LUYỆN TẬP
(Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn,
góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)

LUYỆN TẬP

(Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)

I) KIẾN THỨC GHI NHỚ
A

1) Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
là góc có đỉnh ở bên trong

D
⏜

⏜

E

đường tròn chắn hai cung 𝐁𝐂   v à 𝐃 𝐀

O

=
B
C

LUYỆN TẬP

(Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)
2) Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
TH1:Hai cạnh của góc là cát tuyến với
đường tròn.

B

A
E

TH2 : Một cạnh của góc là cát tuyến, một
cạnh là tiếp tuyến với đường tròn

E

A

B

TH3 : Hai cạnh của góc là tiếp tuyến với
đường tròn

A

E
n

O

O

O

D
C

C

=

=

C

=

m

LUYỆN TẬP

(Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)
II) LUYỆN TẬP
Bài 1 . Qua điểm S nằm bên ngoài đường tròn (O), vẽ tiếp tuyến SA và cát tuyến SBC của
đường tròn ( SB < SC ) . Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại D và cắt (O) tại E
A

a) Chứng minh SA = SD
b) SD2 = SB . SC

O
S

B

D

C
E

Bài 1

a) Chứng minh SA = SD

A

𝜟𝐀𝐒𝐃𝐜â𝐧𝐭ạ𝐢𝐒
O
S

B

D

=

C
E

=

=

=

=

^ =¿
𝐁𝐀𝐄
là góc có đỉnh ở
bên trong đường

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và
dây cung chắn cung

⏜

𝐀𝐁𝐄

tròn

A

Xét (O)
là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
chắn cung AB và cung EC

O
S

B

D

=

C

AE là tia phân giác ( GT)

E

^E
⇒^
𝐁𝐀 E=𝐂𝐀

a) Chứng minh SA = SD

(Các góc nội tiếp bằng nhau
chắn các cung bằng nhau)

Xét (O)

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn
⏜

𝐀𝐁𝐄
=

=

(2)

Từ (1) (2) (3)

=
(1)

( DHNB)
SA = SD ( ĐN tam giác cân)
( ĐPCM)

(3)

Cách 2

A
3

2 1

𝜟𝐀𝐒𝐃𝐜â𝐧𝐭ạ𝐢𝐒

O
S

B

a) Chứng minh SA = SD

1

D

=

C
E

^ 𝐀
^+ ^
𝐒𝐀𝐃=
𝐀𝟑
𝟐

( là góc ngoài )

Bài 1
b) SD2 = SB . SC

A

O
S

B

D

SA = SD
C

E

SA2 = SB . SC

𝐒𝐀 𝐒𝐁
=
𝐒𝐂 𝐒𝐀

∆𝐒𝐀𝐁 đồ𝐧𝐠𝐝 ạ𝐧𝐠 ∆𝐒𝐂𝐀

Bài 1

b) SD2 = SB . SC
Xét

A

góc chung

O
S

B

D

C
E

= ( góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp
dây cung chắn cung AB)

( g.g )

= ( hai cạnh tương ứng tỉ lệ)
SA2 = SB . SC
Mà SA = SD ( cmt )
SD2 = SB . SC ( đpcm )

tuyến và

LUYỆN TẬP

(Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)
Bài 2.
Cho điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường
thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên trong đường tròn
Chứng minh:

^
^
^
𝐀+ 𝐁
S𝐌=𝟐. 𝐂𝐌𝐍

C

B
S

A

O
M
N

là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn

Bài 2.

C

B

0

= (góc nội tiếp chắn

Xét (O) có :
là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn

=

(2)

(3)

N

Chứng minh :

chắn cung

𝐂𝐍 𝐯 à𝐁𝐌

Từ (1) và (2)
+ = =

M

⏜

⏜

=

S

A

chắn cung

⏜

Hay 2. =

⏜

𝐂𝐍 𝐯 à𝐁𝐌

(1)

Từ (3) và (4)
( ĐPCM)

)

⏜

𝐂𝐍
(4)

TIẾT 45

LUYỆN TẬP

(Góc có đỉnhLUYỆN
ở bênTẬP
trong
đường
tròn, góc
có đỉnh
ở bên
ngoàiTRÒN
đường tròn)
: GÓC
CÓ ĐỈNH
Ở BÊN
TRONG
ĐƯỜNG
GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

Bài 3:
Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MB và MC. Vẽ đường kính
BOD. Hai đường thẳng CD và MB cắt nhau tại A.
Chứng minh M là trung điểm của AB
B
M

A

0

C

D

Bài 3

Chứng minh: M là trung điểm của AB

B
M

A

MA = MB

m

0
MB = MC

MA = MC

1

C

2

D

𝜟 𝐀𝐌𝐂𝐜 â𝐧 𝐭 ạ𝐢 𝐌
^
^𝟏
𝐀 =𝐂
()

=
=

=

=

MB và MC là
hai tiếp tuyến cắt
nhau tại M

B

Bài 3
M

Xét (O)
là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn
0

1

A

C

2D

Chứng minh : M là trung điểm của AB
Xét (O) có :
MC và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M ( GT)
MC = MB ( Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau )
^
Xét (O) có : 𝐂
là𝟐góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung
CD

mà

=

m

=

⇒

Mà = 1800

= =

⇒

Từ (1) (2)
( DHNB tam giác cân)

MA = MC ( Định nghĩa)
MC = MB ( cmt )
( đối đỉnh )

=

MA = MB ( = MC )
( 1)

M là trung điểm của AB ( ĐPCM)

( 2)

Bài 3.
1

M

A

Cách 2 : M là trung điểm của AB

B

m

0

1

MA = MB

2
C

D

MA = MC

𝜟 𝐀𝐌𝐂𝐜â𝐧 𝐭ạ𝐢 𝐌
^
^
𝐀 =𝐂
𝟏

MB = MC
MB và MC là
hai tiếp tuyến cắt
nhau tại M

^ ^
𝟎 ^
𝟎 𝐁 𝟏=𝐂𝟐
^
^
^
𝐀 + 𝐁 𝟏=𝟗𝟎 𝐂𝟏+ 𝐂𝟐=𝟗𝟎
𝟎
^
𝐀𝐂𝐁=𝟗𝟎
𝟎
^
𝐁𝐂𝐃=𝟗𝟎

cân
MB = MC

Bài 3.

Cách 3: M là trung điểm của AB
B

MO // AD

M

A

0

C

D

OB =OD

TIẾT 45. LUYỆN TẬP

(Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn)

Bài 4.
Cho tam giác ABC nội tiếp (O). Gọi P, Q , R theo thứ tự là các điểm chính giữa của các cung bị chắn BC
A

, CA , AB bởi các góc A , B, C
a) Chứng minh : AP QR
b) AP cắt CR tại I. Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân

Q
R
O

c) Chứng minh PQ là đường trung trực của IC
d) Gọi M là giao điểm của PQ và AC. Chứng minh : IM // BC

B

C
P

A
Q
R

⇒

K
O

B

sđ (R là điểm chính giữa cung AB)
C

P

a) Chứng minh : AP QR
Gọi K là giao điểm của AP và QR
Ta có là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn
chắn cung AQ và cung RP
=

=

⇒

sđ ( Q là điểm chính giữa cung AC)
(P là điểm chính giữa cung BC )
=

V

ậ 𝑦 :

𝟎
𝟑𝟔𝟎
𝟎
^
𝐀𝐊𝐐=
=𝟗𝟎
𝟒

( đpcm)

A

=
Q

K

R

O

I

C
P

b) Chứng minh tam giác CPI là tam giác cân
Xét (O) có :
Góc CIP là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn chắn
cung RA và cung CP

Mà

(gt)

(1)

Xét (O) có :

B

=

=

Góc ICP là góc nội tiếp chắn

=

⏜

𝐑𝐁𝐏

(2)

^
Từ (1) (2) ⇒ ^
𝐂𝐈𝐏=𝐈𝐂𝐏
Vậy : CPI là tam giác cân tại P
( DHNB tam giác cân) ( ĐPCM)

A
Q
R

⏜

K

B

( Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
^
^
𝐀𝐏𝐐=𝐂𝐏𝐐
C

P

⏜

𝐐 𝐀 = 𝐐𝐂 ¿
O

I

c) Chứng minh PQ là đường trung trực của IC
Xét (O) có :

PQ là tia phân giác của hay
Xét CPI cân tại P ( cmt)
Mà PQ là tia phân giác của

( cmt)

PQ là đường trung trực của IC ( TC tam giác cân)

A

d) Chứng minh : IM // BC
Q

R

⏜

K

B

2
P

⏜

𝐑 𝐀 =𝐑 𝑩 ¿
O
1

I

Xét (O) có :

^ =𝐂
^ ( Các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
𝐂
𝟏
𝟐

M
1
C

Ta có : PQ là đường trung trực của IC ( cmt )

Mà M thuộc PQ
MI = MC ( TC điểm thuộc đường trung trực của đoạn thẳng)
CMI cân tại M ( DHNB tam giác cân )
( TC tam giác cân)

^ =𝐂
^ (𝐜𝐦𝐭 )
𝐂
𝟏
𝟐

Mà hai góc này ở vị trí so le trong
IM // BC ( DHNB hai đường thẳng song song) ( ĐPCM)

Bài tập về nhà
Bài 43 ( SGK – Trang 83)
Bài 30 , 31 , 32 ( SBT – Trang 78)