CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Ở các lớp dưới, ta đã làm quen với phép tính lũy thừa với số mũ tự
nhiên của một số thực và các tính chất của phép tính lũy thừa đó.

Những khái niệm luỹ thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu
tỉ và số mũ thực được xây dựng như thế nào? Những
phép tính lũy thừa đó có tính chất gì?

CHƯƠNG VI: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM
SỐ LÔGARIT
BÀI 1. PHÉP TÍNH LŨY THỪA
VỚI SỐ MŨ THỰC

NỘI DUNG BÀI HỌC

I

Phép tính lũy thừa với số mũ hữu tỉ

II

Phép tính lũy thừa với số mũ thực

I
PHÉP TÍNH LUỸ THỪA
VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ

PHÉP TÍNH LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN
HĐ 1: a) Cho là một số nguyên dương. Với là số thực tùy ý, nêu định nghĩa lũy
thừa bậc của .
b) Với là số thực tùy ý khác , nêu quy ước xác định lũy thừa bậc của .
Giải:
a) Cho là một số nguyên dương. Với là số thực tùy ý, lũy thừa bậc của
là tích của thừa số . 
b) Với thì

ĐỊNH NGHĨA
Cho số thực khác và số nguyên dương . Ta đặt

Ta đã xác định được , ở đó là số thực tùy ý khác và là một
số nguyên. Trong biểu thức , ta gọi là cơ số, số nguyên là
số mũ.

Chú ý
o và ( nguyên dương) không có nghĩa.
o Lũy thừa với số mũ nguyên có các tính chất tương tự
của lũy thừa với số mũ nguyên dương.

Ví dụ 1: Tính giá trị của mỗi biểu thức:

𝑎¿ 𝐴=2

()

1
𝑏 ¿ 𝐵=
2

−3

−12

.8

−3

Giải
Ta có: 𝑎 ¿ 𝐴 =2

−3

1
1
= 3=
8
2

()

1
𝑏 ¿ 𝐵=
2

−12

12

1 2
3
. 8 =2 . 3 = 9 =2 =8
8
2
−3

12

Luyện tập 1

() ( )
12

1
1
𝑀=
.
Tính giá trị của biểu thức:
3
27

−5

Giải
4

( )

1
+ ( 0,4 ) .25 .
32
−4

1 15 5 1 5 3
𝑀= 12 . 3 + 4 . 4 . 2 =3 +2=29
3
2 5

−2

−1

CĂN BẬC
a) Định nghĩa
HĐ 2: a) Với là số thực không âm, nêu định nghĩa căn bậc hai của .
b) Với là số thực tùy ý, nêu định nghĩa căn bậc ba của .
Giải
a) Căn bậc hai của một số thực không âm, kí hiệu là là số sao cho .
b) Căn bậc ba của một số tùy ý, kí hiệu là là số sao cho .

ĐỊNH NGHĨA
Cho số thực và số nguyên dương . Số thực
được gọi là căn bậc của số nếu .

Ví dụ 2:
a) Số có là căn bậc 5 của hay không?
b) Các số 3 và – 3 có là căn bậc 4 của 81 hay không?
Giải
a) Do nên số là căn bậc 5 của
b) Ta thấy: . Do đó các số 3 và – 3 có là căn bậc 4 của
81.

Luyện tập 2
Các số 2 và –2 có phải là căn bậc 6 của 64 hay không?
Giải
Các số 2 và là căn bậc 6 của 64, vì:

Nhận xét:
. Với lẻ và : Có duy nhất một căn bậc của , kí hiệu là .
. Với chẵn, ta xét ba trường hợp sau:
+ : Không tồn tại căn bậc của .
+ : Có một căn bậc của là số .
+ : Có hai căn bậc của là hai số đối nhau, giá trị dương kí hiệu là , còn
giá trị âm kí hiệu là .

b) Tính chất
HĐ 3: a) Với mỗi số thực , so sánh:   và ;  và .
b) Cho là hai số thực dương. So sánh   và  .
Giải:
a) Với

b) Với

Ta có: ;

Ta có: ;

Do

Do

Ta có: ;
Do

TÍNH CHẤT

{

√

¿𝑎
𝑘
h
𝑖𝑛𝑙ẻ
;
√𝑎 = | |
¿ 𝑎 𝑘h𝑖𝑛 𝑐h ẵ 𝑛

√ 𝑎 =𝑛 𝑎 ;
𝑛
𝑏
𝑏
√

√ 𝑎⋅ √𝑏= √𝑎𝑏;

𝑛𝑘

𝑛 𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

¿

𝑛

√ √ 𝑎= √ 𝑎
𝑛𝑘

(Ở mỗi công thức trên, ta giả sử các biểu thức xuất hiện
trong đó là có nghĩa).

Ví dụ 3

Rút gọn mỗi biểu thức sau

𝑎¿ √ 3. √− 81      𝑏¿ √ 5 √5
5

5

3

Giải

𝑎¿

√ 3 . √− 8 1= √ −2 43= √( − 3 ) =−2
5

5

5

5

√

𝑏¿ √ 5 √ 5 = ( √ 5 ) =√ 5
3

3

3

5

Luyện tập 3
Rút gọn mỗi biểu thức sau
Giải

√

125 4
𝑎¿
. √81;
64
3

98 . √ 343
√
𝑏¿
5
√64
5

5

PHÉP TÍNH LUỸ THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ
HĐ 4: Thực hiện các hoạt động sau:
a) So sánh: và ;

b) So sánh: và .

Giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
;
Vậy

ĐỊNH NGHĨA
Cho số thực dương và số hữu tỉ , trong đó . Lũy
thừa của với số mũ được xác định bởi:

Nhận xét: 
. .
. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ của số thực dương có đầy đủ tính chất
của lũy thừa với số mũ nguyên.

Tính:

Ví dụ 4:

( )

1
𝑎¿
64

1
3

;      𝑏 ¿ 243

2
−
5

Giải

( )

1
𝑎¿
64
𝑏 ¿ 243

−

1
3

2
5

(√ )

√

3

1 3 1
1
=
=
=
64
4
4

=

3

√ 243
5

−2

√
5

5 −2

= (3 )

√
5

= (3

−2 5

) =3

−2

1
1
= 2=
9
3

Luyện tập 4
4
3

4
3

𝑥 𝑦+𝑥 𝑦
(
)
Rút gọn biểu thức: 𝑁=
𝑥>0,
𝑦>0
3
3
√ 𝑥+√ 𝑦
Giải
4
3

4
3

𝑥 𝑦+𝑥 𝑦 √ 𝑥 𝑦+𝑥 √ 𝑦 𝑥𝑦 ( √ 𝑥+ √ 𝑦 )
𝑁= 3 3 = 3 3
= 3 3
=𝑥𝑦
√ 𝑥+√ 𝑦
√ 𝑥+√ 𝑦
√ 𝑥+√ 𝑦
3

4

3

4

3

3

II
PHÉP TÍNH LUỸ THỪA
VỚI SỐ MŨ THỰC

1. Định nghĩa
HĐ 5:

Xét số vô tỉ 

Xét dãy số hữu tỉ
và . Bằng cách tính tương ứng, ta nhận được Bảng
1 ghi các dãy số và  với . Người ta chứng minh được
rằng khi thì dãy số dần đến một giới hạn mà ta gọi là .
Nêu dự đoán về giá trị của số  (đến hàng phần trăm).

Từ bảng 1 ta dự đoán được:

ĐỊNH NGHĨA
Cho là số thực dương, là số vô tỉ, là dãy số hữu tỉ và . Giới hạn
của dãy số gọi là lũy thừa của với số mũ , kí hiệu , .

• Nhận xét: Từ định nghĩa ta có:

Ví dụ 5
Xét dãy số hữu tỉ
và
. Bằng cách tính tương ứng, ta nhận được Bảng
2 ghi các dãy số và  với . Nêu dự đoán về giá trị
của số  (đến hàng phần trăm).

Từ bảng 2 ta dự đoán:

Luyện tập 5
So sánh và
Giải
Từ Ví dụ 5 ta đã có: . Do đó

2. Tính chất
HĐ 6: Nêu những tính chất của phép tính lũy thừa với số mũ nguyên
của một số thực dương.
Giải

 
;; ; ; .

TÍNH CHẤT
• Cho là những số thực dương; là những số thực tùy ý.
Khi đó, ta có:
;; ;
;.
• Nếu thì .
Nếu thì .

Ví dụ 6

Rút gọn biểu thức

Giải
Với , ta có

𝑃=

𝑎

√ 5+1

.𝑎

7 −√ 5

3 − √ 2 3 +√ 2

(𝑎

)

(𝑎>0)

Ví dụ 7
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số và .
Giải

Ta có:
Do nên
Vì cơ số lớn hơn nên

Luyện tập 6
Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh các số
và .
Giải
Ta có:
Vì
Vì cơ số nên .

3. Sử dụng máy tính cầm tay để tính lũy thừa với số mũ thực

Ví dụ 8
Dùng máy tính cầm tay để tính (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
a
Giải
a
b)

b)

Ví dụ 9
Trong mẫu của một sinh vật đã chết năm, tỉ số của carbon phóng xạ còn lại và carbon
không phóng xạ còn lại có thể được ước tính bằng công thức

Trong đó là tỉ số

của carbon phóng xạ và carbon không phóng xạ trong cơ thể sống (Nguồn: R.I. Charles
et al., Algebra 2, Pearson).
Tính tỉ số

trong mẫu sinh vật đã chết đó sau năm; sau năm (làm tròn kết quả đến

hàng phần trăm).

Giải

Tỉ số

𝑅
trong mẫu sinh vật đã chết đó sau
𝐴
2000
𝑅
=( 2,7 )
𝐴

Tỉ số

−

8 033

≈ 0,78

𝑅
trong mẫu sinh vật đã chết đó sau
𝐴
8 000
𝑅
=( 2,7 )
𝐴

−

8 033

năm là:

≈ 0,37

năm là:

LUYỆN TẬP

50:50

50:50

Key

Câu 1: Viết các số sau theo thứ tự tăng dần 

A.

B.

C.

D.

50:50

Key

Câu 2: Cho  và khi đó:

A.

C.

B.

D.

50:50

Key

Câu 3: Mệnh đề nào đúng với mọi số thực
dương ?
C.
A. 

B.

D.

50:50

Key

Câu 4: Cho biểu thức , mệnh đề nào dưới đây
đúng?

A.

B.

C.
D.

50:50

Key

Câu 5: Rút gọn biểu thức

A.

C.

B.

D.

Bài 1 (SGK – tr33)

Tính:
3
4

4
3

4

√

3 4

3

√

4 3

3

√

3 2

√

2 3

3

¿ 25 6 +2 7 = ( 4 ) + ( 3 ) =4 + 3 =145
3
2

2
3

2

3

4

¿ 4 9 −12 5 = ( 7 ) − ( 5 ) =7 −5 =318
2

Bài 2 (SGK – tr33)
Cho a, b là những số thực dương. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa
với số mũ hữu tỉ:
a)
b)

𝑎

5
6

c)

𝑏

1 1 1
++
2 3 6

=𝑏

d)

4 1
3 3

𝑎 :𝑎 =𝑎
1 1
−
3 6

𝑏 =𝑏

1
6

Viết các số sau theo thứ tự tăng dần

Bài 4 (SGK – tr33)

()

1
a ) 1 ;3 ;
2
1,5

−1

−2

;

()

4
b )  202 2 ;
5
0

Giải

−1

;5

1
2

Bài 5 (SGK – tr33)
Không sử dụng máy tính

Giải

cầm tay, hãy so sánh:
a) và ; Có mà

a) và ;

b) và

b) Có

VẬN DỤNG