NHIỆT LIỆT CHÀO ĐÓN CÁC EM
ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Độ cao H (mét) của một vật (so với mặt đất) khi ném
lên từ một điểm trên mặt đất được biểu thị bởi biểu
thức H = -5x2 + 15x, trong đó x (giây) là thời gian
tính từ thời điểm ném vật. Hỏi sau bao lâu kể từ khi
được ném lên, vật sẽ rơi trở lại mặt đất?
Gợi ý

Khi vật rơi trở lại mặt đất độ cao H bằng bao nhiêu?
Để trả lời câu hỏi của bài toán, ta phải làm gì?

BÀI 25: ĐA THỨC
MỘT BIẾN (3 Tiết)

NỘI DUNG BÀI HỌC
01

Đơn thức một biến
02 Khái niệm đa thức một biến
03 Đa thức một biến thu gọn

NỘI DUNG BÀI HỌC
04

Sắp xếp đa thức một biến
05

Bậc và các hệ số của một
đa thức
06 Nghiệm của đa thức một biến

1. Đơn thức một biến

Các biểu thức như -0,5x; 3x2; là những ví dụ
về đơn thức một biến. Chúng đều là tích của
một số với một lũy thừa của x.

Vậy đơn thức một biến là gì?

K

T
Ế

U
L

N
Ậ

Sơ lược về đơn thức một biến:
Đơn thức một biến (đơn thức) là biểu thức đại số có
dạng tích của môt số thực với một lũy thừa của biến,
trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của lũy thừa của
biến gọi là bậc của đơn thức.

Ghi
nhớ

Đặc điểm của các đơn thức một biến:
Có dạng tích của một số với một lũy thừa của biến.

• Biểu thức 4x3 là một đơn thức, trong đó 4 là hệ
số, số mũ 3 của x là bậc của đơn thức đó.
Hệ số

4x

Bậc

3

• Đơn thức -0,5x có hệ số là -0,5 và có bậc là 1 (vì x = x 1).
• Một số khác 0 là một đơn thức bậc 0.
Em hãy lấy ví dụ, sau đó chỉ ra bậc và hệ số
của đơn thức đó.

Ví dụ

Số 2 là đơn thức bậc 0 vì

Chú ý

có thể coi rằng 2 = 2x0

Áp dụng, suy nghĩ nhận biết hệ số và bậc của đơn thức hoàn
thành bài ?, sau đó trao đổi cặp đôi kiểm tra chéo đáp án.
Cho biết hệ số và bậc của mỗi đơn thức sau:
a) 2x6
 Hệ số: 2
 Bậc: 6

b) x2
 Hệ số:
 Bậc: 2

c) -8

d) 32x

 Hệ số: -8

 Hệ số: 32

 Bậc: 0

 Bậc: 1

Cách cộng, trừ, nhân, chia đơn thức một biến
Với các đơn thức một biến, ta có thể:
Cộng (hay trừ) hai đơn thức cùng

Nhân hai đơn thức tùy ý bằng

bậc bằng cách cộng (hay trừ) các

cách nhân hai hệ số với nhau

hệ số với nhau và giữ nguyên lũy

và nhân hai lũy thừa của biến

thừa của biến. Tổng nhận được

với nhau. Tích nhận được cũng

là một đơn thức.
Ví dụ:

là một đơn thức.
Ví dụ:

-3x  + x = (-3+1).x = -2x
4

4

4

4

3,7x2 – 1,2x2 = (3,7 -1,2).x2 = 2,5x2

(0,5x).(6x2) = (0,5.6). (x.x2) = 3x3
(-6x3).= (x3.x2) = -4x5

Thảo luận, trao đổi trả lời câu hỏi ?:
Khi nhân một đơn thức bậc 3 với một đơn thức bậc 2,
Bậc 5
ta được đơn thức bậc mấy?
Áp dụng thực hiện bài tập Luyện tập 1.
Luyện tập 1
a) 5x + x
3

3

Tính

= (5 + 1)x3 = 6x3

b) x5 –x5
c) (−0,25x2).(8x3)

= (-0,25. 8)(x .x ) = -2x
2

3

5

2. Khái niệm đa thức một biến
Quan sát các biểu thức và thảo luận theo nhóm trả lời câu hỏi:

A = 6x3 – 5x2 - 4x3 + 7

B = 2x4 - 3x2 + x + 1

Em có nhận xét gì về đặc điểm chung của 2 biểu thức trên?
Vì a - b = a + (-b) nên

A, B đều là tổng của những đơn

A = 6x3 + (-5x)2 + (-4x3) + 7

thức với biến x. Đó là những ví

Tương tự:

dụ về đa thức một biến.

B = 2x + (-3x ) + x + 1
4

2

Vậy đa thức một biến là gì?

Khái niệm:

 Đa thức một biến (đa thức) là tổng của những
đơn thức cùng một biến; mỗi đơn thức trong
tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó.
 Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa
thức không.

Chú ý

Một đơn thức cũng là một đa thức.

Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa.
Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn.
Ví dụ:
A = A(x) = 6x3 - 5x2 - 4x3 + 7

Mỗi số thực có phải là
một đa thức không?
Tại sao?

Mỗi số thực là một đơn
thức, mà một đơn thức
cũng là một đa thức nên
mỗi số thực là một đa thức.

Ví dụ 1

Đa thức 2x3 – 5x2 + 7 có ba hạng tử
là 2x ; -5x và 7.
3

2

Áp dụng kiến thức đã học, hoàn thành Luyện tập 2.
Luyện tập 2
Hãy liệt kê các hạng tử của đa thức B = 2x4 – 3x2 + x + 1
Kết quả
Đa thức B có 4 hạng tử: 2x4; -3x2; x và 1.

3. Đa thức một biến thu gọn
Quan sát các biểu thức và trả lời câu hỏi:

A = 6x3 – 5x2 - 4x3 + 7

B = 2x4 - 3x2 + x + 1

Em hãy nêu nhận xét về các đơn thức cùng bậc trong A và B.
 Trong đa thức A có hai đơn thức cùng bậc là 6x3 và -4x3.
 Trong đa thức B không có hai đơn thức nào cùng bậc.
Kết luận: Đa thức thu gọn là các đa thức không chứa
hai đơn thức nào cùng bậc.

Đọc hiểu và hoạt động nhóm đôi hoàn thành Ví dụ 2.
Ví dụ
2

Thu gọn đa thức A = 6x3 – 5x2 - 4x3 + 7
Giải
A = 6x3 - 5x2 - 4x3 + 7
= 6x - 4x – 5x + 7

Đổi chỗ hai đơn thức

= (6x - 4x ) - 5x + 7

Nhóm hai đơn thức bậc 3

= 2x3 – 5x2 + 7

Cộng hai đơn thức cùng bậc

3

3

3

2

3

2

HS tự hoàn thành bài Luyện tập 3 vào vở cá nhân.
Luyện tập 3

Thu gọn đa thức: P = 2x3 - 5x2 + 4x3 + 4x + 9 + x
Giải
P = 2x - 5x + 4x + 4x + 9 + x
3

2

3

= (2x + 4x ) - 5x + (4x + x) + 9
3

3

2

= 6x3 - 5x2 + 5x + 9

4. Sắp xếp đa thức một biến
Cho đa thức P:
P = 5x - 2x + 1 – 3x
2

4

Đa thức trên đã được thu gọn chưa? Em có
nhận xét gì về vị trí sắp xếp các hạng tử (biến
của chúng có theo một thứ tự nào không?)

Sắp xếp các hạng tử của đa thức P = 5x 2 - 2x + 1 - 3x4 theo
lũy thừa giảm của biến, ta được P = -3x + 5x - 2x + 1.
4

2

Trong đa thức P, ta thấy có các đơn thức bậc 4 và bậc 2,
nhưng khuyết đơn thức bậc 3. Tuy nhiên khi cần, ta cũng
có thể viết:
P = - 3x4 + 0x3 + 5x2 – 2x + 1.
Ở đây, ta coi rằng hệ số của lũy thừa bậc 3 là 0.

HS trao đổi, hoàn thành Luyện tập 4 vào vở
Luyện tập 4

cá nhân, sau đó kiểm tra chéo:
Thu gọn (nếu cần) và sắp xếp mỗi đa thức sau
theo lũy thừa giảm của biến:

a) A = 3x - 4x + x
4

3

b) B = -2x3 - 5x2 + 2x3 + 4x + x2 - 5
c) C = x5 - x3 + x - x5 + 6x2 - 2

Giải
a) A = 3x - 4x4 + x3

b) B = -2x3 - 5x2 + 2x3 + 4x + x2 - 5

= -4x4 + x3 + 3x

= (-2x3 + 2x3) + (-5x2 + x2) + 4x - 5
= -4x + 4x - 5
2

c) C = x5 - x3 + x - x5 + 6x2 - 2
= (x - x ) - x + 6x + x - 2
5

5

3

= - x3 + 6x2 + x - 2

2

Chú ý

Người ta cũng có thể sắp xếp đa thức
theo lũy thừa tăng của biến.

VD: Ta có thể sắp xếp các hạng tử của đa thức P trên
đây như sau:
P = 1 - 2x + 5x2 - 3x4

5. Bậc và các hệ số của một đa thức
Bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của một đa thức

P = -3x + 5x - 2x + 1.
4

HĐ1

2

Trong P, bậc của hạng tử 5x2 là 2 (số mũ của x2).
Hãy xác định bậc của các hạng tử trong P.
Giải

• Bậc của hạng tử là 4.

• Bậc của hạng tử 2x là 1.

• Bậc của hạng tử là 2.

• Bậc của hạng tử 1 là 0.

5. Bậc và các hệ số của một đa thức
Bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của một đa thức

P = -3x + 5x - 2x + 1.
4

HĐ2

2

Trong P, hạng tử nào có bậc cao nhất? Tìm hệ số và
bậc của hạng tử đó.
Giải

Trong P, hạng tử có bậc cao nhất.
Hạng tử có hệ số là –3 và bậc là 4.

HĐ3

Trong P, hạng tử nào có bậc bằng 0?

Hạng tử 1

KẾT LUẬN
Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không:
 Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc
của đa thức đó.
 Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ
số cao nhất của đa thức đó.
 Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi hệ số tự do của
đa thức đó.

Chú ý

 Đa thức không là đa thức không có bậc.
 Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải
khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0).
 Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta
phải thu gọn đa thức đó.
Một số khác 0 cũng là một đa thức. Vậy bậc của nó
bằng bao nhiêu?
Bậc của nó bằng 0.

HS tự làm bài Ví dụ 3 (SGK-tr28)
Ví dụ
3

Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức
P = -x3 - 2x2 + x3 + 4x + 5.
Giải

P = -x3 - 2x2 + x3 + 4x + 5.
= (-x3 + x3) - 2x2 + 4x + 5
= -2x2 + 4x + 5

Gọi 5 là hệ số tự do vì trong P,
hạng tử 5 không chứa biến.

Luyện tập 5
Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:
a) 5x - 2x +1 - 3x
2

4

b) 1,5x - 3,4x + 0,5x - 1.
2

4

2

• Hạng tử có bậc cao nhất

• Hạng tử có bậc cao nhất

là -3x4, bậc của nó là 4,

là -3,4x4, bậc của nó là 4,

hệ số là -3.

hệ số là -3,4.

• Hệ số tự do là 1.

• Hệ số tự do là -1.

6. Nghiệm của đa thức một biến
Giá trị và nghiệm của một đa thức
Trao đổi nhóm 3 - 4HS, thực hiện lần lượt HĐ4, HĐ5
Xét đa thức G(x) = x - 4. Giá trị của biểu thức G(x) tại x = 3
2

còn gọi là giá trị của đa thức và được kí hiệu là G(3).
G(3) = 32 – 4 = 5
HĐ4

Tính các giá trị G(−2); G(−1); G(0); G(1); G(2).

HĐ5

Với giá trị nào của x thì G(x) có giá trị bằng 0?

6. Nghiệm của đa thức một biến
Giá trị và nghiệm của một đa thức
G(x) = x2 - 4.
HĐ4
Giải

Tính các giá trị G(−2); G(−1); G(0); G(1); G(2).
G(-2) = (-2)2 - 4 = 0
G(-1) = (-1)2 - 4 = -3
G(0) = (0)2 - 4 = -4

HĐ5

G(1) = (1)2 - 4 = -3
G(2) = (2)2 - 4 = 0

Với giá trị nào của x thì G(x) có giá trị bằng 0?

Từ kết quả của HĐ4, ta thấy với giá trị x = 2 và x = -2 thì G(x) = 0

Nếu tại x = a, đa thức F(x) có giá trị bằng 0, tức là

KẾT LUẬN

F(a) = 0, tức F(a) = 0, thì ta gọi a (hoặc x = a) là
một nghiệm của đa thức F(x).

HS đọc hiểu, áp dụng kiến thức trình bày Ví dụ 4:

Ví dụ
4

a) x = -3 và x = 0 là hai nghiệm của đa thức A(x) = 2x 2 + 6x
vì A(0) = 0 và A(-3) = 2.(-3)2 + 6.(-3) = 0
b) Đa thức B(x) = x2 + 1 không có nghiệm vì tại giá trị bất kì
của x, ta luôn có x2 0 nên B(x) = x2 + 1 1 > 0.

Chú ý

Một đa thức có thể không có
nghiệm hoặc có nhiều nghiệm.

Nhận xét
Nếu một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x = 0 là một
nghiệm của đa thức đó.
Chẳng hạn, trong ví dụ trên cho thấy đa thức A(x) = 2x + 6x
2

có hệ số tự do bằng 0 và có nghiệm x = 0.

Luyện tập 6

1. Tính giá trị của đa thức F(x) = 2x2 - 3x - 2 tại x
= −1; x = 0; x = 1; x = 2. Từ đó hãy tìm một nghiệm
của đa thức F(x).

Giải

2. Tìm nghiệm của đa thức E(x) = x2 + x.

1. Tính giá trị:
F(-1) = 2.(-1)2 - 3.(-1) - 2 = 3;

F(1) = 2.1 - 3.1 - 2 = -3;

F(0) = 2.(0)2 - 3.(0) - 2 = -2;

F(2) = 2.22 - 3.2 - 2 = 0;

2

⇒ Một nghiệm của đa thức F(x) là 2.

2. Tìm nghiệm của đa thức E(x) = x + x.
2

Vì đa thức E(x) có hệ số tự do bằng 0 nên có một
nghiệm là x = 0
x = 0 và x = -1 là nghiệm của đa thức E(x) vì:
E(0) = 02 + 0 ; E(-1) = (-1)2 + (-1) = 0
Nghiệm của đa thức E(x) là 0 và -1.

Vận dụng

Thảo luận, thực hiện Vận dụng để hoàn thành
tình huống ban đầu.

Trở lại bài toán mở đầu, hãy thực hiện các yêu cầu sau:
a) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do
của đa thức H(x) = −5x2 + 15x.
b) Tại sao x = 0 là một nghiệm của đa thức H(x)?
Kết quả đó nói lên điều gì?
c) Tính giá trị của H(x) khi x = 1; x = 2 và x = 3 để tìm nghiệm khác 0 của
H(x). Nghiệm ấy có ý nghĩa gì? Từ đó hãy trả lời câu hỏi của bài toán.

Giải
a) Trong đa thức , hạng tử

có bậc cao

nhất.
Hạng tử có hệ số là –5 và bậc là 2.
Hệ số tự do trong đa thức là 0.
b) là một nghiệm của đa thức vì tại , đa thức ta được giá trị của
bằng 0.
Kết quả đó nói lên: 0 là một nghiệm của đa thức .

c) H(1) = −5. 12 + 15. 1 = 10
    H(2) = −5. 22 + 15. 2 = 10
    H(3) = −5. 32 + 15. 3 = 0
Kết luận:
• Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời gian là 1 giây, thì
độ cao của vật là 10m.
• Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời gian là 2 giây, thì
độ cao của vật là 10m.
• Khi ném vật từ một điểm trên mặt đất sau thời gian là 3 giây, thì
vật rơi trở lại mặt đất (0m).

LUYỆN TẬP
HOẠT ĐỘNG NHÓM:
Hoàn thành BT7.5 + 7.6 + 7.7 (SGK-tr30)
Bài 7.5
a) Tính .(−4x ). Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.
2

b) Tính −. Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

Giải
a)
• Hệ số: -2a
• Bậc: 5
b)
• Hệ số: -2
• Bậc: 6

Bài 7.6
Cho hai đa thức:
A(x) = x3 + x – 7x4 + x – 4x2 + 9
B(x) = x5 – 3x2 + 8x4 – 5x2 – x5 + x – 7
a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm của biến.
b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.

Giải

A(x) = x3 + x – 7x4 + x – 4x2 + 9
= -7x4 + x3 - 4x2 + ( x + x) + 9
= -7x4 + x3 - 4x2 + 2x + 9

B(x) = x5 - 3x2 + 8x4 - 5x2 - x5 + x - 7
= (x5 - x5) + 8x4 + (-3x2 - 5x2) + x- 7
= 8x4 - 8x2 + x - 7

Bậc cao nhất: 4

Bậc cao nhất: 4

    Hệ số cao nhất: -7

    Hệ số cao nhất: 8

    Hệ số tự do: 9

    Hệ số tự do: -7

Bài 7.7

Cho hai đa thức:

 P(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – 2x4 – 4x3 
 Q(x) = 3x – 4x3 + 8x2 – 5x + 4x3 + 5
a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo luỹ thừa giảm
của biến.
b) Sử dụng kết quả câu a để tính P(1), P(0), Q(−1) và Q(0).

Giải

a) P(x) = (2x4 − 2x4) + (5x3 − x3 − 4x3) + (−x2 + 3x2) = 2x2
Q(x) = 3x − 4x3 + 8x2 − 5x + 4x3 + 5
    

= (−4x + 4x ) + 8x + (3x − 5x) + 5

    
b)

= 8x − 2x + 5

3

3

2

2

P(1) = 2.12 = 2

Q(−1) = 8.(−1)2 − 2.(−1) + 5 = 15

P(0) = 2.0 = 0

Q(0) = 8.02 − 2. 0 + 5 = 5

2

TRÒ CHƠI
EM TẬP LÀM THỦ MÔN

Câu 1: Đa thức nào dưới đây là đa thức một biến?
A. x2 + y + 1

B. x2 - + x

C. x + x2 – 3z

D. xyz – yz + 3

Câu 2: Sắp xếp đa thức -y  + y  - 3y  + 8y  - y theo lũy thừa tăng dần của
biến ta được:
4

7

2

5

A. -y – 3y2 - y4 + 8y5 + y7

B. -y – 3y2 + y4 + 8y5 + y7

C. y – 3y - y + 8y + y

D. y – 3y2 - y4 + 8y5 + y7

2

4

5

7

Câu 3: Hệ số cao nhất của đa thức 5x6 + 6x5 + x4 - 3x2 + 7 ?
A. 6

B. 7

C. 4

D. 5

Câu 4: Cho a, b, c là hằng số, hệ số tự do của đa thức
x2 + (A + B)x - 5a + 3b + 2 là
A. 5a + 3a + 2

B. -5a + 3a + 2

C. 2

D. 3b + 2