ĐẠI SỐ 8
Tiết 45.

§4. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

KHỞI ĐỘNGc

1. Nêu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử đã học ?
Trả lời:
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học:
- Đặt nhân tử chung
- Dùng hằng đẳng thức
- Nhóm hạng tử
- Phối hợp nhiều phương pháp

KHỞI ĐỘNG
2. Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:
a) P(x) = (x2 - 1) + (x + 1)(x - 2)
b) Q(x) = (x - 1)(x2 + 3x - 2) - (x3 - 1)
Bài giải

a) P(x)
= (x2 – 1) + (x + 1)(x – 2)
= (x + 1)(x – 1) + (x + 1)(x – 2)
= (x + 1)(x – 1+ x – 2)
= (x + 1)(2x – 3)

KHỞI ĐỘNG
b) Q(x)
= (x – 1)(x2 + 3x – 2) – (x3 – 1)
Hãy giải phương trình
P(x) = 0
2
2
= (x – 1)(x + 3xtức
– 2)(x– +(x1)(2x
–1)(x– +3)x=+01)?
= (x –1)(x2 + 3x – 2 – x2 – x – 1)
= (x –1)(2x – 3)

KHỞI ĐỘNG

Giải phương trình: P(x) = 0
 (x + 1) (2x – 3) = 0
(1)

Hãy phát biểu tiếp các
khẳng định sau :
 x + 1 = 0 hoặc 2x – 3 = 0
- Trong một tích, nếu có một
*x+1=0  x=-1
thừa số bằng 0 thì tích
… bằng 0

x
=
1,5
* 2x - 3 = 0  2x = 3
- Ngược lại, nếu tích bằng 0
Phương trình đã cho có hai nghiệm
thì ít nhất một trong các thừa
là x = 1,5 và x = - 1.
… bằng 0
số của tích phải
Tập nghiệm của phương trình là
a.b = 0  a = 0 hoặc b = 0
S = {1,5; -1 }
. Phương trình (1) được gọi là
(a và b là 2 số)
phương trình tích.

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Giải phương trình: P(x) = 0
1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ CÁCH GIẢI
 (x + 1) (2x – 3) = 0
(1)
Giải:

P(x) = 0  (x + 1) (2x – 3) = 0
 x + 1 = 0 hoặc 2x - 3 = 0 B 1
A(x) . B(x) = 0
*x+1=0  x=-1
B 2 Cách giải

* 2x - 3 = 0  2x = 3  x = 1,5
Bước 1: A(x). B(x) = 0
Tập nghiệm của pt là S = {1,5; -1} B 3
 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
* Khái niệm: Phương trình tích có
Bước 2: Giải A(x) = 0 và B(x) = 0
dạng: A(x).B(x) = 0 (trong đó A(x),
B(x) là những biểu thức hữu tỉ của Bước 3: Kết luận nghiệm
ẩn và không chứa ẩn ở mẫu).
(lấy tất cả các nghiệm của chúng).

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Trong các phương trình sau, phương trình nào là
phương trình tích?
1

5x.(
 x) 0
1)
2
2) (2x – 1) = – x.(6x – 3 )
3) (2x + 7).(x – 9) = 0
4) (x3 + x2) + (x2 + x) = 0

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
* Ví dụ 1: Giải phương trình (3x – 2).(x + 1) = 0
Giải:
(3x – 2).(x + 1 ) = 0
 3x  2 0 hoặc x  1 0
* 3x  2 0
 3x 2
2
 x
3
Vậy tập nghiệm của
* x  1 0
 x  1
phương trình là: S  2; 1
3 

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Ta trình bày bài giải pt tích như sau:

3x  2.x  1 0
 3x  2 0
 
 x  1 0
 3x 2
 
 x  1

2
x

 
3

 x  1

Vậy tập nghiệm của
phương trình là:
2 
S  ; 1
3 

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

2. ÁP DỤNG
Ví dụ 2. Giải phương trình: (x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
Giải: (x + 1).(x + 4) = (2 - x).(2 + x)
Chuyển tất cả các
 (x  1).(x  4)  (2  x).(2  x) 0
hạng tử về vế trái
 x 2  x  4x  4  4  x 2 0
Rút gọn vế trái
 2x 2  5x 0
 x.(2x  5) 0

5

x
 2x  5 0



2

 x 0
 x 0

Phân tích đa thức thu được ở vế trái
thành nhân tử (Đặt nhân tử chung) 
Phương trình tích

Giải phương trình tích
rồi kết luận
5
 2

 5

; 0
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S 


TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

2. ÁP DỤNG
Giải phương trình: (x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
Giải:
 x 0
 
(x + 1)(x + 4) = (2 – x)(2 + x)
2x  5 0

 (x + 1)(x + 4) – (2 – x)(2 + x) = 0
 x 0
 ( x2 + x + 4x + 4) – (22 – x2) = 0


 x2 + x + 4x + 4 – 4 + x2 = 0
 x  5

2
 2x2 + 5x = 0
Vậy tập nghiệm của
 x(2x + 5) = 0
phương trình là
S = {0 ; - 2,5 }

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
* Cách giải phương trình đưa được về dạng phương trình tích:
B1. Đưa PT đã cho về dạng PT tích.
B2. Giải PT tích rồi kết luận.

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

2. ÁP DỤNG
?3 Giải phương trình: (x – 1)(x2 + 3x – 2) – (x3 – 1) = 0
Giải:
(x – 1)(x2 + 3x – 2) – (x3 – 1) = 0
 (x – 1)[(x2 + 3x – 2) – (x2 + x +1)] = 0
 (x – 1)(x2 + 3x – 2 – x2 – x – 1) = 0
 (x – 1)(2x – 3) = 0
 x 1
 x  1 0
 x 1
 
 
 
3

x
 2x  3 0
 2x 3

2
Vậy tập nghiệm của phương trình
là S = { 1 ; 1,5 }

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
Chú ý:
* Trường hợp vế trái là tích của nhiều hơn hai nhân tử,
ta cũng giải tương tự:
A(x) . B(x) . C(x) = 0
Û A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0
Hay: A( x) . B( x) . C( x) 0
 A( x) 0
  B( x) 0
 C( x) 0

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
2. ÁP DỤNG
Ví dụ 3. Giải phương trình:
2x3 = x2 + 2x – 1
 2x3  2x  x2  1 0

 x  1 0
  x  1 0
 2x  1 0

2
2
 2x.x  1  x  1 0
 x 1
 x 1

  x  1
 x2  1.2x  1 0
  x  1
 2x 1

1
 x  1.x  1.2x  1 0
 x  2
1

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S  1; 1; 
2


TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

2. ÁP DỤNG
?4 Giải phương trình: (x3 + x2) + (x2 + x) = 0
Cách 1
 x 0
(x3 + x2) + (x2 + x) = 0
 
 
3
2
 x +2x  x 0   
 x  1 0
 x.( x2  2x  1) 0   
 x 0
 
 x.( x +1)2 0    
 x  1
 x 0
Vậy tập nghiệm của
 
2
( x  1) 0
phương trình là S = {0; –1}

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

2. ÁP DỤNG
?4 Giải phương trình: (x3 + x2) + (x2 + x) = 0
Cách 2
 x =0
(x3 + x2) + (x2 + x) = 0
⇔
2
2
(
x+
1)
=0

⇔ x . x+1 +x. x+1 =0   
 x =0
⇔  x+1.( x2 +x)=0   
⇔
 
x+
1=0
x+1=0

⇔ x. x+1.( x +1)=0    
 x =0
⇔
 x =-1
Vậy tập nghiệm của
phương trình là S = {0; –1}

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
LUYỆN TẬP

Bài: Khoanh tròn chữ cái đứng trước câu trả lời
đúng trong các câu sau:
1. Tập nghiệm của phương trình (x + 1).(3 - x) = 0 là:
A. S = {1 ; -3 }
B. S = {-1 ; 3 }
C. S = {-1 ; -3 }
D. S = {1 ; 3 }
2. S = {1 ; -1} là tập nghiệm của ph­ương trình:
A. (x + 8).(x2 + 1) = 0
B. (x2 + 7).(x - 1) = 0
C. (1 - x).(x+1) = 0
D. (x + 1)2 -3 = 0

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
LUYỆN TẬP

3. Phư­ơng trình nào sau đây có 2 nghiệm:
A. (x - 2)(x2 + 4) = 0
B. (x - 1)2 = 0
C. (x - 1)(x - 4)(x-7) = 0
D. (x + 2)(x – 2)2 = 0

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
LUYỆN TẬP
Bài 21c - SGK- trang 17
Bài 22 - SGK- trang 17
Giải phương trình:
Giải phương trình:
c) (4x + 2)(x2 + 1) = 0
a) 2x. x  3   5. x  3  0
=0
4x+2=0
 4x+2
 x  3 . 2x  5  0
⇔ 2
 x 3
 x +1=0
 x  3 0
 
 
5
 x =- 0,5
2x

5

0

x


⇔

2
 pt voânghieäm
Phương trình có tập nghiệm
S = { - 0,5 }

 

5
Vậy S  3;
2

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
LUYỆN TẬP
Bài 22 - SGK- trang17
b) (x2 – 4) + (x – 2).(3 – 2x) = 0
 x- 2=0
(Gợi ý: phân tích vế trái thành nhân tử) ⇔ 
-x+5=0
-x+5 =0

2
(x – 4) + (x – 2).(3 – 2x) = 0
 x =2
(x – 2)(x + 2) + (x – 2).(3 – 2x) = 0
⇔
 x=5
(x – 2)(x + 2 + 3 – 2x) = 0
Phương trình có
(x – 2)(-x + 5) = 0
tập nghiệm S = {2; 5 }

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
LUYỆN TẬP
Bài 22 - SGK- trang 17
f) x2 – x – (3x – 3) = 0
 x(x – 1) – 3(x - 1) = 0
Phương trình có tập nghiệm
 (x – 1)(x – 3) = 0
S = {1; 3 }
 x-1=0
⇔
=0
3=0
x- 3
 x =1
⇔
 x =3

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
LUYỆN TẬP
2
x
Bài: Giải phương trình: (x  86)  (x  86).(5x  6)
Bạn Thanh giải như sau:

x (x  86)  (x  86).(5x  6)
 x 2 5x  6
 x 2  5x  6  0
 (x  2). (x  3)  0
2

 x =2
 x- 2=0
⇔
⇔
x=3
 x-3=0
 x=3

Vậy S = { 2; 3 }

Bạn Thanh giải sai,
vì đã chia cả 2 vế
của phương trình
cho x – 86.

Em có nhận xét gì
về cách giải này ?

TIẾT 45: §1. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
LUYỆN TẬP
Giải phương trình:
 x- 86 =0
x2 (x – 86) = (x – 86)(5x – 6)
 x- 2=0
2
⇔
 x (x – 86) – (x – 86)(5x – 6) = 0

 x-3=0
 (x – 86)[x2 – (5x – 6)] = 0
x =86

 (x – 86)(x2 – 5x + 6) = 0
⇔  x =2

 (x – 86)(x – 2)(x – 3) = 0
 x=3

Vậy tập nghiệm của phương
trình là : S = { 3; 2; 86 }

TÓM TẮT

Phương
trình tích

Nhận dạng phương trình tích.
Cách giải
phương
trình tích
A(x).B(x) = 0

Cách giải phương
trình đưa được về
phương trình tích

Bước 1: A(x).B(x) = 0
 A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
Bước 2: Giải A(x) = 0 và B(x) = 0
Bước 3: Kết luận nghiệm
(lấy tất cả các nghiệm của chúng).
Đưa phương trình
Bước 1:
đã cho về dạng
phương trình tích.
Bước 2: Giải phương trình
tích rồi kết luận.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ :
- Học kỹ bài, nhận dạng được phương
trình tích; nắm được cách giải phương
trình tích.
- Làm bài tập 21; 22 (các ý còn lại); 23
SGK / trang 17.
- Tiết sau : Luyện tập.