CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Một cửa hàng đã ghi lại số tiền bán xăng cho 35 khách hàng đi xe máy. Mẫu
số liệu gốc có dạng: x1, x2, ..., x35­ trong đó xi là số tiền bán xăng cho khách
hàng thứ i. Vì một lí do nào đó, cửa hàng chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm
dạng sau:
Số tiền (nghìn đồng)
Số khách hàng

[0; 30)

[30; 60)

[60; 90)

[90; 120)

3

15

10

7

Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này, làm thế nào để ước lượng các số đặc trưng đo xu
thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu gốc?

+) Số trung bình: Trong mỗi khoảng số tiền, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai
đầu mút nên ta có bảng sau:
Số tiền (nghìn đồng)

15

45

75

105

Số khách hàng

3

15

10

7

Tổng số khách hàng là n = 35. Số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng là

3.15  15.45  10.75  7.105
x
63 (nghìn đồng)
35

CÁC YẾU TỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ
TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP
NHÓM
BÀI 9: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ
TRUNG TÂM

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

2

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

3

Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

4

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

1

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Khảo sát thời gian tự học của các học sinh trong lớp theo mẫu bên.
HĐ 1: a) Hãy lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm thu được.
b) Có thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh
trong lớp không?
c) Có cách nào tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học
sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này không?

Giải
a) Giả sử lớp 11A có 30 học sinh và sau khi khảo sát, ta có được bảng thống kê như sau:
Thời gian (giờ)
Số học sinh

Dưới 1,5 giờ

[1,5; 3)

[3; 4,5)

Từ 4,5 giờ trở lên

5

15

8

2

b) Ta không thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong
lớp vì không có mẫu số liệu cụ thể về thời gian tự học của từng học sinh.

c) Có thể tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu
số liệu ghép nhóm bằng cách chọn thời gian đại diện cho mỗi nhóm, sau đó sử dụng tần số
tương ứng để tính số trung bình, cụ thể:
- Thời gian tự học dưới 1,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là 0,75 giờ, tần số tương ứng là 5.

1,5

3
- Thời gian tự học từ 1,5 đến dưới 3 giờ, ta chọn giá trị đại diện là 
2, 25a,
2
tần số tương ứng là 15.

KẾT LUẬN
• Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm kí hiệu là

m1 x1  ...  mk xk
x
,
n

x

trong đó, n m1  ...  mk

ai  ai 1
là cỡ mẫu và xi 
(với i=1;2;3;…k) là giá trị đại diện
2
của nhóm[ai ; ai 1 ]
Chú ý: Đối với số liệu rời rạc, người ta thường cho các nhóm dưới
dạng k1-k2, trong đó k1,k2N. Nhóm k1-k2 được hiểu là nhóm gồm
các giá trị k1,k1+1,…,k2. Khi đó, ta cần hiệu cchinh3 mẫu dữ liệu
ghép nhóm để đưa về dạng bảng 3.2 trước khi thực hiện tính toán
các số đặc trưng bằng cách hiệu chỉnh nhóm k1-k2 với k1,k2N
thành nhóm [k1-0,5;k2+0,5).

Ví dụ 1: (SGK)
Tìm cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D cho trong bảng 3.5.

Giải
Trong mỗi khoảng cân nặng, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu
mút nên ta có bảng sau:
Cân nặng (kg)

43

48

53

58

63

68

Số học sinh

10

7

16

4

2

3

Tổng số học sinh là n=42. Cân nặng trung bình của học sinh lớp 11D là:

10.43  7.48  16.53  4.58  2.63  3.68
x
51,81(kg ).
42

Luyện tập 1: (SGK)

Tìm hiểu thời gian xem ti vi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học
sinh thu được kết quả sau:

Giải

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai
đầu mút nên ta có bảng sau:
Thời gian (giờ)
Số học sinh

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

8

16

4

2

2

Tổng số học sinh là n=8+16+4+2+2=32. Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước
của các học sinh là

8.2,5  16.7,5  4.12,5  2.17,5  2.22,5
x
8, 4375 (Giờ)
32

Ý nghĩa: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số tung bình của
mẫu số liệu gốc, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để
đại diện cho mẫu số liệu.

HĐ 2: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 21 câu na giống.
Chiều cao (cm)
Số cây

[0; 5)

[5; 10)

[10; 15)

[15; 20)

3

8

7

3

Gọi x1, x2, ..., x21 là chiều cao của các cây giống, đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Khi đó, x1, ..., x3 thuộc [0;5), x4, ..., x11 thuộc [5;10), ... Hỏi trung vị thuộc nhóm nào?

Giải

Ta có: cỡ mẫu n = 21, là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa của mẫu số liệu và
là giá trị ở vị trí thứ 11 của mẫu số liệu. Mà x11 thuộc [5;10) nên trung vị của
mẫu số liệu thuộc nhóm [5;10).

2

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

KẾT LUẬN
Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như
sau:
Bước 1: Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm
n
thứ p: [ap;ap+1).
 (m1  ...  m p  1 )
2
M

a

.(a p 1  a p ),
Bước 2: Trung vị là e
p
mp

trong đó n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p. Với p=1 ta quy
ước m1+…+mp-1=0.

Ví dụ 2: (SGK)
Thời gian (phút) truy cập internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho
trong bảng sau:
Thời gian
Số VĐV

[9,5;12,5)

[12,5;15;5)

[15,5;18,5)

[18,5;21,5)

[21,5;24,5)

3

12

15

24

2

Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Giải

Cỡ mẫu là n=3+12+15+24+2=56.

Gọi x1;x2;…;x56 là thời gian vào internet của 56 học sinh và giả sử dãy này đã được sắp

x28  x29
xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là
2

Do 2 giá trị x28;x29 thuộc nhóm [15,5;18,5) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, p=3;
a3 15,5; m3 15; m1  m2 3  12 15; a4  a3 3 và ta có: 56  15
M e 15,5  2

15

.3 18,1.

Luyện tập 2

Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng
của một vận động viên môn quần vợt cho kết
quả như bảng bên.
Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Giải

Tốc độ v (km/h)
150 ≤ v < 155
155 ≤ v < 160
160 ≤ v < 165
165 ≤ v < 170
170 ≤ v < 175
175 ≤ v < 180

Số lần
18
28
35
43
41
35

Cỡ mẫu là n = 200.
Gọi x1, x2, ..., x200 là tốc độ giao bóng của vận động viên trong 20 lần giao bóng và giả sử dãy
x100  x101
.
này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là
2
Do 2 giá trị x100, x101 thuộc nhóm [165;170) (vì 18+28+35+43=124) nên nhóm này chứa trung
vị. Do đó, p=4; a4=165; m4=43; m1+m2+m3=18+28+35=81; a5­ – a4 = 170 – 165 = 5 và ta có
200
Ý nghĩa: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
 81
xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia
2
M e 165 
.5 167, 21.
mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50%
43
giá trị.

3

Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

HĐ 3:
Với mẫu số liệu ghép nhóm cho trong HĐ2, hãy cho biết tứ phân vị thứ nhất
Q1 và tứ phân vị thứ ba Q3 thuộc nhóm nào.

Giải
Vì n=21 nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy gồm 10 số liệu đầu tiên và chính là

x5  x6
trung bình cộng của giá trị ở vị trí thứ 5 và thứ 6, do đó  Q1  2 ,

mà x5, x6 thuộc nhóm [5;10) nên tứ phân vị thứ nhất Q1 thuộc nhóm [5;10).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy gồm 10 số liệu nằm bên phải trung vị là dãy x12, x­13,
x16  x17
Ta có: 3+8+7=18, do đó x16, x17 thuộc nhóm [10;15) nên tứ phân
Q3 
..., x21 nên 
2
vị thứ ba Q3 thuộc nhóm [10;15).

KẾT LUẬN
Để tính tứ phân vị thứ nhất Q1 của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa
n
 (m1  ...  m p  1 )
Q1 a p  4
.(a p 1  a p ).
Q1, giả sử đó là nhóm thứ p: [ap;ap+1). Khi đó,
mp
trong đó, n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p, với p=1 ta quy ước m1+m2+…+mp-1=0.
Để tính tứ phân vị thứ ba Q3 của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q3,
3n
 (m1  ...  m p  1 )
4
Q

a

.( a p 1  a p ).
giả sử đó là nhóm thứ p:[ap;ap+1). Khi đó, 3
p
mp

trong đó, n là cỡ mẫu, mp là tần số nhóm p, với p=1 ta quy ước m1+…+mp-1=0.
Tứ phân vị thứ hai Q2 chính là trung vị Me.

Ví dụ 3: (SGK )

Tìm tứ phân vị thứ nhất Q1 và tứ phân vị thứ ba Q3 của mẫu số liệu ghép
nhóm cho trong ví dụ 2.

Thời gian (phút) truy cập internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
Thời gian
[9,5;12,5) [12,5;15;5) [15,5;18,5) [18,5;21,5) [21,5;24,5)
3
12
15
24
2
Giải Số VĐV
Cỡ mẫu là n=56.
x14  x15
.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 

Do x14,x15 đều thuộc nhóm [12,5;15,5) nên
2
56
3
.3 15, 25.
nhóm này chứa Q1, do đó p=2, a2=12,5; m2=12; m1=3; a3-a2=3 và ta có Q1 12,5  4
12
x42  x43
. Do x42, x43 đều thuộc nhóm [18,5;21,5) nên
Với tứ phân vị thứ ba là Q3 

2

nhóm này chứa Q3, do đó p=4; a4=18,5; m4=24; m1+m2+m3=3+12+15=30; a5-a3=3 và ta có
3.56
 30
Q3 18,5  4
.3 20.
24

Luyện tập 3: (SGK)
Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba
cho mẫu số liệu ghép nhóm ở Luyện tập 2.
Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng
của một vận động viên môn quần vợt cho kết
quả như bảng bên.
Giải
Cỡ mẫu là n = 200.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 là

x50  x51
2

Do x50, x51 đều thuộc nhóm [160;165)
nên nhóm này chứa Q1. Do đó, p=3;
a3=160; m3=35; m1+m2=18+28=46;
a4–a3=165–160=5 và ta có:
200
 46
Q1 160  4
.5 160,57.
35

Tốc độ v (km/h)
150 ≤ v < 155
155 ≤ v < 160
160 ≤ v < 165
165 ≤ v < 170
170 ≤ v < 175
175 ≤ v < 180

x

x
150
151
Tứ phân vị thứ ba Q3 là
2

Số lần
18
28
35
43
41
35

Do x150, x151 đều thuộc nhóm [170;175) nên
nhóm này chứa Q3. Do đó, p=5; a5=170; m5=41;
m1+m2+m3+m4=18+28+35+43=124;
a6–a5=175–170=5 và ta có
3.200
 124
Q3 170  4
.5 173,17.
41

Ý nghĩa: Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ
phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi
phần chứa 25% giá trị.

4

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

HĐ4:

Với số liệu cho trong Luyện tập 1:

a) Có thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem
ti vi của học sinh không?
b) Mốt thuộc nhóm nào là hợp lí nhất? Nên lấy số nào trong nhóm để ước lượng
được cho mốt?
Giải
a) Không thể tính được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi
của học sinh, do không có thời gian cụ thể của từng học sinh.
b) Tần số lớn nhất là 16 nên mốt thuộc nhóm [5;10) là hợp lí nhất. Ta ước lượng mốt của
mẫu số liệu bằng cách xác định số thứ tự của nhóm chứa mốt là j=2; aj=a2=5; m2=16; m1=8;
m3=4; độ dài của nhóm h=5.

16  8
Do đó, mốt của mẫu số liệu xấp xỉ bằng 5 
.5 7.
(16  8)  (16  4)

KẾT LUẬN

Để tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Xác định nhóm có tần số lớn nhất (gọi là nhóm chứa mốt), giả sử là nhóm j:
[aj;aj+1).
Bước 2: Mốt được xác định là:M 0



m j  m j 1

(m j  m j  1 )  (m j  m j 1 )

.h

trong đó mj là tần số của nhóm j (quy ước m0=mk+1=0) và h là độ dài của nhóm.

Lưu ý: Người ta chỉ định nghĩa mốt cho mẫu ghép nhóm có độ dài các nhóm bằng
nhau. Một mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều hơn một mốt. Khi tần số của
các nhóm số liệu bằng nhau thì mẫu số liệu ghép nhóm không có mốt.

Ví dụ 4: Bảng số liệu ghép nhóm sau cho biết chiều cao (cm) của 50 học sinh
lớp 11A.

Tính mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này. Có thể kết luận gì từ giá trị tính được?

Giải
Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm [150;155). Ta có

j 2, a2 150, m2 14, m1 7, m3 10, h 5.
14  7
Do đó M 0 150 
.5 153,18.
(14  7)  (14  10)
Số học sinh có chiều cao khoảng 153,18 cm là nhiều nhất.

Luyện tập 4: Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho
như sau:
Thời gian (phút)
Số học sinh

[0,5; 10,5) [10,5; 20,5) [20,5; 30,5) [30,5; 40,5) [40,5; 50,5)
2

10

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này.

6

4

3

Giải

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa mốt là nhóm [10,5; 20,5).
Ta có, j=2; a2=10,5; m2=10; m1=2; m3=6; h=20,5–10,5=10. Do đó, mốt của mẫu số
liệu ghép nhóm này là

10  2
M 0 10,5 
.10 17,17.
(10  2)  (10  6)

LUYỆN TẬP

Bài 3.4: Quãng đường (km) đi từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân một nhà máy được
ghi lại như sau:
5 3
10 20 25 11 13 7
12 31 19 10 12 17 18 11 32 17 16
2 7
9
7
8
3
5
12 15 18 3
12 14 2
9
6
15 15 7
6 12.
a) Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là [0;
5). Tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm.
b) Tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị
nào chính xác hơn?
c) Xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thu được.

Giải
a) Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 2, giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 32, do đó khoảng
biến thiên là 32–2=30.
Các nhóm có độ rộng bằng nhau và độ rộng của mỗi nhóm là 5. Để cho thuận tiện, ta chia
thành 7 nhóm là các nhóm [0; 5), [5; 10), [10; 15), [15; 20), [20; 25), [25; 30), [30; 35). Đếm
số giá trị thuộc mỗi nhóm, ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:

Quãng đường
(km)
Số công nhân

[0; 5)
5

[5; 10) [10; 15) [15; 20) [20; 25) [25; 30) [30; 35)
11

11

9

1

1

2

Giá trị đại diện cho mỗi nhóm là trung bình của hai đầu mút của nhóm. Ta có bảng giá trị đại
diện như sau:
Quãng đường (km)
(giá trị đại diện)
Số công nhân

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

27,5

32,5

5

11

11

9

1

1

2

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là

5.2,5  11.7,5  11.12,5  9.17,5  1.22,5  2.32,5
xg 
12, 625.
40

Ta có: 5+3+10+20+25+11+13+7+12+31+19+10+12+17+18+11+32+17+16+2+7+9+7+8+3+5
+12+15+18+3+12+14+2+9+6+15+15+7+6+12=476.

476
1,9.
Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm là x 
40

Giá trị trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm chính xác hơn vì nó là giá trị của mẫu số
liệu gốc.

c) Tần số lớn nhất trong bảng tần số của mẫu số liệu ghép nhóm là 11. Do đó, nhóm
chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là các nhóm [5;10) và [10;15).

Bài 3.5: Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau:
Tuổi thọ (năm)
[2; 2,5) [2,5; 3) [3; 3,5) [3,5; 4) [4; 4,5)
Tần số
4
9
14
11
7

[4,5; 5)
5

a) Xác định mốt và giải thích ý nghĩa.
b) Tính tuổi thọ trung bình của 50 bình ắc quy ô tô này.

Giải

a) Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm [3; 3,5). Ta có, j=3, a 3=3,
m3=14, m2=9, m4=11, h=0,5. Do đó mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là

14  9
M 0 3 
.0,5 3,3125.
(14  9)  (14  11)

Ý nghĩa: Tuổi thọ của bình ắc quy ô tô khoảng 3,3125 năm là nhiều nhất hay tuổi thọ chủ
yếu của bình ắc quy ô tô khoảng 3,3125 năm.

b) Trong mỗi khoảng tuổi thọ, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu
mút nên ta có bảng sau:
Tuổi thọ
(năm)
Tần số

2,25

2,75

3,25

3,75

4,25

4,75

4

9

14

11

7

5

Tổng số ắc quy ô tô là 50. Tuổi thọ trung bình của 50 ắc quy ô tô này là

4.2, 25  9.2, 75  14.3, 25  11.3, 75  7.4, 25  5.4, 75
x
3, 48 (năm)
50

Bài 3.6: Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí
sinh được cho trong bảng sau:
Điểm
0–9
10 – 19
20 – 29
30 – 39
Số thí sinh
1
2
4
6
Điểm
50 – 59
60 – 69
70 – 79
80 – 89
Số thí sinh
12
10
6
3
a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2.
b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng.

40 – 49
15
90 – 99
1

Giải

a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2 ta được mẫu số
liệu ghép nhóm như sau:
Điểm
[0; 9,5)
[9,5; 19,5) [19,5; 29,5) [29,5; 39,5) [39,5; 49,5)
Số thí sinh
1
2
4
6
15
Điểm
[49,5; 59,5) [59,5; 69,5) [69,5; 79,5) [79,5; 89,5) [89,5; 99,5)
Số thí sinh
12
10
6
3
1

b) Cỡ mẫu là n = 60.
Gọi x1, x2, ..., x60 là điểm thi môn Toán của 60 thí sinh và giả sử dãy này đã được sắp

x30  x31
.
xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là
2

Do hai giá trị x30, x31 thuộc nhóm [49,5; 59,5) nên nhóm này chứa trung vị. Do đó,
p=6; a6=49,5; m6=12; m1+m2+m3+m4+m5=1+2+4+6+15=28; a7 –a6=59,5–49,5 = 10
60
 28
và ta có M e 49,5  2
.10 51,17.
12

x5  x16
Tứ phân vị thứ nhất Q1 là 
Do x15 và x16 đều thuộc nhóm [39,5; 49,5) nên
2

nhóm này chứa Q1. Do đó, p=5; a5=39,5; m5=15; m1+m2+m3+m4=13; a6 – a5=10 và ta
60
có
 13
Q1 39,5  4
.10 40,83.
15

x45  x46
Tứ phân vị thứ ba Q3 là
.
2

Do x45 và x46 đều thuộc nhóm [59,5; 69,5) nên nhóm này chứa Q3. Do đó, p=7;
a7=59,5; m7=10; m1+m2+m3+m4+m5+m6=40; a6 – a5 =10 và ta có

3.60
 40
4
.10 64,5. Tứ phân vị thứ hai Q2 = Me ≈ 51,17.
Q3 59,5 
10

Vậy các tứ phân vị của mẫu số liệu là Q1 ≈ 40,83; Q2 ≈ 51,17 và Q3 = 64,5. Các giá
trị này các là ngưỡng để phân điểm của 60 học sinh thành 4 phần để xếp loại học
sinh.

Bài 3.7: Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối,
thu được bảng số liệu ở bên.
Thời gian
Số học sinh nam
Số học sinh nữ
[4; 5)
6
4
[5; 6)
10
8
[6; 7)
13
10
[7; 8)
9
11
[8; 9)
7
8
a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ.
b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?
Giải

Tổng số các bạn nam là n1 = 6 + 10 + 13 + 9 + 7 = 45.
Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam là

6.4,5  10.5,5  13.6,5  9.7,5  7.8,5
x1 
6,52.
45

Tổng số các bạn nữ là n2 = 4 + 8 + 10 + 11 + 8 = 41.
Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nữ là

4.4,5  8.5,5  10.6,5  11.7,5  8.8,5
x2 
6, 77
41

Vì 6,52 < 6,77 nên thời gian ngủ trung bình của các học sinh nam ít hơn các học sinh nữ.

b) Ta có:
Thời gian
[4; 5)
[5; 6)
[6; 7)
[7; 8)
[8; 9)

Số học sinh nam
6
10
13
9
7

Số học sinh nữ
4
8
10
11
8

Tổng số học sinh khối 11 được khảo sát là n = 45 + 41 = 86.

Số học sinh khối 11
10
18
23
20
15

Gọi x1, x2, x3, ..., x86 là thời gian ngủ của các học sinh khối 11 được khảo sát và giả
sử dãy này đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị của mẫu số liệu là

x43  x44
2

Do đó, tứ phân vị thứ nhất Q1 là x22. Vì x22 thuộc nhóm [5; 6) nên nhóm này chứa Q1.
Do đó, p=2; a2=5; m2=18; m1=10; a3–a2=6–5=1 và ta có

86
 10
4
Q1 5 
.1 5, 64.
18
Tứ phân vị thứ nhất Q1 chia mẫu số liệu thành 2 phần, phần dưới chiếm 25% số
liệu của mẫu và phần trên chiếm 75% số liệu của mẫu. Vậy 75% học sinh khối 11
ngủ ít nhất 5,64 giờ.

VẬN DỤNG

Hãy tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu trong bảng sau (số tiền khách hàng
mua xăng) và giải thích ý nghĩa của các giá trị thu được?

Hãy tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu trong Bảng 3.1 và giải thích ý nghĩa
của các giá trị thu được.

Giải

Ghi nhớ kiến thức
trong bài.

HƯỚNG DẪN
VỀ NHÀ

Hoàn thành các bài
tập trong SBT

Chuẩn bị bài mới:
“Bài tập cuối
chương”

CẢM ƠN CÁC EM
ĐÃ LẮNG NGHE BÀI GIẢNG!