Sở GD&ĐT QUẢNG TRỊ
TRƯỜNG THCS&THPT CỒN TIÊN

§6. ĐƯỜNG HYPEBOL
Giáo viên: ĐOÀN THỊ HÀ
TỔ TOÁN

GIỚI THIỆU
Đường hypebol là một đường quen
thuộc với chúng ta, chẳng hạn:
a
- Đồ thị hàm số y  là một đường
x
hypebol
- Vùng sáng hắt lên từ một đèn bàn,
vùng sáng này gồm hai mảng được
giới hạn bởi một phần của đường
hypebol

1.ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG HYPEBOL
ĐỊNH NGHĨA

Cho hai điểm cố định F1 , F2 có
khoảng cách F1F2 2c (c>0). Đường
hypebol(còn gọi là hypebol) là tập
hợp các điểm sao MF
cho
,
1  MF2 2a
trong đó a là số dương cho trước nhỏ
hơn c

1.ĐỊNH NGHĨA ĐƯỜNG HYPEBOL
ĐỊNH NGHĨA

Hai điểm F1 , F2 gọi là các tiêu điểm
của hypebol.
Khoảng cách F1F2 2c gọi là tiêu
cự của hypebol.
MF1 , MF2 gọi là các bán
kính qua tiêu của điểm M

2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL

Cho hypebol (H) có hai tiêu điểm F1 vàF2
Chọn hệ trục tọa độ 0xy có gốc là
trung điểm của đoạn thẳng
, trục 0y
F1 F2
là đường trung trực của
F1 F2 và
F2 nằm
trên tia 0x.
y

F2

F1
O

x

2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL

Cho M(x,y)  (H). Hãy tính biểu
thức MF12  MF22 ?

2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA
HYPEBOL

Ta
 có:

MF1 ( c  x, y )  MF12 (c  x) 2  y 2

MF2 (c  x, y )  MF22 (c  x)2  y 2

Do đó:
2
2
2
2
2
2
2
2
MF1  MF2 c  2cx  x  y  (c  2cx  x  y )
4cx

Sử dụng giả thiết MF1  MF2 2a ,hãy
tính các bán kính qua tiêu MF1, MF2

2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL

Ta có: MF12  MF22 4cx
 MF1  MF2 . MF1  MF2  4cx

2cx
 MF1  MF2 
a

Khi x > 0 ta có
Khi x < 0 ta có
Từ đó suy ra

2cx

 MF1  MF2 
a

 MF1  MF2 2a
2cx

 MF1  MF2 
a

 MF1  MF2  2a

cx
cx
MF1  a  ; MF2  a - .
a
a

2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL

Ta có:

cx
MF1  ( x  c)  y  a 
a
2

2

 cx 
 ( x  c)  y  a  
a

2

2

2

 c2  2
  1  2  x  y 2 a 2  c 2
 a 

2

2

x
y
 2  2
1
2
a
a  c
2

2

2

Do a  c  0 nên ta đặt: a  c  b
2
2
2
hay b c  a b  0 
2

2

Ta được:

2

2

x
y
 2 1
2
a
b

2. PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL

2

2

x
y


1
(a>0,
b>0)
2
2
a
b
*Phương trình (1) được gọi là phương
trình chính tắc của hypebol (H)

(1)

VÍ DỤ
Lập phương trình chính tắc của hypebol (H)
a) Có tiêu điểm F1  5, 0 và đi qua M 4, 0 

b) Có tiêu điểm F2 2, 0 và đi qua A(3, 0)

GIẢI
2
2
x y
a)ptct (H) có dạng:
 2 1 a  0, b  0 
2
a b
(H) có tiêu điểm F1  5,0   c 5

16
(H) đi qua điểm M 4,0  
1
2
a2
 a 16
2
2
2
2
Ta có b c  a  b 25  16 9
2

2

x
y
Vậy (H):

1
16 9

GIẢI
2
2
x y
b)ptct (H) có dạng:
 2 1 a  0, b  0 
2
a b
(H) có tiêu điểm F2 2, 0   c 2
(H) đi qua điểm

A 3, 0 

9
 2 1
a2
 a 9

 a 3
Ta thấy a>c nên ở đây không viết
được ptct của (H)

3.HÌNH DẠNG HYPEBOL

TÍNH ĐỐI XỨNG
GIAO ĐIỂM VỚI CÁC TRỤC TỌA ĐỘ
TÂM SAI
HÌNH CHỮ NHẬT CƠ SỞ
ĐƯỜNG TIỆM CẬN

TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA HYPEBOL

x2 y2
Cho (H): 2  2 1
a
b

a  0,

b  0

(H) nhận các trục tọa độ làm trục đối xứng,
nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

GIAO ĐIỂM (H) VỚI CÁC TRỤC TỌA ĐỘ
2

2

x
y
Cho (H): 2  2 1
a
b

a  0,

b  0

y

b
-a

O

a
F 2(c;0)

F 1(-c;0)

-b

Trục ox trục thực
Trục oy trục ảo
A1 A2 2a độ dài trục thực
2b độ dài trục ảo

(H) cắt trục ox tại 2 điểm A1  a, 0 , A2 a, 0 
và không cắt trục oy.
A1  a, 0 , A2 a, 0  hai đỉnh của (H)

TÂM SAI CỦA HYPEBOL
2

2

x
y
Cho (H): 2  2 1 a  0, b  0 
a
b
Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục thực là
tâm sai của hypebol (H), kí hiệu là e

c
e
a
* Do 01

HÌNH CHỮ NHẬT CƠ SỞ
2

2

x
y
Cho (H): 2  2 1
a
b
y

A

(-a;0)

F1
D

(0;b)

O

(0;-b)

a  0,

b  0

B

(a;0)

x
F2

C

ABCD là hình chữ nhật cơ sở của (H)

TIỆM CẬN CỦA HYPEBOL
2

2

x
y
Cho (H): 2  2 1
a
b
y

A

(-a;0)

F1

D

(0;b)

O

(0;-b)

a  0,

b  0

B

(a;0)

x
F2

C

Hai đường thẳng chứa hai đường
chéo của hình chữ nhật cơ sở gọi
là hai tiệm cận của (H)
b
y  x
*Pt 2 đường tiệm cận
a

TIỆM CẬN CỦA HYPEBOL
2

2

x
y
Cho (H): 2  2 1
a
b

a  0,

y

b  0

H

1
F1

O

M

x

F2

Khi M trên (H) càng xa gốc tọa độ
thì khoảng cách từ điểm đó đến một
trong hai đường tiệm cận càng nhỏ
đi.

VÍ DỤ
2

2

Cho (H): 4 x  9 y 36
Xác định tọa độ tiêu điểm, các đỉnh, tâm
sai, độ dài trục thực, độ dài trục ảo của (H)

2

GIẢI
2

Ta có (H): 4 x  9 y 36
2

Ta có:

2

x
y


1
4
2 9

a 9  a 3
2
b2 4 2  2b 2

Ta có:c  a  b 13  c  13
(H) có tiêu điểm F1  13;0 , F2 13;0
các đỉnh: A1  3;0 , A2 3;0 
13
tâm sai: e 
3
độ dài trục thực: 2a 6
độ dài trục ảo: 2b 4



 



CỦNG CỐ
Bán kính qua tiêu

MF1

cx
cx
| a  | ,MF2 | a  |
a
a
Tiêu điểm
F1(-c, o) F2(c,o)

Độ dài trục thực
2a

Độ dài trục ảo
2b

(H )

2

2

x
y
 2 1
2
a
b

Tiêu cự
F1F2=2c

Pt tiệm cận

b
y  x
a

Pt các cạnh hình chữ nhật cơ
sở

x = ± a; y = ± b

Tâm sai

c
e
a