CHƯƠNG III
Bài 1:
Phương pháp QUY NẠP TOÁN HỌC
I. Phương pháp chứng minh mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1(gọi là giả thiết quy nạp)
Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng với n = k + 1
Phương pháp này là phương pháp quy nạp toán học hay còn gọi là phương pháp quy nạp
II. Bài ví dụ:
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
chia hết cho 6
Minh họa phương pháp QNTH
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k ≥ 1(gọi là giả thiết quy nạp)
Bước 3: Chứng minh rằng:
nó cũng đúng với n = k + 1
Bước 1: Khi n = 1
Đặt
Bước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có :
Vậy hệ thức (2) đúng
Bước 3: Ta chứng minh rằng (2) cũng đúng với
n = k +1 , tức là:
Thật vậy ,ta có:
Vậy đẳng thức (2) đúng
Vì:
nên
Chứng minh rằng với nN* ta có đẳng thức:
III. BÀI TẬP:
Bước 1: Khi n = 1, vế trái bằng 12 ,vế phải bằng 1. Vậy hệ thức (1) đúng
Bước 2: Đặt vế trái bằng Sn
Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:
Lời giải bài tập 1:
Bước 3: Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
Thật vậy ,ta có:
Vậy đẳng thức (1) đúng với mọi n N*
Chứng minh rằng với n  N* , ta có :
chia hết cho 3
Bước 1: Khi n = 1
Đặt
Bước 2: Giả sử với n = k ≥ 1, ta có :
Vậy hệ thức (2) đúng
Bước 3: Ta chứng minh rằng (2) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
Thật vậy ,ta có:
Vậy đẳng thức (2) đúng
Vì:
nên
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có bất đẳng thức sau:
Bước 1: Khi n = 2, vế trái bằng 9,vế phải bằng 7. Vậy bất đẳng thức (3) đúng
Ta chứng minh rằng (1) cũng đúng với n = k +1 , tức là:
Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, tức là:
Bước 2:
Thật vậy ,ta có:
Vậy đẳng thức (3) đúng với mọi n N*
đúng với mọi k ≥ 2
Củng cố và bài tập về nhà:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi n  N* ta có:
2 + 4 + 6 + …+ 2n = n(n +1)
a.
b.
c.
d.