GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Hãy nhắc lại các bước
giải bài toán bằng cách
lập phương trình?

Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết qua ẩn và các đại lượng đã biết.
- Thiết lập các mối quan hệ giữa các đại lượng để lập phương trình.
Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: Kết luận.
- Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện của bài toán để đưa ra kết luận.
Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình ta cũng làm tương tự.

Giải bài toán bằng cách lập phương trình
Bước 1: Lập phương trình.
- Chọn ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết còn lại qua
ẩn và các đại lượng đã biết.
- Thiết lập các mối quan hệ giữa các đại lượng
để lập phương trình.
Bước 2: Giải phương trình.
Bước 3: Kết luận.
- Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện của
bài toán để đưa ra kết luận.

Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bước 1: Lập hệ phương trình.
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho
các ẩn.
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết còn lại
qua ẩn và các đại lượng đã biết.
- Thiết lập các mối quan hệ giữa các đại
lượng để lập hệ phương trình.
Bước 2: Giải hệ phương trình.
- Dùng pp thế hoặc pp cộng đại số để giải hpt
Bước 3: Kết luận.
- Đối chiếu kết quả tìm được với điều kiện của
bài toán để đưa ra kết luận.

1/ Ví dụ 1:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số
hàng chục 1 đơn vị, và nếu viết hai chữ số ấy theo thứ tự ngược lại thì được một số
mới (có hai chữ số ) bé hơn số cũ 27 đơn vị
Tóm tắt: - Tìm số tự nhiên có hai chữ số
Biết: +) 2.CSHĐV – CSHC = 1 PT (1)
PT (2)
+) số cũ - số mới = 27

Tóm tắt: - Tìm số tự nhiên có hai chữ số
Biết: +) 2.CSHĐV – CSHC = 1
+) số cũ - số mới = 27

Giải

+) Gọi chữ số hàng chục của số cần tìm là x, chữ số hàng đơn vị là y.
(ĐK: x;y , 0 < x;y 9 )

+) Do hai lần chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục1 đơn vị nên
ta có pt:
2 y - x =1
+) Số cần tìm có dạng: 10x + y
+) Sau khi viết hai chữ số theo thứ tự ngược lại ta được số mới : 10 y + x

Bước 1.

+) Vì số cũ hơn số mới 27 đơn vị nên ta có pt: (10 x+ y)- ( 10 y + x)= 27
9x - 9y = 27
+) Từ (1) và (2) ta có hpt:
− 𝑥+ 2 𝑦=1

{ 𝑥 − 𝑦=3

Vậy số cần tìm là 74

{

⟺ 𝑦=4
𝑥 − 𝑦 =3

{

⟺ 𝑦 =4 (Nh ậ n)
𝑥 =7

Bước 2.
Bước 3.

PT (1)
PT (2)

2/ Ví dụ 2: Một chiếc xe tải đi từ TP. Hồ Chí Minh đến TP. Cần Thơ , quãng đường dài 189
km. Sau khi xe tải xuất phát 1 giờ, một xe khách bắt đầu đi từ TP. Cần Thơ về TP. Hồ Chí
Minh và gặp xe tải sau khi đã đi được 1 giờ 48 phút. Tính vận tốc của mỗi xe, biết rằng mỗi
giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.
Vận tốc
Xe tải
Xe khách

Thời gian

Quãng đường

x (km/h)

2h 48 phút =

.x(km)

y (km/h)

1h 48 phút =

.y(km)

Mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km : y – x = 13 - x + y =13 (1)
TP. Hồ Chí Minh đến TP. Cần Thơ dài 189 km :

Giải
Gọi vận tốc xe tải là x (km/h)
và vận tốc xe khách là y (km/h) ( x>0;y>13)
Do mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km
nên ta có pt : y – x = 13 - x + y =13 (1)
Thời gian xe tải đã đi là : 1h+1h 48 phút =
= 2h 48 phút =
Thời gian xe khách đã đi là : 1h 48 phút =
Quãng đường xe tải đã đi là : .x (km)
Quãng đường xe khách đã đi là : .y (km)

Vận
tốc

Thời gian

Quãng
đường

Xe tải

x (km/h)

2h 48 phút =

.x(km)

Xe khách

y (km/h)

1h 48 phút =

.y(km)

Từ (1) và (2) ta có hpt:

{

− 𝑥+ 𝑦 =13
14
9
𝑥+ 𝑦 =189
5
5

Do quãng đường TP. Hồ Chí Minh đến TP. Cần
Thơ dài 189 km nên ta có pt :
Vậy vận tốc xe tải là 36 km/h; vận tốc
xe khách là 49 km/h.

Bài 28. SGK/22
Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006
và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2
và số dư là 124.
Giải:

Tóm tắt:
Tìm :- 2 số tự nhiên.
Biết: - Tổng hai số bằng 1006.
- Số lớn = số bé .2 + 124

Gọi số tự nhiên lớn là a, số tự nhiên nhỏ là b
( a;b .
Vì tổng hai số là 1006 nên ta có pt: a + b = 1006 (1)
Nếu số lớn chia số nhỏ được thương là 2 và dư 124 nên ta có pt: a = 2b+124 (2)
Từ (1) và (2) ta có hpt

{

⟺

{

{

3 𝑏=882
𝑎+ 𝑏=1006
⟺ 2 𝑏+124 +b=1006⟺
𝑎=2 𝑏+124
𝑎=2 𝑏+124
𝑎=2𝑏+ 124

𝑏=294
( Nh ậ n)
{𝑎=2.294
+124=712

Vậy số lớn là 712, số bé là 294.

3/Ví dụ 3:Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 24 ngày thì xong. Mỗi ngày,
phần việc đội A làm được nhiều gấp rưỡi đội B. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi
đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu?

Đội A
Đội B
Cả hai đội

1 ngày làm
được
(công việc)

Thời gian
hoàn thành
(ngày)

1
𝑥

x

1
𝑦

1
12

Mối quan hệ

=

y
24

+

Giải:
Gọi thời gian hoàn thành công việc một
mình của đội A và đội B lần lượt là x và y
(ngày). Đk: x; y > 24.
Mỗi ngày, đội A làm được ( công việc),

1 ngày làm
được
(công việc)

1
𝑥

Đội A
Đội B

{

{

1
1 3
𝑦 𝑥=2 𝑦
⟺
13 1 1
+ =
242 𝑦 𝑦 24

{

+

24

=

Hai đội làm chung trong 24 ngày thì xong công việc nên ta có pt:
1
3
 =
 
.
Từ (1) và (2) ta có hpt
𝑥
2
1
1
 + 
=
𝑥
𝑦

=

y

1
24

Do mỗi ngày đội A làm nhiều gấp rưỡi đội B nên ta có pt:

Mối quan
hệ

x

1
𝑦

Cả hai đội

đội B làm được ( công việc) .

Thời gian
hoàn thành
(ngày)

1 3
=
𝑥
2𝑦
⟺
1 1
=
𝑦 60

+ (2)

{

1 1
=
𝑥
40 ⟺ 𝑥=40 ( 𝑡𝑚)
⟺
𝑦 =60
1 1
=
𝑦 60

{

Vậy nếu làm một mình thì đội A làm trong 40 ngày, còn đội B làm trong 60 ngày thì xong việc.

Gọi x là số phần công việc làm trong một ngày của đội A, y là số phần công việc làm
Bằng cách gọi x là số phần công việc
trong một ngày của đội B. (ĐK: x,y > 0)
làm trong một ngày của đội A, y là số
Do mỗi ngày đội A làm nhiều gấp rưỡi đội
B nên
ta việc
có pt:
x =trong
1,5.ymột
(1) ngày
phần
công
làm

Cả hai đội cùng làm thì 24 ngày xong việc
số phần
công
của nên
đội B,
em hãy
giảiviệc
bài làm
toántrong
trên?một ngày
của cả hai đội là ( công việc)
Ta có phương trình: x +y =

(tm)
𝑥 =1,5. 𝑦
𝑥=1,5 𝑦
1
1 ⟺
𝑦=
𝑥 + 𝑦=
60
24
Suy ra một ngày đội A làm được còn đội B làm được hay đội A làm một mình thì
mất 40ngày, đội B làm mất 60 ngày mới xong việc.
Từ (1) và (2) ta có hpt

{

{

Cách gọi ẩn như trên là cách gọi ẩn gián tiếp.

Tóm tắt :
Biết: +) số cam + số quýt = 17
+) Số cam. 10 + số quýt .3 = 100.
Tìm : Số cam, số quýt ?

LUYỆN TẬP
Dạng 1. Toán cơ bản
Bài 29. SGK/22

Gọi số cam là x ( quả), số quýt là y ( quả). ĐK: x;y
Tổng số cam và quýt là 17 quả nên ta có PT: x + y =17 (1)
Mỗi quả quýt chia làm 3 phần nên số miếng quýt chia được là 3y.
Mỗi quả cam chia làm 10 phần nên số miếng cam chia được là 10x.
Tổng số miếng cam và quýt là 100 quả nên ta có PT: 10x + 3 y =100 (2)

{

{

{

3 𝑥+ 3 𝑦 =51 ⟺ 𝑥+ 𝑦=17
x
 + 
y
 =17
⟺
Từ (1) và (2) ta có hpt
−7 𝑥=− 49
10 𝑥 +3 𝑦=100
10 𝑥 +3 𝑦=100

{

⟺ 𝑦 =10 (𝑡𝑚 )
𝑥=7

Vậy số cam và quýt lần lượt là 7 quả và 10 quả.

Bài 34. SGK/24
Ban đầu
Dự định 1
Dự định 2

HPT:

{

Số luống

Số cây/luống

x

y

x +8

y -3

(x+8)(y-3)

x-4

y +2

(x-4)(y+2)

xy  − ( x  +8)( y −3) = 54 
( x −4) ( y+2) –  xy  =32 

Tổng số cây
x.y

Giải:
Gọi số luống ban đầu là x ( luống) , số cây trên một luống là y (cây).

ĐK: x>4; y>3,; x,y

Số cây rau dự định trồng là x.y ( cây).
Nếu tăng thêm 8 luống, mỗi luống trồng ít đi 3 cây thì số cây rau trồng được là : (x+8)(y -3)
Khi đó số rau trồng được giảm 54 cây nên ta có pt: xy- (x+8)(y -3) = 54 (1)
Nếu giảm đi 4 luống, mỗi luống trồng tăng thêm 2 cây thì số cây rau trồng được là:(x-4)(y +2)
Khi đó số rau trồng được tăng 32 cây nên ta có pt: (x-4)(y +2)-xy = 32 (2)

{

xy − ( x+8)( y  −3) = 54
Từ (1) và (2) ta có hpt
( x−4 )( y  +2)− xy  = 32

{

⟺ 3 𝑥 − 8 𝑦 =30
2 𝑥 −4 𝑦 =40

Vậy tổng số cây rau Lan dự định trồng là 50.15= 750 (cây)

{

⟺ 𝑥=50 (𝑡𝑚 )
𝑦 =15

Bài 35. SGK/24
Gọi giá của một quả thanh yên là x (rupi), giá một quả táo rừng thơm là y (rupi) (x, y > 0)
Số tiền mua 9 quả thanh yên và 8 quả táo rừng thơm là : 9x + 8y ( rupi)
Ta có pt: 9x +8y = 107 (1)
Số tiền mua 7 quả thanh yên và 7 quả táo rừng thơm là : 7x + 7y ( rupi)
Ta có pt: 7x +7y = 91 (2)

{

{

9 x  +8 y  = 107 ⟺ 𝑥=3 (𝑡𝑚)
Từ (1) và (2) ta có hpt
𝑦 =10
7 x  +7 y  = 91

Vậy giá một quả thanh yên là 3 rupi, giá một quả táo rừng thơm là 10 rupi

Dạng 2. Toán làm chung- làm riêng
Phương pháp chung:
Gọi thời gian đối tượng I hoàn thành công việc là x ( đv tg), thời gian đối tượng II hoàn
thành công việc là y ( đv tg). ĐK: x;y > a ( a là thời gian 2 đối tượng làm chung).
Trong 1 đv tg, đối tượng I làm được :
Trong 1 đv tg, đối tượng II làm được :
Trong 1 đv tg, 2 đối tượng làm được :
PT (1):

Dạng 2. Toán làm chung- làm riêng
Đổi : 4
Bài 32. SGK/23
Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là x
( h), thời gian vòi II chảy một mình đầy bể là y
( h). ĐK: x;y > 24/5.
Trong 1 h, vòi I chảy được :
Trong 1 h, vòi II chảy được :
Trong 1 h, 2 vòi chảy được :
Ta có pt : (1)
Nếu mở vòi I trong 9h và sau đó mở thêm vòi 2
trong thì đầy bể nên ta có pt:
.

Từ (1) và (2) ta có hpt

{

{

1 1
5
1 1
+ =
=
𝑥 𝑦 24
𝑥
12
⟺
9 6 5
1 1
+ .
=1
=
𝑥 5 24
𝑦 8

{

⟺ 𝑥 =12 ( tm ) 
𝑦 =8

Vậy nếu chảy một mình thì vòi I chảy
trong 12h đầy bể, vòi II chảy trong 8 h
đầy bể.

Dạng 3. Toán liên quan đến hình học
Bài 31. SGK/23
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là x,y (cm). ĐK: x; y > 0
Diện tích ban đầu là
Nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích mới là:
Do diện tích tăng thêm

-= 36 (1)

Nếu giảm một cạnh 2 cm, cạnh kia giảm 4 cm thì diện tích mới là:
Do diện tích g

{

= 26 (2)

1
1
( 𝑥+3 ) ( 𝑦 +3 ) − . 𝑥 . 𝑦 = 36
Từ (1) và (2) ta có hpt 2
2
⟺ 3 𝑥+3 𝑦=63⟺ 𝑥=9 (𝑡𝑚)
𝑦 =12
2 𝑥 + 𝑦=30
1
1
. 𝑥 . 𝑦 − ( 𝑥 −2 ) ( 𝑦 − 4 ) = 26
2
2

{

Vậy độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông lần lượt là 9, 12 (cm).

{

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
Nắm vững các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Xem lại các dạng BT đã làm.
Làm các BT còn lại trong SGK