NỘI DUNG
BÀI
ĐẠO HÀM VÀ
Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
KIỂM TRA BÀI CŨ
1. Cho hàm số f(x) = x2 - 2x.
Tính f`(2).
Kết quả: f`(2) = 2.
2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2) và có hệ số góc k = 4.
Kết quả: y = 4x - 2.
Trong Oxy đường thẳng đi qua điểm M(a;b) có hệ số góc k là :
y = k(x - a) + b
y
x
O
M
T
(C)
xM
X0
f(x0)
f(xM)
M0
Cho hàm số f(x) có đồ thị (C), một điểm M0(x0; f(x0)) cố định thuộc (C).
Với mỗi điểm M(xM;f(xM)) di động trên (C), khác M0.
Đường thẳng M0M gọi là một cát tuyến của (C).
M0
T
y
O
x0
f(x0)
(C)
Khi x ? x0 thì M di chuyển trên (C) tới điểm M0.
Ta coi đường thẳng M0T đi qua M0 là vị trí giới hạn của cát tuyến M0M khi M chuyển dọc theo (C) đến M0.
Đường thẳng M0T gọi là tiếp tuyến của (C) tại M0 và M0 gọi là tiếp điểm.
M0
x
y
O
x0
f(x0)
(C)
I
Gọi kM là hệ số góc của cát tuyến M0M, k0 là hệ số góc của tiếp tuyến M0T. Thì
Giả sử f(x) có đạo hàm tại x0. Khi đó:
Vậy ý nghĩa hình học của đạo hàm là :
Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(x0;f(x0)) là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0. Tức là:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại M(x0;f(x0)) có phương trình là:
Phương trình tiếp tuyến tại M(x0;f(x0)) của đồ thị hàm số
Ví dụ
Cho hàm số . Biết đạo hàm của hàm f tại x0 là f`(x0) = 3x2. Viết phương trình tiếp tuyến ? với đồ thị (C) trong các trường hợp:
1/ Tại điểm M(2;8);
2/ Tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ x0 = 1;
3/ Có hệ số góc k = 3;
4/ Song song với đường thẳng d: x - 3y + 2 = 0.
Xét sự chuyển động của chất điểm. Giả sử quãng đường s đi được của nó là một hàm số s = s(t) của thời gian t (s = s(t)) còn gọi là phương trình chuyển động của chất điểm).
Ta gọi giới hạn hữu hạn ( nếu có )
là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0.
Kết luận: ý nghĩa cơ học của đạo hàm là:
Vận tốc tức thời v(t0) tại thời điểm t0 (hay vận tốc tại t0) của một chuyển động có phương trình s=s(t) bằng đạo hàm của hàm số tại s=s(t) tại điểm t0 tức là v(t0)=s`(t0).
Vậy : v(t0)=s`(t0)
Một chất điểm chuyển động có phương trình s=t2 (t-tính bằng giây ; s-tính bằng mét ) . Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t0 = 2 ( giây) là :
A) 2m/s
B) 3m/s)
D)5m/s
C) 4m/s
Ví dụ
1) Phương trình tiếp tuyến tại một điểm của đồ thị hàm số ?
2) Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị?
BÀI TẬP ÁP DỤNG
Cho hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2 (C). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) trong các trường hợp:
1/ Tại điểm A(1; 0);
2/ Tại các giao điểm của (C) với đường thẳng d: y = 2.
3/ Có hệ số góc k = 9.
4/ Vuông góc với đường thẳng d: x + 3y = 0.