CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN VỚI
TIẾT HỌC NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Một số tình huống trong cuộc sống dẫn đến việc cộng, trừ hai đa thức một
biến, chẳng hạn, ta phải tính tổng diện tích các mặt của hình hộp chữ nhật
(hình 2) có độ dài hai cạnh đáy là x(m), 2x (m) và chiều cao là 2 (m).

Phép cộng, phép trừ hai đa thức một biến
được thực hiện như thế nào?

CHƯƠNG VI: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
BÀI 3: PHÉP CỘNG, PHÉP TRỪ ĐA
THỨC MỘT BIẾN

NỘI DUNG BÀI HỌC
01

CỘNG HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN

02

TRỪ HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN

01
CỘNG HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN

Thảo luận nhóm hoàn thành HĐ1

HĐ1: a) Thực hiện phép cộng trong mỗi trường hợp sau:
b) Nêu quy tắc cộng hai đơn thức có cùng số mũ của biến.
Giải
a)
b) Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ)
các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

HĐ 2: Cho hai đa thức:
a) Sắp xếp các đa thức theo số mũ giảm dần của biến.
b) Tìm đơn thức thích hợp trong dạng thu gọn của và cho

ở bảng sau rồi

cộng hai đơn thức theo từng cột và thể hiện kết quả ở dòng cuối cùng ở mỗi cột:

c) Dựa vào kết quả cộng hai đơn thức theo từng cột, xác định đa thức .

Giải
a) P(x) = và Q(x)=
b)

𝟐

𝟓𝒙
𝟐
𝒙
𝟔𝒙

𝟐

c) R(x) = 

𝟐𝒙
𝟖𝒙
𝟏𝟎 𝒙

𝟒
𝟏
𝟓

NHẬN XÉT
Để cộng hai đa thức một biến (theo cột dọc), ta có thể làm như sau:
- Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ
giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
- Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột;
- Cộng hai đơn thức trong từng cột, ta có tổng cần tìm.

Ví dụ 1 (SGK – tr55)

Tính tổng của hai đa thức:

và
Giải
3

2

( 𝑥 )= 5 𝑥 + 2 𝑥 + 3 𝑥 Đặt
+hai
1đơn
  thức có cùng số mũ
+
3
2
( 𝑥 ) =2 𝑥 − 4 𝑥 + 2 𝑥
2ở cùng cột
của+
biến
3

2

Cộng hai đơn thức trong từng cột
+𝑄 ( 𝑥 ) =7 𝑥 − 2 𝑥 +5 𝑥 +3

Ví dụ 2 (SGK – tr55)
Khi đặt phép cộng hai đa thức: và
Bạn Hòa viết như sau:

Theo em, bạn Hòa viết như vậy đúng chưa? Vì sao?
Nếu chưa đúng, em hãy sửa lại cho đúng.

Giải
Cách làm của bạn Hòa chưa đúng.
Lí do: Vì các đơn thức và 6 không có cùng số mũ của biến
nên chúng không được viết ở cùng cột.
Cách viết đúng là:

𝑃 ( 𝑥 ) =2 𝑥
+

2

+ 6 𝑥 −1  
2

𝑃 ( 𝑥 ) +𝑄 ( 𝑥 ) =7 𝑥 + 6 𝑥 +5

LUYỆN TẬP 1
Để cộng hai đa thức P(x), Q(x), bạn Dũng viết như dưới đây có đúng
không? Vì sao? Nếu chưa đúng, em hãy sửa lại cho đúng.

Giải
Bạn Dũng viết như vậy chưa đúng vì -1 là hệ số tự do còn 2x là
đơn thức chứa x nên việc đặt cùng cột để cộng là không đúng.

* Sửa lại:

𝑃 ( 𝑥 ) =6 𝑥
+

2

+3 𝑥 − 1  
2

𝑃 ( 𝑥 ) +𝑄 ( 𝑥 ) =14 𝑥 + 5 𝑥 +5
* Chú ý:
Khi cộng đa thức theo cột dọc nếu một đa thức khuyết số mũ
nào của biến thì khi viết đa thức đó, ta bỏ trống cột tương ứng
với số mũ trên.

HĐ 3: Cho hai đa thức:
và
a) Sắp xếp các đa thức và theo số mũ giảm dần của biến.
b) Viết tổng theo hàng ngang.
c) Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau.
d) Tính tổng bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.
Giải
a) và
b)  
c)

NHẬN XÉT
Để cộng hai đa thức một biến (theo cột ngang), ta có thể làm như
sau:
• Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ
giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
• Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang;
• Nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau.
• Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

Ví dụ 3 (SGK – tr56)
Tính tổng của hai đa thức
và
Giải

Ta có:
3

2

3

2

¿ − 4 𝑥 +2 𝑥 + 4 𝑥+ 1+ 2 𝑥 −3 𝑥 + 2 𝑥 +2
3
3
2
2
¿ ( − 4 𝑥 +2 𝑥 ) + ( 2 𝑥 − 3 𝑥 ) +(4 𝑥+ 2 𝑥)+(1+2)
3
2
¿ −2 𝑥 − 𝑥 +6 𝑥 +3

LUYỆN TẬP 2

Tính tổng của hai đa thức sau bằng hai cách:

3 2
𝑃 ( 𝑥 )=2 𝑥 + 𝑥 + 5 𝑥 − 2
2
¿
3

và
Giải

Cách 1: Tính theo hàng ngang

3 2
3
2
¿2𝑥 + 𝑥 +5𝑥−2−8𝑥 +4𝑥 +6+3𝑥
2
3

LUYỆN TẬP 2

Tính tổng của hai đa thức sau bằng hai cách:

3 2
𝑃 ( 𝑥 )=2 𝑥 + 𝑥 + 5 𝑥 − 2
2
¿
3

và
Giải

Cách 2: Tính theo hàng dọc

3
3
2
𝑃 ( 𝑥 )=2 𝑥 +3 𝑥 +5𝑥
2 −2 
2 11𝑥 +3𝑥+6
𝑄 ( 𝑥 ) =−8 𝑥 +4
+

3

2

02
TRỪ HAI ĐA THỨC MỘT BIẾN

Thảo luận nhóm hoàn thành HĐ4

HĐ4: a) Thực hiện phép trừ trong mỗi trường hợp sau:
b) Nêu quy tắc trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến.
Giải

a)
 
b) Muốn trừ hai đơn thức có cùng số mũ của biến,
ta trừ hai hệ số cho nhau.

HĐ 5: Cho hai đa thức:
và
a) Sắp xếp các đa thức P(x), Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.
b) Tìm đơn thức thích hợp trong dạng thu gọn của đa thức P(x) và Q(x) cho
ở bảng sau rồi trừ hai đơn thức theo từng cột và thể hiện kết quả ở dòng cuối cùng của
mỗi cột:

c) Dựa vào kết quả trừ hai đơn thức theo từng cột, xác định đa thức S(x).

Giải

a)

b)

𝟐

𝟒𝒙
𝟐
𝟐𝒙
𝟐𝒙

𝟐

c) Đa thức

𝟑𝒙
𝟓𝒙
−𝟐 𝒙

𝟏
𝟑
−𝟐

NHẬN XÉT
Để trừ đa thức cho đa thực (theo cột dọc), ta có thể làm như
sau:
- Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo
số mũ giảm dần (hoặc tăng dần) của biến;
- Đặt hai đơn thức có cùng số mũ của biến ở cùng cột sao
cho đơn thưc của ở trên và đơn thức của ở dưới;
- Trừ hai đơn thức trong từng cột, ta có hiệu cần tìm.

Ví dụ 4 (SGK – tr57)

Cho hai đa thức:
và

Tính hiệu
Giải
Ta có

𝑃 ( 𝑥 ) =6
𝑥
_

3

𝑄 ( 𝑥 ) =3 𝑥

2

−2 𝑥

3

−4 𝑥

3

hai  
đơn thức có cùng số mũ
− 3 𝑥 Đặt
+1
2

2

biến
+ 2 𝑥của
−
2ở cùng cột
Trừ hai đơn thức trong từng cột

Ví dụ 5 (SGK – tr57)
Cho đa thức
Tìm đa thức sao cho:
Giải
Ta có:

𝑥

5

_
−
2 𝑥

2

5

2

−1  

1
𝑥 − 4 𝑥 −2 𝑥 +
2
4

2

4

3

LUYỆN TẬP 3
Cho hai đa thức: và . Tính hiệu .

Giải

1
2
𝑃 ( 𝑥 )=2 𝑥4 −52 𝑥 − 2 
3
Q ( 𝑥 )=−6 𝑥 +5 𝑥 +3 𝑥+
_

4

2

HĐ 6:
Cho hai đa thức: và
a) Sắp xếp các đa thức P(x) và Q(x) theo số mũ giảm dần của biến.
b) Viết hiệu P(x) - Q(x) theo hàng ngang, trong đó đa thức Q(x) được
đặt trong dấu ngoặc.
c) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q(x),
nhóm các đơn thức có cùng số mũ của biến với nhau.
d) Tính hiệu của P(x) - Q(x) bằng cách thực hiện phép tính trong
từng nhóm.

Giải
a) P(x) =
Q(x) =
b) P(x) - Q(x) =
c) P(x) - Q(x)

d) P(x) - Q(x)

NHẬN XÉT
Để trừ đa thức cho đa thưc (theo hàng ngang), ta có thế làm như sau:
- Thu gọn mỗi đa thức và sắp xếp hai đa thức đó cùng theo số mũ giảm
dẩn (hoặc tăng dần) của biến;
- Viết hiệu theo hàng ngang, trong đó đa thức được đặt trong dấu
ngoặc:
- Sau khi bỏ dấu ngoặc và đối dấu mỗi đơn thức trong dạng thu gọn của
đa thức , nhóm các đơn thực có cùng số mũ của biến với nhau;
- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.

Ví dụ 6 (SGK – tr59)
Cho hai đa thức: và
Tính hiệu .
Giải
Ta có:

3

2

¿ − 4 𝑥 − 𝑥 +10 𝑥 − 2

LUYỆN TẬP 4

Tính hiệu bằng hai cách, trong đó:

và
Giải
Cách 1: Tính theo hàng ngang
P(x) - Q(x)

3

2

¿ 15 𝑥 +2 𝑥 +3 𝑥 −5

LUYỆN TẬP 4

Tính hiệu bằng hai cách, trong đó:

và
Giải
Cách 2: Tính theo hàng dọc

3

2

𝑃 ( 𝑥 )=6𝑥 +8𝑥
+5𝑥−2
3
2
Q ( 𝑥 )= −9𝑥 +6𝑥
3 2 +2𝑥+3
_

LUYỆN TẬP

Bài 1

Cho hai đa thức: và Tính:
a)

b)

Giải
a) 

4

3

2

4

3

¿− 8 𝑥 +6 𝑥 +2 𝑥 − 5 𝑥 +1+𝑥 −8 𝑥 +2 𝑥+3
4

4

3

3

2

¿(−8 𝑥 +𝑥 )+(6 𝑥 − 8 𝑥 )+2 𝑥 +(−5 𝑥+2 𝑥 )+(1+3)
  

Bài 1

Cho hai đa thức: và Tính:
a)

b)

Giải
b) 
4

4

3

3

2

¿(−8 𝑥 − 𝑥 )+(6 𝑥 +8 𝑥 )+(2 𝑥 )+(−5 𝑥 − 2 𝑥 )+(1 −3)
  

Bài 2

Xác định bậc của hai đa thức là tổng, hiệu của:

và
Giải
5

4

2

5

3

𝐴(𝑥)+ 𝐵(𝑥)=(−8 𝑥 +6 𝑥 +2 𝑥 −5 𝑥+ 1)+(8 𝑥 +8 𝑥 +2 𝑥 −3)
5

5

4

3

2

¿(−8 𝑥 +8 𝑥 )+(6 𝑥 )+(8𝑥 )+(2𝑥 )+(−5 𝑥+2𝑥)+(1− 3)
Bậc của đa thức là tổng của là 4

Bài 2

Xác định bậc của hai đa thức là tổng, hiệu của:

và
Giải
5

4

2

5

3

𝐴(𝑥)− 𝐵(𝑥)=(− 8 𝑥 +6 𝑥 +2 𝑥 −5 𝑥+1)−(8 𝑥 +8 𝑥 +2 𝑥 − 3)
5

5

4

3

2

¿(−8 𝑥 − 8 𝑥 )+(6 𝑥 )−(8 𝑥 )+(2 𝑥 )+(−5 𝑥 −2 𝑥)+(1+3)
Bậc của đa thức là hiệu của là 5.

BÀI TẬP THÊM
Câu 1. Cho hai đa thức:
a) Tính theo cột dọc.
b) có là nghiệm của đa thức hay không?
c) Tính giá trị của biểu thức tại .

Giải
a)

Tổng:

Hiệu:

+¿

3

2

𝑀 ( 𝑥 )=𝑥 − 2 𝑥 +7 𝑥 −1

3

2

𝑀 ( 𝑥 )= 𝑥 − 2 𝑥 +7 𝑥 − 1
−
3
2
𝑁 ( 𝑥 ) =𝑥 −2 𝑥 − 𝑥 − 1

𝑀 ( 𝑥 ) − 𝑁 ( 𝑥 )= 8 𝑥

Giải
b) Gọi . Suy ra .
Ta có:
3

2

𝑃 ( 0 )= 2⋅ 0 − 4 ⋅ 0 +6 ⋅ 0 − 2= 0 −0+ 0 −2=− 2≠ 0
¿

𝑃 ( − 1 )= 2 ⋅ ¿

¿ −2 − 4 − 6 −2=−14 ≠ 0
Do đó không là nghiệm của đa thức .

Giải
c) Ta có:

(

27
¿2⋅ −
8

)

9
−4⋅
+( − 9 ) − 2
4

27
¿−
−9 − 9 −2
4
27 36 36 8
107
¿−
−
−
− =−
4
4
4
4
4

BÀI TẬP THÊM
Câu 2. Cho đa thức
a) Tìm đa thức sao cho .
b) Tìm đa thức sao cho .
Giải
a) Ta có .
Suy ra
Vậy .

BÀI TẬP THÊM
Câu 2. Cho đa thức
a) Tìm đa thức sao cho .
b) Tìm đa thức sao cho .
Giải
b) Ta có .
Suy ra

1 3
¿ 𝑥 − 𝑥 + 𝑥+ 1− 2
2
1 3
7
¿ 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 −1
2
7

BÀI TẬP THÊM
Câu 3. Tìm các đa thức và , biết và .
Giải
Ta có .
Suy ra .

1 2
1
𝑃
(𝑥)=
𝑥
+𝑥+
Do đó
2
2 1 2
1
𝑄(𝑥)=𝑃
(𝑥)−2
𝑥=
𝑥
−
𝑥+
và
2
2

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tìm hai đa thức P(x) và Q(x) sao cho
A.
B.
C.
D.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 2: Cho và . Tìm hiệu rồi sắp xếp kết quả theo lũy thừa tăng
dần của biến ta được:

A.
B.
C.
D.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3: Cho và Tính P(x) + Q(x) rồi tìm bậc của đa
thức thu được

A. có bậc là 6
B. có bậc là 4
C. có bậc là 4
D. có bậc là 4.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4: Tìm đa thức H(x) biết A(x) - H(x) = G(x) biết:
A(x) = x2 + x + 1; G(x) = 4 - 2x3 + x4 + 7x5
A. H(x) = -7x5 - x4 + 2x3 + x2 + x - 3
B. H(x) = 7x5 - x4 + 2x3 + x2 + x + 3
C. H(x) = -7x5 - x4 + 2x3 + x2 + x + 3
D. H(x) = 7x5 + x4 + 2x3 + x2 + x + 3

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5: Tìm hệ số cao nhất của đa thức K(x) biết A(x) + K(x) = G(x)
và A(x) = x4 - 4x2 + 6x3 + 2x - 1; G(x) = x + 3
A. -1

B. 1

C. 4

D. 6