CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BÀI HỌC NGÀY HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi
nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ
lớn không đổi. Tìm góc bắn α để quả
đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản
của không khí và coi quả đạn pháo
được bắn ra từ mặt đất.

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ
BẢN

NỘI DUNG BÀI HỌC
1. Khái niệm phương trình tương đương
2. Phương trình
3. Phương trình
4. Phương trình
5. Phương trình
6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm một góc khi biết giá trị
lượng giác của nó.

1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
TƯƠNG ĐƯƠNG

HĐ 1:
Cho hai phương trình  và . Tìm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình trên
Trả lời:
• Phương trình:
Vậy phương trình có tập nghiệm .
• Phương trình:

[

¿ 𝑥 − 2=0
⟺
⟺ x =2
¿
2
¿ x +1> 0

Vậy phương trình có tập nghiệm .
Nhận thấy cả hai phương trình đều có tập nghiệm .

KẾT LUẬN
• Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có
cùng tập nghiệm.
• Nếu phương trình tương đương với phương trình thì ta
viết:

Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.

Ví dụ 1: Hai phương trình sau có tương đương không?
và
Giải
Tập nghiệm của phương trình là
Phương trình được viết lại thành ,
do đó tập nghiệm của nó là
Vậy hai phương trình trên là tương đương.

LUYỆN TẬP 1
x −1
2
=0
và x − 1=0
Xét sự tương đương của hai phương trình sau: x +1
Giải
• Phương trình:
- ĐKXĐ: .
- Ta có: (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình là: .

LUYỆN TẬP 1
x −1
2
=0
và x − 1=0
Xét sự tương đương của hai phương trình sau: x +1
Giải
• Phương trình:
- Ta có:
Vậy tập nghiệm phương trình là:
Ta nhận thấy hai phương trình này không phải phương trình tương
đương.

Chú ý:
- Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó
thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến
đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương.
- Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà
không làm thay đổi điềukiện của nó thì ta được một phương trình
mới tương đương với phương trình đã cho:

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức:

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một
biểu thức luôn có giá trị khác 0:

2. PHƯƠNG TRÌNH

HĐ 2:
a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa
khoảng .
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin,
hãy viết công thức nghiệm của phương
trình đã cho.

Giải

a) Từ Hình 1.19, nhận thấy hai điểm M, M' lần
lượt biểu diễn các góc và , lại có tung độ của
điểm M và M' đều bằng nên theo định nghĩa
gái trị lượng giác, ta có và .
Vậy trong nửa khoảng , phương trình có 2
nghiệm là và .

Giải

b) Vì hàm số sin có chu kì tuần hoàn là
2π nên phương trình đã cho có công thức
nghiệm là:

• Minh hoạ bằng đồ thị:
Nghiệm của phương trình là hoành độ các giao điểm của
đường thẳng và đồ thị hàm số .

Tổng quát, xét phương trình (*)
• Nếu thì phương trình (*) vô nghiệm vì với mọi .
• Nếu thì tồn tại duy nhất thỏa mãn . Khi đó,
trên đoạn có độ dài là là , phương trình (*) có
các nghiệm và .

Do tính tuần hoàn với chu kì của hàm sin, ta chỉ cần cộng vào các nghiệm
này các bội nguyên của thì sẽ được tất cả các nghiệm của phương trình
(*).

KẾT LUẬN
• Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .
• Khi , sẽ tồn tại duy nhất thỏa mãn .
Khi đó

Chú ý: a) Nếu số đo của góc được cho bằng đơn vị độ thì:
)

b) Một số trường hợp đặc biệt:

Ví dụ 2:

Giải các phương trình sau:

3
√
a¿ sin x=− ;
2

Giải

( 3)

3
π
√
a ¿ sin x=−
⟺ sin x=sin −
2

Gọi

[ ]

𝜋𝜋
𝛼𝜖 − ;
2 2

1
là góc thoả mãn sin 𝛼= 3. Khi đó ta có:

1
sin x= ⟺ sin x=sin ( 𝛼 )
3

1
b ¿ sin x =
3

Ví dụ 3: Giải phương trình
Giải

sin 2 𝑥 =sin ( 60 ° −3 𝑥 )

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là
và

BÀI TẬP MỞ RỘNG
Giải phương trình:
Giải

Ví dụ 4:

Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải

Chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ đặt tại vị trí
khẩu pháo, trục Ox theo hướng khẩu pháo như
hình bên. Khi đó, trong Vật lí, ta biết rằng quỹ
đạo của quả đạn pháo có dạng đường parabol
có phương trình (với là gia tốc trọng trường)

Giải
Cho ta được
suy ra hoặc
Quả đạn chạm đất khi

Ta có dấu bằng xảy ra khi .
Giải phương trình , ta được
Do nên hay .
Vậy quả đạn pháo sẽ bay xa nhất khi góc bắn bằng .

LUYỆN TẬP 2
Giải các phương trình sau: a)        b) 
Giải
a)
Vậy phương trình có các nghiệm là và
.

Giải
b)

.
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là
và

3. PHƯƠNG TRÌNH

HĐ 3:
a) Quan sát Hình 1.22a, tìm các nghiệm của phương trình đã cho
trong nửa khoảng 
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số
côsin, hãy viết công thức nghiệm của
phương trình đã cho.

Giải

a) Từ Hình 1.22a, nhận thấy hai điểm M, M' lần
lượt biểu diễn các góc và , lại có hoành độ của
điểm M và M' đều bằng nên theo định nghĩa
giá trị lượng giác, ta có và .
Vậy trong nửa khoảng phương trình có hai
nghiệm là và

Giải

b) Vì hàm số cos có chu kì tuần hoàn là
2π nên phương trình đã cho có công
thức nghiệm là

• Minh hoạ bằng đồ thị:
Nghiệm của phương trình là hoành độ các giao điểm của
đường thẳng và đồ thị hàm số .

KẾT LUẬN
• Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi .
• Khi , sẽ tồn tại duy nhất thỏa mãn . Khi
đó:

Chú ý: a) Nếu số đo của góc được cho bằng đơn vị độ thì:

b) Một số trường hợp đặc biệt:
• .
• .

Ví dụ 5:

3
√
a¿ cos x=− ;
2

Giải các phương trình sau:

b ¿ cos x=0 ,1

Giải

(6)

3
5π
√
a ¿ cos x=− ⟺ cos x=cos
2

5π
⟺ x=±
+ k 2 π ( k ∈ ℤ)
6

Gọi là góc thoả mãn . Khi đó ta có:

cos x =0 , 1 ⟺ cos x =co s𝛼 ⟺ x=±𝛼 +k 2 π (k ∈ ℤ)

Ví dụ 6: Giải phương trình
Giải

𝑐𝑜𝑠 2 𝑥=𝑐𝑜𝑠 ( 45 °− 𝑥 )

LUYỆN TẬP 3
a)

Giải các phương trình sau:
Giải

a)

2
√
2 cos x=− √ 2 ⟺ cos x =−
2

3π
3π
⟺ cos x=cos
⟺ x=± +k 2 π , ( k ∈ ℤ )
4
4

LUYỆN TẬP 3
a)

Giải các phương trình sau:
Giải

(

π
cos 3 x b)
− sin 5 x =0 ⟺ cos 3 x= cos
−5 x
2
.

)

VẬN DỤNG
Khi mặt trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời chiếu
sáng một phần. Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phần bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu
sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là  thì tỉ lệ của phần Mặt Trăng được chiếu
sáng cho bới công thức:
Xác định góc  tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng.
a)   (trăng mới)
b) (trăng lưỡi liềm)
c) (trăng bán nguyệt đầu tháng hoặc trăng
bán nguyệt cuối tháng)
d)  (trăng tròn)

Giải
a) Với F = 0, ta có:

b) Với F = 0,25, ta có:

1
1− cos α ) =0,25 ⟺ cos α =
2

π
π
⟺ cos α=cos ⟺ α=± +k 2 π ,(k ∈ ℤ)
3
3

Giải
c) Với F = 0,5, ta có:

d) Với F = 1, ta có:

4. PHƯƠNG TRÌNH

HĐ 4:
a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại
mấy điểm có hoành độ trong khoảng

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số tang, hãy viết côgn thức nghiệm
của phương trình đã cho.

Giải
a) Quan sát Hình 1.24, ta thấy trên khoảng đường thẳng y = 1 cắt đồ thị
hàm số tại 1 điểm, điểm này có hoành độ .
b) Từ câu a, ta suy ra phương trình tan x = 1 có nghiệm là trên khoảng .
Do hàm số tang có chu kì là nên công thức nghiệm của phương trình là:
.

KẾT LUẬN
• Phương trình có nghiệm với mọi m.
• Với mọi , tồn tại duy nhất thỏa mãn . Khi đó: .

Chú ý: Nếu số đo của góc được cho bằng độ thì:
.

Ví dụ 7:

Giải các phương trình sau: a)

b)

Giải

(

)

π
π
tana)x =− √ 3 ⟺ tan x= tan −
⟺ x=−
+ kπ ( k ∈ ℤ )
3
3

( )

𝜋𝜋
− ;
b)𝛼𝜖Gọi
2 2

là góc thoả mãn . Khi đó ta có:

LUYỆN TẬP 4
Giải các phương trình sau: a)     b)
Giải
a)

LUYỆN TẬP 4
Giải các phương trình sau: a)     b)
Giải

b)

π
⟺ x=k , k ∈ ℤ
8

5. PHƯƠNG TRÌNH

HĐ 5:
a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại mấy
điểm có hoành độ trong khoảng .

b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số côtang, hãy viết côgn thức nghiệm
của phương trình đã cho.