2

Cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 và điểm M(4; – 2)
a) Chứng minh điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C).
b) Xác định tâm và bán kính của (C).
c) Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Hãy chỉ ra một vectơ pháp
tuyến của đường thẳng ∆ (H.7.16).
Từ đó, viết phương trình đường thẳng ∆.

a) Thay tọa độ điểm M(4; – 2) vào phương trình
đường tròn (C) ta được:

(4 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 = 25
Û 25 = 25

M
I
Δ

( luôn đúng)

Vậy điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C).
b) Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính

(C)

Hình 7.16

2

Cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y – 2)2 = 25 và điểm M(4; – 2)
a) Chứng minh điểm M(4; – 2) thuộc đường tròn (C).
b) Xác định tâm và bán kính của (C).
c) Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Hãy chỉ ra một vectơ pháp
tuyến của đường thẳng ∆ (H.7.16).
Từ đó, viết phương trình đường thẳng ∆.
M

c) Ta có: ∆ ⊥ IM tại M (bán kính đi qua tiếp điểm thì
I
vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm đó).
Δ
Do đó một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ là
(C)
vectơ
Hình 7.16
Đường thẳng ∆ đi qua M(4; – 2) và có một vectơ pháp tuyến nên có
phương trình là:
3( x - 4) - 4( y + 2) = 0

Û 3 x - 4 y - 20 = 0

( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = R 2
 Cho điểm thuộc đường tròn (C) :
tâm I(a;b), bán kính R . Khi đó tiếp tuyến của (C) tại có
vectơ pháp tuyến và phương trình :

(a - x0 )( x - x0 ) + (b - y0 )( y - y0 ) = 0

4

Cho phương trình đường tròn (C) : ( x +1) 2 + ( y - 3) 2 = 5
Điểm M(0;1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có
hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).

 Do (0 +1) 2 + (1- 3) 2 = 5 , nên điểm M thuộc (C).
Đường tròn (C) có tâm là I(-1;3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0;1)
có vectơ pháp tuyến có phương trình :
- 1( x - 0) + 2( y - 1) = 0
Û x - 2 y +2 = 0

LUYỆN TẬP

4

2
2
x
+
y
- 2 x + 4 y +1 = 0
Cho phương trình đường tròn (C) :

Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm N(1; 0).

Ta có : x 2 + y 2 - 2 x + 4 y +1 = 0
2
2
Û x + y - 2.1.x - 2.(- 2) y +1 = 0
Khi đó : a = 1, b =- 2, c = 1
Khi đó đường tròn (C) có tâm
2
1
Do + 0 - 2.1 + 0 +1 = 0 , nên điểm N thuộc (C).
Đường tròn (C) có tâm là I(1;-2). Tiếp tuyến của (C) tại N(1;0)
có vectơ pháp tuyến có phương trình :
0( x - 1) + 2( y - 0) = 0
Û y =0

Phương trình của đường tròn đi qua M(x;y)
có tâm I(a;b) , bán kính R

( x - a ) 2 + ( y - b) 2 = R 2
Phương trình
đường tròn

Tiếp tuyến của
đường tròn

Phương trình là phương trình của một
đường tròn (C) khi và chỉ khi

Cho điểm thuộc đường tròn (C) có tâm
I(a;b), bán kính R .Khi đó tiếp tuyến của (C)
tại
có
vectơ
pháp
tuyến
là :

(a - x0 )( x - x0 ) + (b - y0 )( y - y0 ) = 0

Tìm tâm và bán kính của đường tròn

7.13

2

2

( x + 3) + ( y - 3) = 36

Ta viết phương trình đường tròn đã cho về dạng:
2

2
2
x
(
3)
+
(
y
3)
=
6
(
)

Do đó đường tròn này có tâm I(– 3; 3) và bán kính R = 6.

7.14

Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình
của đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn đó .
2

2

a ) x + y + xy + 4 x - 2 = 0
b) x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 5 = 0
c) x 2 + y 2 + 6 x - 8 y +1 = 0

a) Phương trình x2 + y2 + xy + 4x – 2 = 0 không có dạng
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0
Nên a) không phải phương trình đường tròn.
2
2
b) Ta có : x + y - 2 x - 4 y + 5 = 0

Û x 2 + y 2 - 2.1.x - 2.2 y + 5 = 0
2
2
2
2
Þ
a
+
b
c
=
1
+
2
- 5=0
a
=
1,
b
=
2,
c
=
5
Khi đó :

Nên b) cũng không phải phương trình đường tròn.

7.14

Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình
của đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn đó .
2

2

a ) x + y + xy + 4 x - 2 = 0
b) x 2 + y 2 - 2 x - 4 y + 5 = 0
c) x 2 + y 2 + 6 x - 8 y +1 = 0

2
2
c) Ta có : x + y + 6 x - 8 y +1 = 0

Û x 2 + y 2 - 2.(- 3).x - 2.4 y +1 = 0
Khi đó : a =- 3, b = 4, c = 1
Þ a 2 + b 2 - c = (- 3) 2 + 4 2 - 1 = 24 > 0
Nên c) là phương trình đường tròn có tâm I(– 3; 4) và bán kính

7.15

Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp
sau:
a) Có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7;
b) Có tâm I(1; – 2) và đi qua điểm A(– 2; 2);

a) Đường tròn có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7 có phương trình là
2

( x - (- 2)) + ( y - 5) 2 = 7 2
2

Û ( x + 2) + ( y - 5) 2 = 49
b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm A nên bán kính đường tròn là IA.
2
2
Ta có : IA = (- 2 - 1) + (2 - (- 2)) = 5

Do đó phương trình đường tròn là : ( x - 1) 2 + ( y - (- 2)) 2 = 52
2

2

Û ( x - 1) + ( y + 2) = 25

7.15

Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp
sau:
c) Có đường kính AB, với A(– 1; – 3), B(– 3; 5);
d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0.

c) Đường tròn có đường kính AB thì tâm của đường tròn này là trung
điểmđộcủa
AB.điểm I của AB là : I (- 2;1)
Tọa
trung
2

Ta có : AB = (- 3 - (- 1)) +(5 - (- 3) ) = 2 17
2

Khi đó phương trình đường tròn đường kính AB là:

( x + 2) 2 + ( y - 1) 2 = 68

7.15

Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp
sau:
c) Có đường kính AB, với A(– 1; – 3), B(– 3; 5);
d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0.

d) Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + 2y
+ 3 = 0 thì khoảng cách từ tâm I đến ∆ chính bằng bán kính của (C).
Ta có : R = d ( I ; D ) =

1 + 2.3 + 3
12 + 22

=2 5

Khi đó phương trình đường tròn (C) là:

( x - 1) + ( y - 3) = (2 5 )
2

2

2

2

Û ( x - 1) + ( y - 3) = 20

2

7.16

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC, với A(6; – 2),
B(4; 2), C(5; –5).
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
A
d2
d1

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn
đi qua ba điểm A, B, C.
Các đoạn thẳng AB, BC tương ứng có trung điểm là

M

B

N

C

Đường thẳng trung trực d1 của đoạn thẳng AB đi qua điểm M(5; 0) và có vectơ
pháp tuyến
Vì cùng phương với nên d1 cũng nhận làm vectơ pháp tuyến . Do đó d1 có
phương trình là :
1( x - 5) - 2( y - 0) = 0

x- 2y- 5 =0

7.16

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC, với A(6; – 2),
B(4; 2), C(5; –5).
Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Đường thẳng trung trực d2 của đoạn thẳng BC đi qua
điểm và có vectơ pháp tuyến . Do đó d2 có phương
9
3
trình

(x -

)- (y + ) =0
2
2

A
d2
d1

B

Û x - 7 y - 15 = 0

M

N

Tâm I của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC cách
đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của d1 và d2.
Tọa độ của I là nghiệm của hệ :

ìïï x - 2 y - 5 = 0
í
ïïî x - 7 y - 15 = 0

ìïï x = 1
Þ í
ïïî y =- 2

2
2
IA
=
(6
1)
+
(
2
(
2))
=5
Đường tròn (C) có bán kính :

2

2

Phương trình của đường tròn (C) : ( x - 1) + ( y + 2) = 25

Þ I (1; - 2)

C

7.17
Ta có :

2
2
x
+
y
+ 2x - 4 y + 4 = 0
Cho đường tròn (C) :

Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2).
2

2

x + y + 2x - 4 y + 4 = 0

Û x 2 + y 2 - 2.(- 2) x - 2.2 y + 4 = 0
Khi đó : a =- 1, b = 2, c = 4
Vậy đường tròn (C) có tâm I(-1;2)
Do 02 + 22 + 2 . 0 – 4 . 2 + 4 = 0 nên điểm M(0; 2) thuộc (C).
Tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2) có vtpt nên có phương trình
:
1( x - 0) + 0( y - 2) = 0

Û x =0

7.18

Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút
được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm
t (0 ≤ t ≤ 180) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sint°; 4 + cost°).
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

a) Vị trí ban đầu của vật thể là tại thời điểm t = 0, nên tọa độ của
điểm ở vị trí này là:

(2 + sin 00 ; 4 + cos 00 = (2; 5)
Vị trí kết thúc của vật thể là tại thời điểm t = 180, nên tọa độ của
điểm ở vị trí này là:
0

0

(2 + sin180 ; 4 + cos180 = (2;3)

7.18

Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút
được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm
t (0 ≤ t ≤ 180) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sint°; 4 + cost°).
a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể.
b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể.

b) Gọi điểm M(x; y) thuộc vào quỹ đạo chuyển động của vật thể.

ìï x - 2 = sin t 0
ìï ( x - 2) 2 = sin 2 t 0
ïí
ïí
Þ
Þ
í
ïï y - 4 = cos t 0
ïï ( y - 4) 2 = cos 2 t 0
ïï y = 4 + cos t 0
î
î
î
2
2
2 0
2 0
Þ ( x - 2) + ( y - 4) = sin t + cos t = 1

Ta có : ìï x = 2 + sin t 0
ï

2

2

Û ( x - 2) + ( y - 4) = 1
Vậy quỹ đạo chuyển động của vật thể là đường tròn có tâm I(2; 4)
và bán kính R = 1.