CHÀO MỪNG CẢ LỚP
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Đối với các nút giao thông cùng mức hay khác mức, để có thể dễ dàng bố trí
các nhánh rẽ và để người tham gia giao thông có góc nhìn đảm bảo an toàn, khi
thiết kế người ta đều cố gắng để các tuyến đường tạo với nhau một góc đủ lớn
và tốt nhất là góc vuông.
Đối với nút giao thông cùng mức, tức là các
đường giao nhau, thì góc giữa chúng là góc giữa
hai đường thẳng mà ta đã biết. Còn đối với nút
giao khác mức, tức là các đường chéo nhau, thì
góc giữa chúng được hiểu thế nào? Bài học này
sẽ đề cập tới đối tượng toán học tương ứng.

CHƯƠNG VII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 22. HAI ĐƯỜNG THẲNG
VUÔNG GÓC

NỘI DUNG BÀI HỌC
01

Góc giữa hai đường thẳng

02

Hai đường thẳng vuông góc

01

GÓC GIỮA HAI
ĐƯỜNG THẲNG

HĐ 1

Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau và . Từ hai điểm phân
biệt tuỳ ý lần lượt kẻ các cặp đường thẳng và tương ứng song song với
(H.7.2).

a) Mỗi cặp đường thẳng và có cùng thuộc một mặt phẳng
hay không?
b) Lấy các điểm (khác ) tương ứng thuộc . Đường thẳng
qua song song với cắt tại , đường thẳng qua song song
với cắt tại . Giải thích vì sao là các hình bình hành.
c) So sánh góc giữa hai đường thẳng

và góc giữa hai

đường thẳng
(Gợi ý: Áp dụng định lí côsin cho các tam giác ).

Giải
a) Mỗi cặp và đều có điểm chung nên đồng
phẳng.
b)
Xét tứ giác có các cặp cạnh đối song song
hình bình hành.
Xét tứ giác có
là hình bình hành.

Giải
c) Ta có: hình bình hành
có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.
Từ đó, áp dụng định lí côsin cho hai tam
giác trên được các góc bằng nhau.

Kết luận
Góc giữa hai đường thẳng và trong không gian, kí hiệu , là góc
giữa hai đường thẳng và cùng đi qua một điểm và tương ứng
song song với và .

Chú ý:
- Để xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau và ta có thể lấy một điểm
thuộc đường thẳng và qua đó kẻ đường thẳng song song với .
Khi đó
- Với hai đường thẳng bất kì:

Nếu song song hoặc trùng với và song song hoặc
trùng với thì và có mối quan hệ gì?

Giải
Nếu song song hoặc trùng với và song song hoặc
trùng với thì

Ví dụ 1: Cho hình hộp có các mặt là các hình vuông. Tính các góc
Giải
+ Vì nên
+ Tứ giác có các cặp cạnh đối bằng nhau nên nó là một
hình bình hành.
Do đó, . Vậy
+ Tương tự, . Vậy
Tam giác có ba cạnh bằng nhau (vì là các đường chéo
của các hình vuông có độ dài cạnh bằng nhau) nên nó
là một tam giác đều.
Từ đó,

VẬN DỤNG
Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập,
được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì
quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông
vuông có cạnh dài khoảng 230 m,
các cạnh bên bằng nhau và dài
khoảng 219 m (kích thước hiện nay).
(Theo britannica.com).
Tính (gần đúng) góc tạo bởi cạnh
bên SC và cạnh đáy AB của kim tự
tháp (H.7.4).

Giải
Gọi là trung điêm của thì
Vì nên
Ta có:

02

HAI ĐƯỜNG THẲNG
VUÔNG GÓC

HĐ 2

Đối với hai cánh cửa trong
Hình 7.5, tính góc giữa hai
đường mép cửa BC và MN
Vì khuôn cửa và hai cánh cửa
là các hình chữ nhật nên
và
.

Kết luận
Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với
nhau, kí hiệu nếu góc giữa chúng bằng .

Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng thì
có vuông góc với các đường thẳng song song với
hay không?
Giải
Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng thì
có vuông góc với các đường thẳng song song với

Ví dụ 2: Cho hình hộp (H.7.6).
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng và .
b) Chứng minh rằng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi là một
hình thoi.
Giải
a) Hai đường thẳng và lần lượt thuộc hai mặt
phẳng song song và nên chúng không có điểm
chung, tức là chúng không thể trùng nhau hoặc cắt
nhau.
Tứ giác có hai cạnh đối và song song và bằng
nhau nên nó là một hình bình hành.

Ví dụ 2: Cho hình hộp (H.7.6).
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng và .
b) Chứng minh rằng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi là một
hình thoi.
Giải
Do đó song song với .
Mặt khác, không song song với nên không song
song với .
Từ những điều trên suy ra và chéo nhau.

Ví dụ 2: Cho hình hộp (H.7.6).
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng và .
b) Chứng minh rằng và vuông góc với nhau khi và chỉ khi là một
hình thoi.
Giải
b) Do song song với nên

Do đó, và vuông góc với nhau khi và chỉ khi và
vuông góc với nhau.
Do là hình bình hành nên vuông góc với khi và
chỉ khi là hình thoi.

LUYỆN TẬP
Cho tam giác vuông tại và một điểm nằm ngoài mặt phẳng . Lần lượt lấy các
điểm sao cho tương ứng là trung điểm của , (H.7.7). Chứng minh rằng và
vuông góc với nhau và chéo nhau.
Giải
Vì và
nên .
Nếu thì (vô lí).
Vậy nên chéo nhau.

LUYỆN TẬP

Bài 7.1 (SGK – tr.30)

Cho hình lăng trụ có các đáy là các tam
giác đều. Tính góc  

Giải
Vì nên

(do tam giác đều)

Bài 7.2 (SGK – tr.30)
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện
ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Giải

Vì hình hộp có các cạnh bằng nhau nên tứ giác là
hình thoi.
+) và nên
+) và nên
+) B'C // A'D và A'D nên
Vậy ta đã chứng minh được rằng tứ diện có các cặp
cạnh đối diện vuông góc với nhau.

Bài 7.3 (SGK – tr.30)

Cho tứ diện có 

a) Gọi tương ứng là trung điểm của . Chứng minh rằng vuông góc .
b) Gọi tương ứng là trọng tâm của các tam giác . Chứng minh rằng vuông góc với .

Giải
a) Xét tam giác có
tương ứng là trung điểm của
là đường trung bình của tam giác
mà
.

Bài 7.3 (SGK – tr.30)

Cho tứ diện có 

a) Gọi tương ứng là trung điểm của . Chứng minh rằng vuông góc .
b) Gọi tương ứng là trọng tâm của các tam giác . Chứng minh rằng vuông góc với .

Giải
b) Vì tương ứng là trọng tâm của các tam
giác nên

mà
.

Bắn Cung Tên

Câu 1. Trong không gian, cho đường thẳng và điểm . Qua có
bao nhiêu đường thẳng vuông góc với đường thẳng ?

Sai rồi

Đúng rồi
Vô số

3
Sai rồi

Sai rồi

1

2

Câu 2. Trong hình hộp có tất cả các cạnh đều bằng nhau.
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
Đúng rồi

Sai rồi
'

'

𝐴 𝐶 ⊥ 𝐵𝐷

'

𝐵 𝐵 ⊥ 𝐵𝐷
Sai rồi

Sai rồi

𝐴' 𝐵 ⊥𝐷 𝐶 '

𝐵𝐶 ' ⊥ 𝐴' 𝐷

Câu 3. Cho hình hộp có sáu mặt đều là hình vuông. Gọi lần lượt là trung điểm
của và . Góc giữa hai đường thẳng và bằng

Sai rồi

Sai rồi

45

∘

3 0∘

Đúng rồi
Sai rồi

6 0∘

12 0∘

Câu 4. Cho hình chóp có đáy ABCD là hình thoi. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của các cạnh SB và SD. Tính góc giữa AC và MN.

Sai rồi

Đúng rồi

60 °
Sai rồi
Sai rồi

45 °

120 °

Câu 5. Cho tứ diện có đôi một vuông góc với nhau và . Gọi là
trung điểm của (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường
thẳng và bằng:

Đúng rồi

Sai rồi

90

60

∘

∘

Sai rồi
Sai rồi

30

∘

45

∘

VẬN DỤNG

Bài 7.4 (SGK – tr.30)
Đối với nhà gỗ truyền thống, trong
các cấu kiện: hoành, quá giang, xà
cái, rui, cột tương ứng được đánh số
1, 2, 3, 4, 5 như trong Hình 7.8,
những cặp cấu kiện nào vuông góc
với nhau?

Giải:
Những cặp đường thẳng sau vuông góc
với nhau:
Hoành (1) và quá giang (2) ;
Hoành (1) và rui (4) ;
Hoành (1) và cột (5) ;
Quá giang (2) và xà cái (3) ;
Quá giang (2) và cột (5) ;
Xà cái (3) và rui (4) ;
Xà cái (3) và cột (5).

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
 Ghi nhớ kiến thức trong bài.
 Hoàn thành bài tập trong SBT.
 Chuẩn bị bài sau Bài 23. Đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng

CẢM ƠN CẢ LỚP
ĐÃ LẮNG NGHE!