương sai) và gọi
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 70
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

là phương sai có điều chỉnh (hay phương sai hiệu chỉnh).
Chú ý: Nếu mẫu ngẫu nhiên cho dưới dạng tần suất:
thì các phương sai mẫu được tính:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 71
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ta có
Tính S2n(X) và S*2n(X)
Ví dụ1:Cho mẫu quan sát (Xi) với i =1,2,...,10 của ĐLNN X là:
Chú ý: Từ các công thức trên ta có:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 72
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Khi đó phương sai mẫu là .
Và phương sai hiệu chỉnh mẫu là .
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 73
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Ví dụ 2: Cho mẫu quan sát của ĐLNN X dưới dạng khoảng là:
Khi đó: Trung bình mẫu của ĐLNN X là
Từ bảng trên ta có bảng sau:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 74
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Khi đó phương sai mẫu là .
Và phương sai hiệu chỉnh mẫu là .
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 75
3.3. BÀI TOÁN ƯỚC LƯỢNG
Cho mẫu quan sát ( X1,X2,…,Xn) của ĐLNN X từ phân phối f(x, θ), θ ∈U , θ là tham số
Định nghĩa: Ước lượng tham số θ là ĐLNN
Tn = ψ(x1,X2,…Xn) cjỉ phụ thuộc vào quan sát Xi mà không phục thuộc vào θ.
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
Định nghĩa: Khoảng (a(X1,X2,…,Xn); b(X1,X2,…,Xn)) được gọi là ước lượng tham số θ với độ tin cậy 1-α nếu: P[a < θ 3.3.1. Các định nghĩa:
Ths. Quách Văn Của – Trường CĐSP Cà Mau Trang 76
a). Trường hợp σ2 đã biết: Khoảng ước lượng của tham số μ với độ tin cậy 1 - a là :
Trong đó: Xa là số được tra từ bảng