CHƯƠNG II : ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng .

Khái niệm mở đầu

I.  Khái niệm mở đầu.
Các hình trong mặt phẳng:
Tam giác, đường tròn…

Có rất nhiều hình không nằm trong mặt phẳng như: bút chì, quyển
sách, khối Rubic…

Môn học nghiên cứu tính chất các hình có thể
không cùng nằm trên một mặt phẳng gọi là Hình
học không gian.

Mặt
hồ
nước
yên
lặng

I. Khái niệm mở đầu
1. Mặt phẳng
• Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước hồ yên lặng … cho ta hình ảnh
một phần của mặt phẳng trong không gian.
Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn.
• Biểu diễn mặt phẳng:

P

• Kí hiệu: mp(P), mp() hoặc (P), ().



I. Khái niệm mở đầu
1. Mặt phẳng
2. Điểm thuộc mặt phẳng

B

A

P

Điểm A thuộc mp (P) và kí hiệu A  (P).
Điểm B không thuộc mp (P) và kí hiệu B  (P).

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng .

Hình biểu diễn của một hình trong không gian

3.Hình biểu diễn của một hình trong không gian
Người ta dùng hình vẽ trên mặt phẳng (mặt bảng, mặt giấy) để
mô tả một hình cụ thể trong không gian: Hình đó là hình biểu
diễn của một hình trong không gian.
Quy tắc:
- Đường thẳng biểu diễn bằng đường thẳng; đoạn thẳng biểu diễn
bằng đoạn thẳng.
- Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) biểu diễn bằng hai
đường thẳng song song (hoặc cắt nhau).
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ "thuộc" có trên hình thật.
- Nét liền biểu diễn đường thấy được, nét đứt biểu diễn đường bị
khuất.

3. Hình biểu diễn của một hình không gian
Ví dụ 1: Một vài biểu diễn của hình lập phương

3. Hình biểu diễn của một hình không gian
Ví dụ 2: Một vài biểu diễn hình chóp tam giác

I. Khái niệm mở đầu
II. Các tính chất thừa nhận:
Tính chất 1

Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.

B
d

A

II. Các tính chất thừa nhận:
 Tính chất 2

Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
A
C

B

Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C được kí
hiệu là: mp(ABC) hay (ABC).

II. Các tính chất thừa nhận:
 Tính chất 3

Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mặt phẳng thì
mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (α)
thì ta nói đường thẳng d nằm trong (α) hay (α) chứa d.
Kí hiệu: d  (α)
A

B

VD. Cho ∆ABC, M là điểm kéo dài của đoạn BC. Hãy cho biết
a) Điểm M có thuộc (ABC) không?
b) AM có nằm trong (ABC) không
c) mp(ABC ) và (ABM) có trùng nhau không?
A

B





a) Ta có: M BC , BC
b ) Mà: A
(ABC)
Vậy: AM
(ABC)

C


(ABC)  M

M



(ABC)

c) mp(ABC ) và mp(ABM) trùng nhau vì chúng cùng
thuộc mp (ABM)

II. Các tính chất thừa nhận:
 Tính chất 4

Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.

Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mặt phẳng thì ta nói
những điểm đó đồng phẳng, còn nếu không có mặt phẳng
nào chứa các điểm đó thì ta nói rằng chúng không đồng
phẳng.
S

A

B
C

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng .

Các tính chất thừa nhận của hình học không gian

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung
thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các
điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Đường thẳng chung: giao tuyến của hai mặt phẳng.

A

P)


A



a

A



• VD Trong (P) cho hình bình hành (ABCD). Lấy một điểm S
không thuộc (P)
• a)S có phải làm điểm chung của (SAC), (SBD) không?
• b) Chỉ ra một điểm chung của (SAC), (SBD)khác S
• c) Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD)
a) S là điểm chung hai mp (SAC)

và (SBD) vì

S

S  (SAC ); S  (SBD)

b) Gọi I là giao điểm của (SAC)
và (SBD) ta có
I  AC  ( SAC ); I  BD  ( SBD)

P

A
B

D
I
C

Vậy I là điểm chung thứ hai của hai mp.
c) Giao tuyến của (SAC) và (SBD) là SI

II. Các tính chất thừa nhận:
 Tính chất 6

Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng
đều đúng.

26

•
•
•
•

Các khẳng định sau đúng hay sai
a)Bốn điểm A, B, C, I đồng phẳng;
b) Bốn điểm A, C, D, S đồng phẳng;
c) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và
(SAD) là SA;
S
• d) SC=(SBC) (SCD)
A
• e) SD  (SAD)

Đáp án:
a, c, d, e: đúng. b: sai

P

B

I
C

D

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng .

III. Cách xác định một mặt phẳng

Một mặt phẳng được xác định nếu 
biết nó đi qua ba điểm không thẳng 
hàng. 
Một mặt phẳng được xác định nếu 
biết nó đi qua một đường thẳng và 
một điểm không thuộc đường thẳng 
đó.

Một mặt phẳng được xác định nếu 
biết nó đi qua hai đường thẳng cắt 
nhau. 

Điều kiện xác định mặt phẳng

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng .

Hình chóp và hình tứ diện

IV. Hình chóp và hình tứ diện
4.1. Hình chóp: (SGK)
Cho đa giác A1 A2… An  và cho một điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P)
chứa đa giác.
Nối S với các đỉnh A1, A2, ..., An ta được n tam giác: SA1A2, SA2
A3, ..., SAnA1.
Hình gồm n tam giác đó và đa giác A 1 A2… An gọi là hình chóp và
được kí hiệu là S.A1 A2… An    
S: đỉnh.
Đa giác A1 A2… An: đáy.
A1A2,A2 A3,… AnA1: cạnh đáy của hình chóp.
Các cạnh SA1,SA2..gọi là cạnh bên.
SA1A2, SA2A3…SAnA1 gọi là các mặt bên.

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng .

Hình chóp và hình tứ diện

Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng .

Hình biểu diễn của một hình trong không gian

4.2 Hình tứ diện: (sgk)
Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.
Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD và BCD gọi
là hình tứ diện (hay ngắn gọn tứ diện) và được kí hiệu
là ABCD.

⓶

Phân dạng bài
tập

①. Dạng 1:Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng.

 Cách giải: Muốn tìm giao tuyến của hai
mặt phẳng
Ta tìm hai điểm chung thuộc cả hai mặt
phẳng. 
Nối hai điểm chung đó được giao tuyến
cần tìm.

⓶

Phân dạng bài
tập

②. Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt
phẳng
 Cách giải: Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt
phẳng (P), có hai cách làm như sau:
 Những bài đơn giản, có sẵn một mặt phẳng (Q)
chứa đường thẳng d và một đường thẳng a thuộc mặt
phẳng (P). Giao điểm của hai đường thẳng không
song song d và a chính là giao điểm của d và mặt
phẳng (P).
 Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d, sao
cho dễ dàng tìm giao tuyến với mặt phẳng (P). Giao
điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) chính là
giao điểm của đường thẳng d và giao tuyến a vừa
tìm.

⓶

Phân dạng bài
tập

③. Dạng 3:
Tìm thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P)
 Cách giải: Thiết diện là phần chung của mặt phẳng (P)
và hình (H)
Xác định thiết diện là xác định giao tuyến của mp (P)
với các mặt của hình (H).
Thường ta tìm giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với
một mặt phẳng () nào đó thuộc hình (H), giao tuyến này
dễ tìm được.
Sau đó kéo dài giao tuyến này cắt các cạnh khác của hình
(H), từ đó ta tìm được các giao tuyến tiếp theo.
Đa giác giới hạn bởi các đoạn giao tuyến này khép kín
thành một thiết diện cần tìm

⓶

Phân dạng bài
tập

⓶

Phân dạng bài
tập
d
α

β

A
B
C

I

c
a

b

P
Q

R