17

HÀM SỐ LIÊN TỤC

Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong
thời gian 3 giờ.Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km .
Chứng tỏ rằng có itt nhất một thời điểm trên hành trình,
xe chạy với vận tốc 60 km / h .

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
HĐ1. Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm
 x2  1
nÕu x 1

Cho hàm số f ( x)  x  1
2
nÕu x 1.

Tính giới hạn lim f ( x) và so sánh giá trị này với f (1) .
x 1

Lời giải:
Ta có: f(1) = 2.

x  1 x  1

x2  1
lim f ( x ) lim 
lim
lim( x 1) 1 1 2
x 1
x 1
x

1
x 1
x 1
x 1

VËy lim f ( x)  f (1)
x 1

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Cho hàm số y  f ( x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 . Hàm số f ( x) được gọi là liên tục tại điểm x0
nếu lim f ( x)  f  x0  .
x  x0

x 1
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) 
tại điểm x0 2 .
x 1
Lời giải:

Rõ ràng hàm số f ( x) xác định trên  \{1} , do đó x0 2 thuộc tập xác định của hàm số.

x 1
Ta có lim f ( x) lim
3  f (2) . Vậy hàm số f ( x) liên tục tại x0 2 .
x 2
x 2 x  1

1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

nÕu x  0
1

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm dấu s( x) 0 nÕu x 0 tại điểm x0 0 .
 1 nÕu x  0

Lời giải
Ta thấy lim s( x) 1, lim s( x)  1 . Do đó không tồn tại
x 0

x 0

giới hạn lim s( x) .
x 0

Vậy hàm số này gián đoạn tại 0 .

 x

Luyện tập 1. Xét tính liên tục của hàm số f ( x) 0
 x2


nÕu x  0
nÕu x 0 tại điểm x0 0 .
nÕu x  0

Lời giải
Hàm số f(x) xác định trên ℝ, do đó x0 = 0 thuộc tập xác định của hàm số.
Ta cã: lim f ( x )  lim x 2 02 0; lim f ( x)  lim (  x) 0
x 0

x 0

x 0

x 0

Do ®ã: lim f (x)  lim f (x) 0, suy ra lim f (x) 0
x 0

x 0

x
 00

Mµ: f ( x ) 0, nªn lim f ( x)  f (0). VËy hµm sè f ( x) liªn tôc t¹i ®iÓm x0
x 0

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘTKHOẢNG

1
1

2
x
nÕu
0

x

x
nÕu
0

x





2
2
vµ g ( x ) 
HĐ2. Cho hai hàm số f ( x) 
1 nÕu 1  x 1
1 nÕu 1  x 1


2
2


với đồ thị tương ứng như Hình 5.7

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘTKHOẢNG
Lời giải
+ Hµm sè


1
2 x nÕu 0 x 
2
f ( x) 
1 nÕu 1  x 1

2


1
Hµm sè cã TX§ trªn [0;1] do ®ã x  thuéc TX§ cña hµm sè.
2
Ta cã: lim f ( x)  lim 1 1; lim f ( x)  lim (2 x) 2.
x

1
2

x

1
2

x

1
2

x

1
2

1
1
2

Suy ra: lim f (x)  lim f (x) 1, Do ®ã lim f (x) 1
1
x

1
2

x

1
2

x

1
22

1
1
1
1
Mµ: f   2. 1, nªn lim f ( x )  f   . VËy hµm sè f ( x ) liªn tôc t¹i ®iÓm x 
1
2
2
x
 2
 2
2


x nÕu


+ Hµm sè g( x ) 
1 nÕu



0 x 

1
2

1
 x 1
2

Hµm sè cã TX§ trªn [0;1] do ®ã x 

1
thuéc TX§ cña hµm sè.
2

Ta cã: lim g ( x )  lim 1 1; lim g ( x)  lim x 
x

1
2

x

1
2

x

1
2

x

1
2

1
2

Suy ra: lim g(x)  lim g(x) 1.
x

1
2

x

1
2

1
VËy kh«ng tån t¹i giíi h¹n cña hµm sè g ( x) liªn tôc t¹i ®iÓm x  .
2
1
Do ®ã hµm sè g( x) gi¸n ®o¹n t¹i x 
2

Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
Hàm số y  f ( x) được gọi là liên tục trên đoạn [a ; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và .

lim f ( x)  f (a), lim f ( x)  f (b) .

x a

x b

 x  1 neáu x  0;1
Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số f  x  
trên nửa khoảng 0;1 .
neáu x 1
0
Lời giải

Ta có f  x  x  1 với x  0;1 . Với x0  0;1 bất kì, ta có lim  x  1  x0  1  f  x0  .
x  x0

Vậy hàm số f  x  liên tục trên khoảng 0;1 .
Hơn nữa, lim f  x  0  f 1 nên f  x  liên tục trên nửa khoảng 0;1 .
x 1
Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có

 Hàm số đa thức và các hàm số y sin x, y cos x liên tục trên  .
 Các hàm số y tan x, y cot x, y  x và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên
tục trên tập xác định của chúng.

x 1
Ví dụ 4. Cho hàm số f  x  
. Tìm các khoảng trên đó hàm số f  x  liên tục.
x 1
Lời giải
Tập xác định của hàm số f  x  là  ;1  1;   . Vậy hàm số f  x  liên tục trên các
khoảng  ;1 và 1;   .

x2 1
Luyện tập 2. Tìm các khoảng trên đó hàm số f  x  
liên tục.
x2

Lời giải
TXĐ hàm số f(x) là (–∞; – 2) ∪ (– 2; +∞).
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 2) và (– 2; +∞).

3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
2
HĐ3. Cho hai hàm số f  x  x và g  x   x  1 .

a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại x 1 .
b) Tính L lim  f  x   g  x  và so sánh L với f 1  g 1 .
x 1

Lời giải:
a) Hàm số f(x) = x2 và g(x) = – x + 1 là các hàm đa thức nên nó liên tục trên ℝ.
Do đó, hai hàm số f(x) và g(x) đều liên tục tại x = 1.
b) Ta có: f(x) + g(x) = x2 + (– x + 1) = x2 – x + 1.
Do ®ã: L= lim  f (x)  g(x)  lim(x 2  x 1) 12  1 1 1
x1

x1

Lại có, f(1) = 12 = 1; g(1) = – 1 + 1 = 0, do đó f(1) + g(1) = 1 + 0 = 1.
Vậy L = f(1) + g(1) = 1.

Ta có khẳng định sau đây về tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số liên tục.
Giả sử hai hàm số y  f  x  và y  g  x  liên tục tại điểm x0 . Khi đó:
a) Các hàm số y  f  x   g  x  , y  f  x   g  x  và y  f  x  g  x  liên tục tại x0 ;
f x 
b) Hàm số y 
liên tục tại x0 nếu g  x0  0 .
g x 

sin x
Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số f  x  
.
x 1
Lời giải
Hàm số xác định trên các khoảng  ;1 và 1; . Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và
mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số f  x  liên tục trên  \ 1 .

Nhận xét.Nếu hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  a; b  và f a  f b   0 thì tồn tại ít nhất một đi

c  a; b  sao cho f c  0 .
Kết quả này được minh hoạ bằng đồ thị như Hình 5.8

xn

Vận dụng. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Lời giải:
Theo giả thiết, vận tốc trung bình của xe là va = 16031603 = 60 (km/h).
Gọi v(t) là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm t.
Tại thời điểm xuất phát t0, vận tốc của xe v(t0) = 0 nên có một thời điểm t1 xe chạy với vận
tốc v(t1) > va.
Xét hàm số f(t) = v(t) – va, rõ ràng f(t) là hàm số liên tục trên đoạn [t0; t1].
Hơn nữa, ta có f(t0) = – va < 0, f(t1) = v(t1) – va > 0 (do v(t1) > va), nên tồn tại thời điểm
t* thuộc khoảng (t0; t1) sao cho f(t*) = 0. Khi đó ta có v(t*) – va = 0 hay v(t*) = va = 60.
Vậy có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.

BÀI TẬP
5.14. Cho f  x  và g  x  là các hàm số liên tục tại x 1 .
Biết f 1 2 và lim  2 f  x   g  x  3 . Tính g 1 .
x 1

Lời giải:
Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.
Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1.
Suy ra: L= lim  2f (x)  g(x)  2f (1)  g(x)
x 1

V×: L= lim  2f (x)  g(x)  3 vµ f (1) 2 nªn ta cã 3 = 2.2 - g(1)  g(1)=1
x 1

VËy g(1)=1

5.15. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

x
a) f  x   2
.
x  5x  6
a) f  x  

x
x2  5x  6

1  x 2 neáu x  1
b) f  x  
.
4  x neáu x 1
Lời giải:

x
BiÓu thøc f x   2
cã nghÜa khi x 2  5x  6 0 
x  5x  6

 x  2
 x  3


TXĐ hàm số f(x) là ℝ \ {– 3; – 2} = (–∞; – 3) ∪ (– 3; – 2) ∪ (– 2; +∞).
Vì f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên tập xác định.
Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; – 3), (– 3; – 2) và (– 2; +∞).

5.15. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:

x
a) f  x   2
.
x  5x  6

b) f  x 

2

1  x neáu x  1


4  x neáu x 1

1  x 2 neáu x  1
b) f  x  
.
4  x neáu x 1
Lời giải:

Tập xác định của hàm số là ℝ.
+) Nếu x < 1, thì f(x) = 1 + x2.
Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ.
Vậy nó liên tục trên (–∞; 1).

Ta cã: lim f (x)  lim (4  x) 4  1 3
x 1

x 1

lim f (x)  lim (1  x 2 ) 1  12 2

x 1

x1

Suy ra: lim f (x)  lim f (x)
x1

xx
11

+) Nếu x > 1, thì f(x) = 4 – x.
Do đó không tồn tại giới hạn của f(x)
Đây là hàm đa thức nên có tập xác định là ℝ. tại x = 1. Khi đó, hàm số f(x) không
Vậy nó liên tục trên (1; +∞).
liên tục tại x = 1.

sin x neáu x 0
5.16. Tìm giá trị của tham số m để hàm số f  x  
liên tục trên  .
 x  m neáu x  0
Lời giải:

Tập xác định của hàm số là ℝ.

+) Nếu x > 0, thì f(x) = sin x. Do đó nó liên tục trên (0; +∞).
+) Nếu x < 0, thì f(x) = – x + m, đây là hàm đa thức nên nó liên tục trên (–∞; 0).
Khi đó, hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; 0) và (0; +∞).
Do đó, để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0. Điều này xảy ra
khi và chỉ khi
lim f (x) f (x)  lim f (x)  lim f (x) f (0) (1)
x 0

x 0

x 0

Ta l¹i cã lim f (x)  lim sin x 0; f (0) sin 0 0;
x 0

x 0

lim f (x)  lim (  x  m) m;

x 0

x 0

Khi đó, (1) ⇔ m = 0. Vậy m = 0 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.