SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TUYÊN QUANG
TRƯỜNG THPT CHIÊM HÓA

TIẾT THEO PPCT 27:

GIÁO VIÊN BIÊN SOẠN: PHAN TRỌNG TIỆP

Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I

TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VECTƠ:

II
III

BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ:
TÍCH VÔ HƯỚNG:

IV

PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU:

Tiết 27: §1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT

CẦU:

Hoạt động 1:

Mở đầu

Câu 1: Hãy phát biểu định nghĩa mặt cầu tâm I bán kính r đã học trong chương II?
Câu 2: Dựa vào định nghĩa trên và ứng dụng của biểu thức tọa độ của tích vô hướng.
𝑶𝒙𝒚𝒛 ,
Trong
không
gian
Hãy giải bài toán sau:

Cho điểm 𝑰 ( 𝒂; 𝒃;𝒄 ) và số dương

𝒓.

Tìm điều kiện cần và đủ để điểm 𝑴 ( 𝒙 ; 𝒚 ; 𝒛 ) nằm trên mặt cầu (𝑺)
có tâm 𝑰 ( 𝒂; 𝒃;𝒄 ) và bán kính

𝒓

Tiết 27: §1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Định nghĩa mặt cầu:
𝑴

𝑰

trong không gian cách
Tập hợp những
cố định một
điểm
điểm
khoảng
𝒓
𝑰
bán
không đổi bằng𝒓 ( 𝒓 >𝟎 ) được gọi là mặt tâm
kính .
cầu

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

1. Bài toán mở đầu

𝑶𝒙𝒚𝒛 , cho điểm 𝑰 ( 𝒂; 𝒃;𝒄 )
Trong không
gian
Tìm điều kiện cần và đủ để
điểm
Bài giải

𝒓.

và số dương
có tâm

⃗
𝑴 ∈ ( 𝑺 ) ⇔| 𝑰𝑴|=𝒓
𝟐
𝟐
𝟐
⇔ √ ( 𝒙 − 𝒂 ) + ( 𝒚 −𝒃 ) + ( 𝒛 − 𝒄 ) =𝒓
𝟐

𝟐

𝟐

𝑰

và bán
kính

𝟐

⇔ ( 𝒙 − 𝒂 ) + ( 𝒚 −𝒃 ) + ( 𝒛 − 𝒄 ) =𝒓 (∗)

Phương trình (*) như trên được gọi là phương trình của mặt
cầu
Nhận xét:
𝑴  𝟎
(𝑺) nếu nó có tọa độ thỏa mãn phương
Điểm
nằm trên mặt

𝒓

Hoạt động 2:

Hình thành kiến thức

Câu 3: Kết quả tìm được trong câu 2 là nội dung định lý về dạng của
𝒓
𝑰
(
𝒂;
𝒃;𝒄
)
phương trình mặt cầu tâm
và bán kính
Em hãy phát biểu định lý đó ?
Câu 4: Áp dụng định lý trên.

𝑰
(
𝟏;−𝟐;𝟑
)
Viết phương trình của mặt cầu tâm

và bán kính

𝒓 =𝟓

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

2. Định lí
(𝑺) tâm 𝑰 (𝒂;𝒃;𝒄) bán kính
𝑶𝒙𝒚 𝒛 , mặt
Trong không
gian
cầu
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
có phương trình ( 𝒙 − 𝒂 ) + ( 𝒚 − 𝒃 ) + ( 𝒛 −𝒄 ) =𝒓
là

𝒓

* Ví dụ 1
𝒓
=𝟓
𝑰
(𝟏
;−𝟐
;𝟑)
bán kính
Viết phương trình mặt cầu tâm

Bài giải

Phương trình mặt cầu cần tìm
là
hay

𝟐

𝟐

𝟐

( 𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚 −(− 𝟐) ) + ( 𝒛 −𝟑 ) =𝟓
𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

( 𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚+𝟐 ) + ( 𝒛 −𝟑 ) =𝟐𝟓

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 3:

Luyện tập

* Ví dụ
2 2:tọa độ
Tìm
tâm
𝟐

𝑰

và bán
kính
𝟐

𝑹
𝟐

của các mặt
cầu

(𝑺) có phương trình:

𝒂 ¿ ( 𝒙+𝟑 ) + ( 𝒚 − 𝟒 ) + ( 𝒛 −𝟐 ) =𝟏𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝒃 ¿ ( 𝒙 − 𝟏 ) + 𝒚 + ( 𝒛 +𝟑 ) =𝟐𝟓
𝟐
𝟐
𝟐
𝒄 ¿ 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 =𝟏𝟖

Bài giải

a) Mặt cầu đã cho có
tâm
b) Mặt cầu đã cho có
tâm
c) Mặt cầu đã cho có
tâm

𝑰 ( −𝟑;𝟒;𝟐 ) bán kính

𝒓 =𝟒 .

𝑰 ( 𝟏;𝟎;− 𝟑 ) bán kính
𝑰 ( 𝟎 ; 𝟎 ; 𝟎)

𝒓 =𝟓 .

bán kính 3

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Hoạt động 4:

Tìm tòi-Mở rộng

IV PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

3. Nhận xét
𝟐

𝟐

Phương trình mặt
( 𝒙 − 𝒂 ) + ( 𝒚 − 𝒃 ) + ( 𝒛 −𝒄 )
cầu
𝟐
𝟐
𝟐
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 −𝟐 𝒂𝒙 − 𝟐 𝒃𝒚 −𝟐 𝒄𝒛 + 𝒅=𝟎
dưới
dạng
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
với 𝒅 =𝒂 + 𝒃 +𝒄 − 𝒓

𝟐

𝟐

=𝒓 có thể
viết

* Ngược lại
𝟐

𝟐

𝟐

Phương trình có dạng𝒙 + 𝒚 + 𝒛 −𝟐 𝒂𝒙 − 𝟐 𝒃𝒚 −𝟐 𝒄𝒛 + 𝒅=𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
là phương trình mặt cầu 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 − 𝒅 >𝟎
khi
𝟐
𝟐
𝟐
𝑰 (𝒂;𝒃;𝒄) và bán kính 𝒓 =√ 𝒂 + 𝒃 +𝒄 − 𝒅
Khi đó, mặt cầu có tâm

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Ví dụ 3:

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình:
𝒙

𝟐

+𝒚

𝟐

+𝒛

𝟐

− 𝟒 𝒙 +𝟔 𝒚 +𝟐 𝒛 + 𝟓=𝟎 .

Bài giải
𝟐

𝟐

𝟐

Cách 1: Từ phương trình 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 −𝟒 𝒙+𝟔 𝒚 +𝟐 𝒛 + 𝟓=𝟎

𝒂=𝟐 ; 𝒃=− 𝟑 ; 𝒄=−𝟏 ; 𝒅=𝟓 .
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
√ 𝒂 + 𝒃 +𝒄 − 𝒅= √𝟐 + (− 𝟑 ) + ( −𝟏 ) −𝟓=√ 𝟗=𝟑

ta xác định được
và

Vậy Mặt cầu có phương trình

có tâm

và bán kính

𝒓 =𝟑

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Ví dụ 4 :

Hãy viết mặt cầu có phương
ở dạng (*) trong định lý.

𝟐
𝟐
𝟐
𝒙
+
𝒚
+
𝒛
−
𝟒
𝒙
+𝟔
𝒚
+𝟐
𝒛
+
𝟓=𝟎
.
trình

Bài giải
𝟐

𝟐

𝟐

Cách 1: Mặt cầu có phương trình𝒙 + 𝒚 + 𝒛 −𝟒 𝒙 +𝟔 𝒚 +𝟐 𝒛 + 𝟓=𝟎

và bán kính

có tâm

𝒓 =𝟑

Nên phương trình mặt cầu còn có thể như sau
𝟐

𝟐

𝟐

( 𝒙 −𝟐) +( 𝒚 +𝟑) +( 𝒛 +𝟏) =𝟗

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
CÁC VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 3:

Xác định tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình:
𝒙

𝟐

+𝒚

Bài giải

Cách 2: Ta có:

𝟐

𝟐

+𝒛

𝟐

𝟐

− 𝟒 𝒙 +𝟔 𝒚 +𝟐 𝒛 + 𝟓=𝟎 .

.
𝟐

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 −𝟒 𝒙+𝟔 𝒚 +𝟐 𝒛 + 𝟓=𝟎

++
𝟐

𝟐

𝟐

⇔ ( 𝒙 − 𝟐) +( 𝒚 +𝟑 ) +( 𝒛 +𝟏 ) =𝟗
𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

⇔ ( 𝒙 − 𝟐) +( 𝒚 +𝟑 ) +( 𝒛 +𝟏 ) =𝟑
Vậy mặt cầu đã cho có
tâm

𝑰(𝟐;−𝟑;−𝟏)

và bán kính

3

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 1
Trong KG 𝑶𝒙𝒚𝒛 ,
𝟐

mặt cầu tâm 𝑰 (𝟏;−𝟐;𝟑)
𝟐

𝟐

A ( 𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚 + 𝟐 ) + ( 𝒛 −𝟑 ) =𝟒 .
A

C ( 𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚 + 𝟐 ) + ( 𝒛 −𝟑 ) =𝟐.
𝟐

𝟐

𝟐

bán kính

𝒓 =𝟐

𝟐

có phương trình
là
𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟏
)
+
(
𝒚
−
𝟐
)
+
(
𝒛
+𝟑
)
=𝟒
.
B ( 𝒙+
−𝟏
𝟐

D ( 𝒙+ 𝟏 ) + ( 𝒚 − 𝟐 ) + ( 𝒛 +𝟑 ) =𝟐 .

Bài
giải
𝒓
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Mặt
(𝑺): ( 𝒙 − 𝒂 ) + ( 𝒚 − 𝒃 ) + ( 𝒛 −𝒄 ) =𝒓 có tâm 𝑰= ( 𝒂; 𝒃;𝒄 ) ,bán kính
cầu
𝒓 =𝟐
(𝑺)
vào
phương
trình
mặt
và
bán
kính
Thay tọa độ
𝑰= (𝟏;− 𝟐;𝟑 )
cầu
tâm
𝟐
𝟐
𝟐
ta
( 𝑺) : ( 𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚 + 𝟐 ) + ( 𝒛 −𝟑 ) =𝟒
được

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 2
𝟐
𝟐
𝟐
𝑶𝒙𝒚𝒛 , cho mặt cầu( 𝑺 ) : 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 − 𝟒 𝒙 +𝟔 𝒚 + 𝟐 𝒛 +𝟓=𝟎 .
Trong không
gian
(𝑺) là
Diện tích của mặt
cầu
𝟐𝟒 𝝅 .
𝟗𝝅.
𝟏𝟐 𝝅 .
𝟑𝟔
𝝅
.
C
D
B
A
C
Bài giải
𝟐
𝟐
𝟐
Từ phương trình( 𝑺 ) : 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 − 𝟒 𝒙 +𝟔 𝒚 + 𝟐 𝒛 +𝟓=𝟎ta xác định
được
𝟐
𝟐
𝒂=𝟐 ; 𝒃=− 𝟑 ; 𝒄 =−𝟏 ; 𝒅=𝟓 ⇒
𝟐
Mặt
cầu

𝒓 =√ 𝟐 + ( −𝟑 ) + ( −𝟏 ) −𝟓=√ 𝟗=𝟑

(𝑺) có diện tích là𝑺 =𝟒 𝝅 𝒓 =𝟒 𝝅 .𝟑 =𝟑𝟔 𝝅
𝟐

𝟐

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A

Câu 3

𝑶𝒙𝒚𝒛 , phương trình
Trong không
gian
mặt cầu?
nào sau đây là phương trình

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐 𝒙 +𝟐 𝒚 +𝟐 𝒛 +𝟒 𝒙 +𝟖 𝒚 =𝟎 .
𝟐

𝟐

𝟐

B 𝒙 +𝟐 𝒚 + 𝒛 −𝟐 𝒙+ 𝟒 𝒚 −𝟐 𝒛 −𝟏=
𝟐

𝟐

𝟐

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 −𝟐 𝒙 +𝟐 𝒚 +𝟐=𝟎 .

C

𝟐

𝟐

𝟐

𝒙 + 𝒚 − 𝒛 − 𝒙 + 𝒚 −𝟓=𝟎 .

D

Bài giải

𝟐

𝟐

Phương trình 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 − 𝟐 𝒂𝒙 − 𝟐 𝒃𝒚 − 𝟐 𝒄𝒛là
mặt cầu
+ PT
𝒅=𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝒂 + 𝒃 + 𝒄 − 𝒅 >𝟎
khi
𝟐

𝟐

𝟐

⇔

𝟐

𝟐

𝟐

𝒙 + 𝒚 + 𝒛 + 𝟐 𝒙 +𝟒 𝒚 =𝟎
Đáp án A: 𝟐 𝒙 +𝟐 𝒚 +𝟐 𝒛 +𝟒 𝒙 +𝟖 𝒚 =𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
⇒
𝒂=−
𝟏
;
𝒃=−𝟐
;
𝒄=𝒅=𝟎
có
(−𝟏) +( −𝟐) + 𝟎 − 𝟎=𝟓 >𝟎 nên nó là PT mặt cầu
𝟐
𝟐
𝟐
𝒙 số
; 𝒚 ; 𝒛 không bằng nhau
Đáp án B và D không là PTmặt cầu vì hệ
𝟐
𝟐
𝟐
⇒
𝒂=𝟏
;
𝒃=−
𝟏
;
𝒄=𝟎
;
𝒅=𝟐
Đáp án Ccó
𝟏 +(− 𝟏) + 𝟎 − 𝟐=𝟎
nên không là phươngtrình mặt

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Câu 4
𝑶𝒙𝒚𝒛 cho hai
Trong không
gian
điểm
𝑰
(𝑺)
Mặt
tâm và đi qua
cầu
điểm
𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝑨

và 𝑨(𝟏;𝟎;𝟑).

có phương trình
là
𝟐

A ( 𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚 + 𝟐 ) + ( 𝒛 −𝟑 ) =𝟐.
𝟐

𝑰 (𝟏;−𝟐;𝟑)

𝟐

𝟐

B ( 𝒙+ 𝟏 ) + ( 𝒚 − 𝟐 ) + ( 𝒛 +𝟑 ) =𝟒 .

𝟐

C ( 𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚 + 𝟐 ) + ( 𝒛 −𝟑 ) =𝟒 .
C

𝟐

𝟐

D ( 𝒙+ 𝟏 ) + ( 𝒚 − 𝟐 ) + ( 𝒛 +𝟑 ) =𝟐 .

Bài
giải
𝟐
𝟐
𝟐
(𝑺)
Mặt
có bán kính 𝒓 =𝑰𝑨= (𝟏 − 𝟏 ) + ( 𝟎+𝟐 ) + ( 𝟑 −𝟑 ) =𝟐
cầu
𝟐
𝟐
𝟐
Vậy phương trình cầu cần tìm (là:
𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚 + 𝟐 ) + ( 𝒛 −𝟑 ) =𝟒

√

𝟐

§1.
§1. HỆ
HỆ TỌA
TỌA ĐỘ
ĐỘ TRONG
TRONG KHÔNG
KHÔNG GIAN
GIAN
Câu 5

𝑶𝒙𝒚𝒛 cho hai điểm𝑨(𝟐;− 𝟏;𝟎) và 𝑩(𝟎;𝟑;−𝟒).
Trong không
gian
𝑨𝑩
kính
có phương trình
là
𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

𝟐

B ( 𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚 −𝟏 ) + ( 𝒛 +𝟐 ) =𝟑.

A ( 𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚 −𝟏 ) + ( 𝒛 − 𝟐 ) =𝟑 .

D ( 𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚 −𝟏 ) + ( 𝒛 +𝟐 ) =𝟗.
D

C ( 𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚 −𝟏 ) + ( 𝒛 − 𝟐 ) =𝟗 .

Bài
𝑰 là trung điểm
giải
𝑰
𝑨𝑩
,
khi đó
Gọi là tâm mặt cầu đường
của
kính
𝟐+𝟎 −𝟏+𝟑 𝟎 −𝟒
hay 𝑰 ( 𝟏;𝟏;−𝟐 )
⇒𝑰
;
;

(

𝟐

𝟐

𝟐

)

Mặt cầu
đường

𝑨𝑩

𝑨𝑩
=𝟑
bán kính 𝒓 =
𝟐

⇒
⃗
Ta có 𝑨𝑩= (− 𝟐;𝟒;−𝟒 )
⃗
𝑨𝑩=| 𝑨𝑩|=𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
Vậy phương trình cầu cần tìm là:
( 𝒙 −𝟏 ) + ( 𝒚 −𝟏 ) + ( 𝒛 +𝟐 ) =𝟗
⇒

§1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Nhiệm vụ thực hiện ở nhà
1

Xem lại các dạng bài tập trên.

2

Làm bài tập 5,6 -Sách giáo khoa trang 68