Ôn tập toán Đại số thi vào lớp 10

I, Rút gọn biểu thức
•
•
•
•

Bài 1: Thực hiện phép tính
1, 1100  7 44  2 176  1331
2, 2 2  3 3  1
Bài 2: Cho biểu thức







 a 1

a1
1 
• A= 
 a  1  a  1  4 a   a  a 


• a) Rút gọn A
6
• b) Tìm giá trị của A nếu a =
2 6

• c) Tìm giá trị của a để

AA

I, Rút gọn biểu thức

• Bài 1: Thực hiện phép tính
• 1, 1100  7 44  2 176  1331
• 2, 2  2  3  3 1

1, 1100  7 44  2 176  1331
Phân tích hướng giải bài toán
Các bạn thấy rằng các số 1100; 44; 176; 1331 đều chia hết cho số mấy?
Các số 1100; 44; 176; 1331 chia hết cho 11
Như vậy 1100 : 11 = 100; 44 : 11 = 4; 176 : 11 = 16; 1331 : 11 = 121
 Các bạn nêu nhận xét về các số 100; 4; 16; 121
 Các số này là các số chính phương
Do đó
22
22
 Các 100
bạn 
cho
102thầy
; 4 biết
22 ;16
công
4thức
;121khai
11phương
một tích như thế nào?
 Công thức khai phương một tích là (A.B0)
 Từ đó, ta có (Đưa thừa số ra ngoài dấu căn)
•
•



•  Chúng ta cùng đi vào giải bài toán

1, 1100  7 44  2 176  1331

•
•
•
•
•

=
=
=
= -7
Đáp số: -7

2, 2 2 

3





3 1

`

• Phân tích bài toán
 Các em thấy bài toán này có thể tách được hay nhân vào hay không?
 Bài toán này không tách được; tuy nhiên ta có thể nhân vào
 Các bạn nhắc lại cho thầy về công thức nhân các căn bậc hai nào?
 với A;B  0
 Vậy thì
 Các bạn nhận xét như thế nào về 4 - 2
 Có thể đưa về dạng bình phương một hiệu
 Ta thấy 2 = 2; Mà

2, 2 2 

3





3 1

• Phân tích bài toán
 Như vậy =
 Đến đây = 1 - có đúng không? Tại sao
 Không đúng vì =
 Như vậy = =
 Nhận xét về
 Biểu thức này có dạng (a – b)(a + b) =
Þ Vậy, chúng ta đi vào giải toán

• (
• =
• =
• =(

I, Rút gọn biểu thức
• Bài 2: Cho biểu thức
• A=

 a 1


 a1


a1
1 
 4 a   a 

a 1
a



• a) Rút gọn A
• b) Tìm giá trị của A nếu a =
• c) Tìm giá trị của a để

6
2 6

AA

•
•
•
•

a, Rút gọn A
Phân tích bài toán
B1: Đặt điều kiện xác định
B2: Đánh giá từng phân thức thành phần (Tìm
các mẫu thức riêng để đúc kết thành MTC)
• B3: Tìm hướng giải
• B4: Giải

Điều kiện xác định
• Là những giá trị mà làm biểu thức có nghĩa
• có A có A

A=

 a 1


 a1


a1
1 
 4 a   a 

a 1
a


Mẫu thức của phân thức thứ
nhất là
Mẫu thức của phân thức thứ
hai là
Mẫu thức của phân thức thứ
ba là 1
MTC = ((
MTP1 = ; MTP2 =
((

Mẫu thức của phân thức thứ
nhất là
Mẫu thức của phân thức thứ
hai là

MTC =
MTP1 =
MTP2 = 1

• Với a > 0; a ; ta có

 a 1
A 

 a1

Lời giải

a1
1 
 4 a   a 

a 1
a



• =
• = = 4a
• Vậy với a > 0; a 1 thì A = 4a

• b, Tìm giá trị của A nếu a =
• - Giá trị a có thỏa mãn ĐKXĐ hay không?
• - Thay a vào biểu thức đã rút gọn
6
2 6
Nhân liên hợp

Liên hợp 2 +

Lời giải
•
•
•
•

Với a = thỏa mãn điều kiện a>0; a1
Thay vào A, ta được:
A = 4(3 + ) = 12 + 4
Vậy với a = thì A = 12 + 4

•
•
•
•
•

c) Tìm giá trị của a để
Phân tích:
Để có nghĩa  A  0
Với A  0 thì , mà =
Như vậy 

Lời giải
•
•
•
•

Với A = 4a (a>0; a A > 0
Khi đó



• Vậy với thì

II, Giải phương trình và hệ phương trình
• Câu 1, Giải hệ phương trình
• 2, Giải phương trình

Phân tích bài toán

 Nhắc lại các phương pháp giải hệ pt

ax  by c

a ' x  b ' y c '

Thế
Dùng khi một trong các hệ
số của x; y trong 2 phương
trình bằng 1 hoặc -1

 a 1;  1

 a ' 1;  1
 b  1;  1
 

 b ' 1;  1


Cộng đại số
Nên tìm hai hệ số cùng biến của
2 phương trình trái dấu nhau.
Sau đó tìm BCNN giữa chúng.
Rồi từ đó cộng cả hai pt với nhau
để tìm biến còn lại
a và a' là hai hệ số cùng biến x
b và b' là hai hệ số cùng biến y

• Câu 1, Giải hệ phương trình
• Phân tích bài toán
 Nhận thấy rằng các hệ số chứa biến của hệ phương trình không bằng
1 hoặc -1 -> Không nên dùng phương pháp thế
 Nhận thấy 2 và -3 là hệ số có cùng biến y trái dấu nhau
 BCNN (2;3) = 6
 Theo đó, nhân 2 vào pt (2); nhân 3 vào pt (1).

Lời giải
• (Các em nên chọn phương trình dễ thay số nhất)
• 

• Câu 2: Giải phương trình
• 5 - - 10x + 5 + = 0

Phân tích lời giải
Nhắc lại về cách giải phương trình bậc hai (a  0)

B1: Tính (b = 2b' +1)

B2:

Với
Với
Với

Nhận xét về
x1 = x2 =

x1 = ; x2 =

Tính (b = 2b')

Với
Với
Với

Nhận xét về '
x1 = x2 =

x1 = ; x2 =

Cách giải thông thường

Phân tích lời giải
Nhắc lại về cách giải phương trình bậc hai (a  0)
Sử dụng hệ quả của định lý Vi-ét

Nếu phương trình (a  0) có nghiệm (
Thì

Hệ quả:
+) Với a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = c/a
+) Với a - b + c = 0 thì x1 = -1; x2 = -c/a

Phân tích lời giải
•
•
•
•
•

5 - - 10x + 5 + = 0
Nhận xét:
Ta có a = (5 - ); b = -10; c =
Các em thấy có gì đặc biệt?
Có dạng a + b + c = 0

Lời giải
•
•
•
•

5 - - 10x + 5 + = 0
Ta có a = (5 - ); b = -10; c =
Vì a + b + c = 5 - - 10 + 5 +
Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

• x1 = 1; x2 = =

III, Đồ thị
• Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Đề-các; cho điểm A(2;2) và đường thẳng (d1): y = -2(x+1)
• a, Nhận xét gì về điểm A và đường thẳng (d1)
• b, Tìm a trong hàm số (P) y = asao cho (P) đi qua A.
Biểu diễn (P) trên mặt phẳng tọa độ
• c, Viết phương trình của đường thẳng (d2) đi qua A và
vuông góc với (d1)
• d, Gọi B là giao điểm thứ hai của (P) và (d2); C là giao
điểm của (d1) với trục tung. Tìm tọa độ của B và C.
Tính diện tích tam giác ABC

Phân tích hướng giải
• Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Đề-các; cho
điểm A(-2;2) và đường thẳng (d1): y = -2(x+1)
• a, Nhận xét gì về điểm A và đường thẳng (d1)

Nhắc lại về quan hệ giữa điểm và đường thẳng
A

d
A

Ad

d

Ad

Vậy, giữa điểm và đồ thị trên mặt phẳng tọa
độ như thế nào?
• - Nếu điểm A (x;y) có hoành độ và tung độ
thỏa mãn y = f(x) (C) thì điểm A thuộc đồ thị
(C)
• - Nếu điểm A (x;y) có hoành độ và tung độ
không thỏa mãn y = f(x) (C) thì điểm A không
thuộc đồ thị (C)

Lời giải
•
•
•
•

Ta có (d) y = -2(x + 1) (1)
Với x = -2; thay vào (1) ta được:
y = -2 (-2 + 1) = 2
Vậy A (-2; 2) thuộc đồ thị hàm số (d) y=-2(x+1)

• Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Đề-các; cho
điểm A(-2;2) và đường thẳng (d1): y = -2(x+1)
• b, Tìm a trong hàm số (P) y = asao cho (P) đi qua
A. Biểu diễn (P) trên mặt phẳng tọa độ

Thay A (-2;2) vào đồ thị hàm số (P)

Lời giải
•
•
•
•
•
xx

*) Vì A (-2;2) thuộc đồ thị hàm số (P) y = a
Nên: 2 = a.  a =
Vậy a = ½
*) Vẽ đồ thị hàm số y =
Lập bảng giá trị
-2

-1

0

1

y

y

2

•y Đồ2thị hàm
1/2 số 0y = 1/2 2
Là một đường cong Parabol
đi qua gốc tọa độ O (0;0) và đi
Qua các điểm (-2;2); (-1;1/2);
(1;1/2); (2;2)

x

x

• Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Đề-các; cho điểm A(-2;2) và
đường thẳng (d1): y = -2(x+1)
• c, Viết phương trình của đường thẳng (d2) đi qua A và vuông góc
với (d1)

Phân tích bài toán
•
•







Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ
Cho 2 đường thẳng (d1) y = ax + b; (d2) y = a'x + b'
Hai đường thẳng trùng nhau khi nào?
Hai đường thẳng trùng nhau khi
Hai đường thẳng song song với nhau khi nào?
Hai đường thẳng song song với nhau khi
Hai đường thẳng cắt nhau khi nào?
Hai đường thẳng cắt nhau khi a  a'

 Trường hợp đặc biệt của hai đường thẳng cắt nhau là gì?
 Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi a.a' = -1

d d'

d // d'

A
d  d' = {A}

dd'

Lời giải

• Gọi hàm số cần tìm là y = mx + n (d2)
• Vì đồ thị hàm số (d2) đi qua A(-2;2) nên ta có:
• 2 = -2m + n (1)
• Vì đường thẳng (d2) vuông góc với đường thẳng (d1)
nên
• m.(-2) = -1
•  m = ½ (2)
• Từ (1) và (2) suy ra
• Vậy hàm số cần tìm là y = ½ x + 3

• Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ Đề-các; cho điểm
A(-2;2) và đường thẳng (d1): y = -2(x+1)
• d, Gọi B là giao điểm thứ hai của (P) và (d2); C là
giao điểm của (d1) với trục tung. Tìm tọa độ của B
và C. Tính diện tích tam giác ABC

Nhắc lại vị trí tương đối của đường thẳng và
Giao điểm
Giao điểm thứ II
Parabol
thứ I
• Cho đường thẳng (d) y = cx + d
Và parabol (P) y = a
- (d) cắt P tại hai điểm phân biệt khi
nào?
- (d) cắt P tại hai điểm phân biệt khi
phương trình hoành độ có hai
nghiệm phân biệt
- (d) tiếp xúc với (P) khi nào?
- (d) tiếp xúc với (P) khi phương trình
hoành độ có nghiệm kép
- (d) không cắt (P) khi nào?
- Khi phương trình hoành độ vô
nghiệm

Tiếp điểm
Phương trình hoành độ

Tính diện tích tam giác
• Cách tính diện tích tam giác
• 1, Diện tích tam giác bằng nửa
độ dài đáy nhân với chiều cao
tương ứng (Cách tính chung)
• 2, Tách ra thành các tam giác
thành phần để tính

Lời giải
• *) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) với (d2) là:
• 
•
•
•
•
•

Ta có > 0
Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt:
x1 = = = 3; x2 = = = -2
Với x1 = 3 => y = =
Vậy B (3; )

Lời giải
•
•
•
•

*) C là giao điểm của (d1) với trục tung, do đó:
Với x = 0 => y = - 2.(0+1) = -2
Vậy C (0;-2)
*) Biểu diễn A; B; C trên hệ trục tọa độ

Lời giải

Lời giải
•
•
•
•

*) Tính diện tích tam giác ABC
Ta có
*) Tính diện tích tam giác ADC
Kẻ AH  Oy

•
•
=
•
= 5 (đơn vị diện tích)
• *) Tính diện tích tam giác ADC
• Kẻ BE  Oy

•

=
= 15/2 (đơn vị diện tích)

Suy ra, (đvdt)

IV. Giải bài toán bằng cách lập phương trình
hoặc hệ phương trình
• Bài 1: Một tỉnh có tỉ lệ tăng dân số trước kia là 2,0% so với dân số đầu
năm 1992 là 2 triệu dân. Do tỉ lệ gia tăng dân số ở đây giảm đi còn 1,8% ở
vùng thành thị và giảm đi 1000 người so với số đạt được với tỉ lệ 2,0 % ở
vùng nông thôn nên dân số đầu năm 1993 của tỉnh đó là 2 038 400 người.
Tính dân số ở vùng nông thôn của tỉnh đó vào đầu năm 1993
• Bài 2: Để tránh lũ, một đội Biên phòng đến gặt giúp xã A một cánh đồng
lúa. Gặt được 4 giờ thì có đội thứ hai đến gặt giúp. Cả hai đội gặt tiếp 8 giờ
thì xong. Hỏi mỗi đội gặt một mình thì trong bao lâu sẽ xong công việc.
Biết rằng nếu gặt một mình thì đội thứ nhất gặt mất nhiều thời gian hơn
đội thứ hai là 8 giờ

• Bài 1: Một tỉnh có tỉ lệ tăng dân số trước kia là
2,0% so với dân số đầu năm 1992 là 2 triệu
dân. Do tỉ lệ gia tăng dân số ở đây giảm đi còn
1,8% ở vùng thành thị và giảm đi 1000 người
so với số đạt được với tỉ lệ 2,0 % ở vùng nông
thôn nên dân số đầu năm 1993 của tỉnh đó là
2 038 400 người. Tính dân số ở vùng nông
thôn của tỉnh đó vào đầu năm 1993

Phân tích bài toán
 Gia tăng dân số là gì?
 Gia tăng dân số được hiểu là số dân của
năm sau nhiều hơn số dân của năm trước
một số gia d
 Vậy tỉ lệ gia tăng dân số được tính như
thế nào?
 Hay nói cách khác, tính số dân năm sau ta
tính như thế nào
 Số dân năm sau = số dân năm trước + tỷ
lệ gia tăng  số dân năm trước

Phân tích bài toán
• Nhắc lại các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình
và hệ pt
• Bước 1: Lập hệ phương trình (phương trình)
• 1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại
lượng bài toán yêu cầu tìm)
• 2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại
lượng đã biết 
• 3) Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan
hệ giữa các đại lượng.
• Bước 2: Giải hệ phương trình (phương trình)
• Bước 3: Kết luận

• Một tỉnh có tỉ lệ tăng dân số trước kia là 2,0% so với dân số đầu năm 1992 là 2
triệu dân. Do tỉ lệ gia tăng dân số ở đây giảm đi còn 1,8% ở vùng thành thị và giảm
đi 1000 người so với số đạt được với tỉ lệ 2,0 % ở vùng nông thôn nên dân số đầu
năm 1993 của tỉnh đó là 2 038 400 người. Tính dân số ở vùng nông thôn của tỉnh
đó vào đầu năm 1993
 Ở đây, có những thông số nào cần quan tâm?
 Tỷ lệ gia tăng dân số trước kia là 2,0% so với dân số đầu năm 1992 là 2 triệu dân
Tỷ lệ này giảm xuống còn 1,8% ở thành thị và giảm đi 1000 người so với tỷ lệ 2,0 %
ở nông thôn
 Bạn hiểu như thế nào về những thông số trên?
 Từ năm 1992 trở về trước; tỷ lệ gia tăng dân số ở tỉnh đó là 2,0%. Đến đầu năm
1992, dân số tỉnh này là 2 triệu người và đến năm 1993; tỷ lệ này đã có sự chênh
lệch:
 Dân số thành thị giảm từ 2,0% (1992) xuống còn 1,8% (1993) (chứ không phải là tỷ
lệ ban đầu giảm đi 1,8% = 2% - 1,8% = 0,2% (sai))
 Giảm đi so với tỉ lệ 2,0% ở nông thôn (1992) là 1000 người

• Một tỉnh có tỉ lệ tăng dân số trước kia là 2,0% so với dân số đầu năm 1992 là 2
triệu dân. Do tỉ lệ gia tăng dân số ở đây giảm đi còn 1,8% ở vùng thành thị và giảm
đi 1000 người so với số đạt được với tỉ lệ 2,0 % ở vùng nông thôn nên dân số đầu
năm 1993 của tỉnh đó là 2 038 400 người. Tính dân số ở vùng nông thôn của tỉnh
đó vào đầu năm 1993
 Mối quan hệ giữa dân số thành thị; dân số nông thôn và dân số của tỉnh
 Dân số của tỉnh = Dân số thành thị + Dân số nông thôn
 Như vậy, bạn có thể thiết lập mối quan hệ giữa dân số thành thị; dân số nông thôn
và dân số của tỉnh qua năm trước và năm sau
 Dân số của tỉnh 1992 = Dân số thành thị 1992 + Dân số nông thôn 1992
Dân số của tỉnh 1993 = Dân số thành thị 1993 + Dân số nông thôn 1993
 Các bạn có thể tìm được mối quan hệ giữa dân số của thành thị và nông thôn của
năm trước và năm sau được không?
 Dân số nông thôn 1993 = Dân số nông thôn 1992 + tỷ lệ gia tăng  dân số nông
thôn 1992
 Dân số thành thị 1993 = Dân thành thị 1992 + tỷ lệ gia tăng  dân số thành thị
1992

Ngôn ngữ thông thường

Ngôn ngữ đại số

Dân số thành thị 1992

x ( 0
Dân số nông thôn 1993

y (0
Dân số của tỉnh 1992 là 2000000 người

x + y = 2000000 (người)

Dân số thành thị 1993 giảm đi còn 1,8%

x + 1,8%x (người)

Dân số nông thôn 1993 giảm đi so với tỉ lệ 2%
là 1000 người

y + 2%y – 1000 (người)

Dân số của tỉnh năm 1993 là 2 038 400 người

x + 1,8%x + y + 2%y – 1000 = 2038400