HÌNH HỌC 11
Chương II: QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
Bài 5. PHÉP CHIẾU SONG SONG
I
II

PHÉP CHIẾU SONG SONG
TÍNH CHẤT

III HÌNH BIỂU DIỄN CỦA MỘT HÌNH KHÔNG GIAN TRÊN MP

I

PHÉP CHIẾU SONG SONG
Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi.
H1: Bóng của dòng chữ và bóng của miếng bìa có được do đâu?
H2: Hình ảnh trên mặt phẳng (P) có được do đâu?

I

PHÉP CHIẾU SONG SONG

1 ĐỊNH NGHĨA

Định nghĩa
- Cho mặt phẳng và đường thẳng cắt .
Với mỗi điểm trong không gian, đường thẳng đi qua
và song song hoặc trùng với với cắt tại xác định.
 + Điểm được gọi là hình chiếu song song của điểm
lên mặt phẳng theo phương .
+ Mặt phẳng gọi là mặt phẳng chiếu.
+ Đường thẳng gọi là phương chiếu.
 - Phép đặt tương ứng mỗi điểm trong không gian
với hình chiếu của nó trên mặt phẳng được gọi là
phép chiếu song song lên theo phương .
- Cho hình H. Tập hợp các hình chiếu của tất cả
điểm thuộc được gọi là hình chiếu của qua phép
chiếu song song nói trên.

I

PHÉP CHIẾU SONG SONG

1 ĐỊNH NGHĨA

II

CÁC TÍNH TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG
Định lý 1

a) Phép chiếu song song biến ba
điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng và không làm thay đổi
thứ tự ba điểm đó.
b) Phép chiếu song song biến:
+ đường thẳng thành đường
thẳng
+ tia thành tia
+ đoạn thẳng thành đoạn thẳng.
c) Phép chiếu song song biến
hai đường thẳng song song
thành hai đường thẳng song
song hoặc trùng nhau.

II

CÁC TÍNH TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG
Định lý 1

d) Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai
đoạn thẳng cùng nằm trên một đường thẳng hoặc nằm trên hai
đường thẳng song song.

Câu hỏi: Có nhận xét gì về tỉ số và

=

II

CÁC TÍNH TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG
Hình chiếu song song của một hình
vuông có thể là một hình bình hành
được không?

Phép chiếu song song không
làm thay đổi tỉ số độ dài trên
các cặp cạnh song song nên
tỉ số của 2 cạnh đối diện = 1
=> Hình chiếu song song
của hình vuông là một hình
bình hành.

II

CÁC TÍNH TÍNH CHẤT CỦA PHÉP CHIẾU SONG SONG
Hình (2.67) có thể là hình chiếu song song
của hình lục giác đều được không?

Được. Vì tỉ số giữa các cạnh đối diện không thay đổi
và =1

III

HÌNH BIỂU DIỄN CỦA HÌNH KHÔNG GIAN TRÊN MẶT PHẲNG

Ghi nhớ
Hình biểu diễn của một hình H trong không gian là
hình chiếu song song của hình H lên một mặt phẳng nào đó theo
một phương chiếu nào đó hoặc hình đồng dạng với hình chiếu đó.
Hình biểu diễn của các hình thường
gặp
a)
Tam giác: Một tam giác bất kì đều có thể xem là hình biểu diễn của
một tam giác tùy ý cho trước (tam giác đều, tam giác cân, tam giác
vuông,...)

III

HÌNH BIỂU DIỄN CỦA HÌNH KHÔNG GIAN TRÊN MẶT PHẲNG

Hình biểu diễn của các hình thường
gặp
b) Hình bình hành: Một hình bình hành bất kì bao giờ cũng có thể coi
là hình biểu diễn của một hình bình hành tùy ý cho trước (hình bình
hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi,...)

c) Hình thang: Một hình thang bất kì có thể coi là hình biểu diễn
của một hình thang tùy ý cho trước, miễn là tỉ số độ dài của hai
đáy của hình biểu diễn phải bằng tỉ số độ dài hai đáy của hình
thang ban đầu.

III

HÌNH BIỂU DIỄN CỦA HÌNH KHÔNG GIAN TRÊN MẶT PHẲNG

Hình biểu diễn của các hình thường
gặp
d) Hình biểu diễn của một hình tròn là một đường elip hoặc một đường
tròn,
hoặc đặc biệt có thể là một đoạn thẳng

BÀI TẬP TRẮC
NGHIỆM
Câu 1  Khẳng định nào sau đây là đúng?

A

C

Hình biểu diễn của một hình
bình hành là một hình bình
hành.

Hình biểu diễn của một hình
Bchữ
nhật là một hình chữ nhật.

D

Hình biểu diễn của một hình
thoi là một hình thoi.

BÀI TẬP TRẮC
NGHIỆM
Câu 2
 Khẳng định nào sau đây là SAI ?
Phép chiếu song song biến trung
A điểm của đoạn thẳng thành trung
B
điểm của đoạn thẳng hình chiếu.

Phép chiếu song song biến trọng
tâm tam giác thành trọng tâm
tam giác hình chiếu.

Phép chiếu song song biến tâm
Phép chiếu song song có thể biến
C hình bình hành thành tâm hình bìnhD trọng tâm tam giác thành một
hành hình chiếu
điểm không phải là trọng tâm
tam giác hình chiếu.

BÀI TẬP TRẮC
NGHIỆM
Câu 3
Cho tứ diện ABCD. M là trọng tâm
của tam giác ABC. Hình chiếu song
song của điểm M theo phương CD
lên mặt phẳng (ABD) là điểm nào
sau đây?
 

A
C

Điểm A

B

D

Điểm B
Trung điểm của đường trung
tuyến kẻ từ D của tam giác

BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 1
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'.Tìm ảnh của điểm M qua phép chiếu song
song
   lên mặt phẳng chiếu (A'B'C') theo phương CC'. Trong đó M là trung
điểm của BC.
Lời Giải

M

C

Ta có phép chiếu song song lên
mp(A'B'C') theo phương chiếu
CC': biến C thành C', biến B
thành B'
Do M là trung điểm của BC suy ra
M' là trung điểm của B'C'

B
A

C'

B'
M'
A'

BÀI TẬP TỰ LUẬN

Câu 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành; M là trung điểm của SC.
  
Tìm hình chiếu song song của điểm M theo phương AB lên mặt phẳng (SAD)?
S

Lời Giải
+ Giả sử N là ảnh của M theo phép chiếu
song song theo phương AB lên mặt
phẳng (SAD)
   +
Suy
ra
:
MN//
AB
mà
AB
//
CD
   
⇒ MN // CD ⇒ N là trung điểm của SD

N

D

M
B

A

C

BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 3
Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của AB. Tìm hình
  
chiếu của M trên mp(BCD) theo phương AC?
A

Lời Giải
Gọi E là trung điểm của BC
Tam giác ABC có M và E lần lượt là
trung điểm của AB và BC
⇒ ME là đường trung bình của tam
giác ABC nên ME // AC.
⇒ Hình chiếu của điểm M trên mp
(BCD) theo phương AC là E - trung
điểm BC

M

C
E
D

B

BÀI TẬP TỰ LUẬN
Câu 4

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, O là tâm
của đáy. Trên cạnh SB, SD lần lượt lấy điểm M; N sao cho SM=2MB
  
và SN=1/3.SD
Hình chiếu của M; N qua phép chiếu song song lên mặt phẳng chiếu
(ABCD) theo phương của đường thẳng SO lần lượt là P; Q. Tính tỉ số
Lời Giải
+ Do P là hình chiếu song song của M qua phép chiếu
đường thẳng SO ⇒ BM/BS = BP/BO
+ Mà SM = 2MB nên:
+ Chứng minh tương tự ta có: OQ/OD = 1/3   (2)
Do ABCD là hình bình hành tâm O nên BO = DO   (3)
+ Từ (1); (2); (3) suy ra: OP/OQ = 2

Biến 3 điểm
thẳng hàng
thành 3 điểm
thẳng hàng

Biến 2 đt song
song thành 2 đt
song song hoặc
trùng nhau

Không làm thay đổi
tỉ số độ dài của hai
đoạn thẳng

Phép đặt tương ứng mỗi
điểm A trong kg với điểm
A' của mp (P) sao cho
đường thẳng qua A và A'
song song hoặc trùng với l
gọi là phép chiếu song
song lên mp (P) theo
phương l