1.
4.

2.
3.

HĐ1.

Nhận biết dãy có giới hạn là 0
Cho dãy số với
a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số.
b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ  đến 0 nhỏ hơn 0,01?

a)

b) Khoảng cách từ  đến 0 là
Ta có
Vậy từ số hạng của dãy trở đi thì khoảng cách từ  đến 0 nhỏ hơn 0,01

 Dãy số có giới hạn là 0 khi dần tới dương vô cực, nếu có thể nhỏ hơn
một số dương bé tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi, ký hiệu hay khi

Vì sao dãy số có giới hạn là 0?
 Dãy số có giới hạn là 0 bởi vì có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi 𝑛 đủ lớn.
Vậy từ số hạng của dãy trở đi có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0,0001
 nguyên dương;
 Nếu với mọi và

nếu
thì

Chứng minh rằng

Xét dãy với Ta có:
Và nên

HĐ2.

Nhận biết dãy có giới hạn hữu hạn

Cho dãy số với . Xét dãy xác định bởi . Tính

Ta có .
Do đó
 Dãy số có giới hạn là khi n dần tới dương vô cực, nếu , ký hiệu hay khi

 Cho dãy số với . CMR

Ta có
Vậy

 Nếu ( là hằng số) thì

 Cho dãy số với . Chứng minh rằng

Ta có
Vậy

bóng

Một quả bóng thả từ độ cao 5m xuống sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả

nảy lên độ cao bằng 2/3 độ cao trước đó. Giả sử quả bóng luôn chuyển
động vuông góc với mặt sàn và quá trình diễn ra vô hạn lần. Giả sử  là độ
cao (m) của quả bóng sau lần nảy lên thứ . CMR dãy số có giới hạn là 0.
Sau lần nảy thứ nhất, bóng có độ cao là  ;
Lần hai là
Lần ba là
…
Lần là
Ta có nên

HĐ3.

Hình thành quy tắc tính giới hạn
Cho hai dãy số và với ;
Tìm và so sánh và

. Vậy
khi

. Nên

𝑛→+∞

Và khi

. Nên

𝑛→+∞

Khi đó ta có:

𝒏→+ ∞

𝒏→+∞ 𝒏→+ ∞

𝑛→+∞

Tìm

 Ta có

 Tìm

𝟐 𝒏𝟐 +𝟏
√
𝐥𝐢𝐦
= 𝐥𝐢𝐦

 Ta có

𝒏+𝟏

√

√

𝟏
𝒏𝟐
𝟏
𝟏+
𝒏
𝟐+

𝟏
𝐧𝟐
¿
=√ 𝟐
𝟏
𝐥𝐢𝐦 (𝟏 +
)
𝐧
𝐥𝐢𝐦

𝟐+

HĐ4.

Làm quen việc tính tổng vô hạn

Cho hình vuông cạnh 1 (đvdd). Chia hình vuông thành bốn hình vuông nhỏ bằng
nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên
tiếp diễn vô hạn. Gọi lần lượt là độ dài cạnh các hình vuông được tô màu.
a) Tính tổng
b) Tìm  

a) Ta có:  là độ dài cạnh hình vuông đầu tiên được tô
màu, ; ; ;……
Lập thành CSN ; . Do đó, tổngsố hạng đầu tiên là:
.

b) Ta có:

 Cấp số nhân vô hạn  có công bội với là cấp số nhân lùi vô hạn
Ta có:
Vì nên khi . Do đó :
 Giới hạn này gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. Như vậy ta có:

Tính tổng
 S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với ;
𝒖𝟏
Nên 𝐒=
ta có:𝟏− 𝒒 =

𝟏

𝟏
𝟏 − (−
)
𝟐

=

𝟐
𝟑

Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số

 Ta có
là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với ;
𝑢1
Vậy2.222 …= 1 − 𝑞 =

2

1
1−
10

=

𝟐𝟎
𝟗

𝟐 𝟐
𝟐
Tính tổng 𝐒=𝟐+ 𝟕 + 𝟒𝟗 + …+ 𝒏 −𝟏
𝟕
S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với ;
𝑢1
Vậy𝑺 = 1 −𝑞 =

2
1−

1
7

=

𝟕
𝟑

(Giải thích nghịch lí Zeno) Giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận
tốc rùa là 1 km/h, khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).
a) Tính thời gian t1, t2, ..., tn, ... để Achilles chạy từ A1 đến A2, từ A2 đến A3, ...
b) Tính tổng thời gian để Achilles chạy hết các quãng đường
c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là gì?
A1 

A2 

A3 

A4  A5  A6 …

R1 

R2 

R3

R4  R5 …

a) Với t1 = 1h: Achilles chạy đoạn A1A2 = 100(km); Rùa chạy đoạn A2A3 = 1(km)
Với t2 = (h) Achilles chạy đoạn A2A3 = 1(km); Rùa đã chạy đoạn A3A4 = (km)
Cứ như vậy, Achilles mất tn = (h) để chạy đoạn AnAn+1 = (km)

(Giải thích nghịch lí Zeno) Giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận
tốc rùa là 1 km/h, khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).
a) Tính thời gian t1, t2, ..., tn, ... để Achilles chạy từ A1 đến A2, từ A2 đến A3, ...
b) Tính tổng thời gian để Achilles chạy hết các quãng đường
c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là gì?
A1 

A2 

A3 

A4  A5  A6 …

R1 

R2 

R3

R4  R5 …

1
1
1
1
𝐓 =1+
+
+…+
+
+…
2
𝑛 −1
𝑛
100 100
100
100
là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với ; nên

𝑢1
𝟏
𝐓=
=𝟏
( h)
1 −𝑞
𝟗𝟗

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng
đường để đuổi kịp Rùa là vô hạn. Nếu nó hữu hạn thì là khoảng thời gian mà
Achilles đuổi kịp Rùa.

HĐ5.

Nhận biết giới hạn vô cực: Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số
lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.
a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn sau chu kì thứ .
b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?

a) Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là
Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là
Sau chu kì thứ hai, số lượng vi khuẩn là
Cứ tiếp tục như vậy, dự đoán sau chu kì thứ , số lượng vi khuẩn là
b) Giả sử sau chu kì thứ , số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000.
Khi đó ta có
Vậy sau 8 chu kỳ (khoảng 32 giờ) số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000



Tính

a) Ta có:
nên

𝐥𝐢𝐦 ( 𝒏 𝟐− 𝟐𝒏 ) =+∞

(

)

(

)

𝟏
𝟏
; 𝐥𝐢𝐦 𝒏=+ ∞ ; 𝐥𝐢𝐦 𝟏−
=𝟏
b) Ta có: ( 𝒏− √ 𝒏 ) =𝒏 𝟏 −
√𝒏
√𝒏
nên

 Tính các giới hạn sau:

𝒏𝟐 +𝒏 +𝟏
𝟐
𝒂 ¿ 𝐥𝐢𝐦
𝒃
¿
𝐥𝐢𝐦
(
𝒏
√ +𝟐 𝒏 − 𝐧 )
𝟐
𝟐𝒏 +𝟏

𝒗𝟐
𝒏
𝒂 ¿ 𝐥𝐢𝐦
𝒃 ¿ 𝐥𝐢𝐦
𝒗 𝒏 − 𝒖𝒏

Áp dụng các Quy tắc tính giới hạn để giải.

b) Ta có

nên

√ 𝒖 𝒏 +𝟐 𝒗 𝒏

 Tính các giới hạn của các dãy số cho bởi

𝒏 𝟐 +𝟏
𝟐
𝒂 ¿ 𝒖𝒏 =
𝒃 ¿ 𝒗 𝒏 = √ 𝟐 𝒏 +𝟏 − 𝐧
𝟐 𝒏− 𝟏

và

a) Ta có
với mọi nên
b) Ta có

 Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:
a)
b)

. Vậy

𝑆 2=¿

. Vậy 3,(102) = 3 +

 Một bệnh nhân mỗi ngày uống viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu,
trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính
lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước
tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc lâu dài.

 Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = và góc B bằng
(Hình.5.3). Từ A kẻ AA1 ⊥ BC, từ A1 kẻ A1A2 ⊥ AC, sau đó lại kẻ
A2A3 ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn
AA1A2A3... Tính độ dài đường gấp khúc này theo và .

A1A2 = AA1sin𝛼 = .sin. sin = sin2.

A2A3 = A­1A2.sin = sin2 .sin = sin3.

A3A4 = A2A3.sin = sin3sin = sin4.

B

Tiếp tục như vậy, ta có An – 1An = sinn.

A1

AA1A2A3... = AA1 + A1A2 + A2A3 +...+ An – 1An +...
= sin + sin2 +sin3 + ... +sinn+ ...
Do đó, AA1A2A3... =

A3
A5

A

A2

A4
Hình.5.3

A6

C