Chào mừng cô và các bạn
đến với buổi học ngày hôm
nay ♥

I. ĐỊNH NGHĨA

Cấp số nhân, là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong
đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số
hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q.
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.
Công thức truy hồi:

un1 un .q n  *

Đặc biệt:
 Khi q=0 thì cấp số nhân có dạng (un): u1, 0, 0, … 0, …

 Khi q=1, thì cấp số nhân có dạng (un): u1, u1, u1, … , u1, …
 Khi u1= 0 thì với mọi q cấp số nhân có dạng : (un): 0, 0, 0,

Ví dụ: Chứng minh dãy hữu hạn sau: -3; 6; -12; 24; -48
là một cấp số nhân.
Giải: Ta thấy: u1 = -3
u2 = 6 = -3.(-2) = u1.(-2)
u3 = -12 = 6.(-2) = u2.(-2)
u4 = 24 = -12.(-2) = u3.(-2)
u5 = -48 = 24.(-2) = u4.(-2)
Vậy dãy trên là cấp số nhân với với công bội q = -2.

Ai nhanh hơn?
Tìm dãy số lập thành cấp số nhân
A.

2; 4; 6; 8; 10.

B.

4; 0; 0; …;0;...

C.

2; 4; 8; 10; 12; 14.

D.

-2;  6;  18;  54;  162.
Đáp án: B (q = 0), D (q = 3)
Bắt đầu

Đáp án

7

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

? (un ) là cấp số nhân với số hạng đầu tiên u1 , công bội q
Biểu diễn u2 , u3 , u4 , u5 ,..., un qua u1 , q
xq
xq
xq
xq

u1

u2 u1.q1

u3 u1.q 2
u4 u1.q 3

u5 u1.q 4

un u1.q

n 1

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

ĐL: Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q
thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức:
Ví dụ:
Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3 và
a) Hãy tính u7
b) Hỏi

là số hạng thứ mấy ?

Số hạt thóc ô thứ 20 là bao nhiêu?

Ta có dãy số: 1,2,4,8,16,… là
một cấp số nhân công sai q= 2.

 u20 u1.q19 1.219 524 288.

un u1.q

n 1

 u64 1.263 9 223372 037.109

III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ NHÂN
Đl: Cho cấp số nhân U(n). ĐặtSn

Khi đó :

Sn 

u1 1  q n 

u1  u2  u3  u4  ...  un , q 1

1 q

* Neáu q = 1 thì ta coù caáp soá nhaân u1 , u1,..., u1,… thì Sn =n.u1.
Ví dụ: Cho cấp số nhân u(n) vớiu

1

2, u2 8. TínhS10 .

III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA CẤP SỐ NHÂN

Sn 

u1 1  q n 
1 q

Ví dụ: Tính tổng

Đáp án

1 1 1
1
S  
 ...  10 .
3 9 27
3
T 1  2  4  ...  264.
1 1 1
1 1
1
S  
 ...  10  (1  10 ).
3 9 27
3
2
3
T 1  2  4  ...  264 264  1.

Tính tổng số hạt thóc nếu xếp đủ 64 ô trong bàn cờ vua ở đầu bài?

S 64

11  264 

264  1
1 2

Khối lượng tương đương 369 tỉ tấn!
Nếu đem rải đều lên bề mặt trái đất
thì sẽ được lớp thóc dày 9mm !
Nhà vua không đủ thóc để thưởng!

Thú vị giữa khổ giấy và cấp số nhân

Kích
A7: cỡ tiêu chuẩn quốc tế của giấy là một cấp số nhân với
74mm
công
bội là √2

Chiều
A6: rộng các khổ giấy theo chuẩn quốc tế

105mm
A5:
148mm
A4:
210mm
A3:
297mm
A2:
420,5mm

Ví dụ 3:
Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần.
a) Hỏi một tế bào sau 10 lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào ?
b) Nếu có 105 tế bào thì sau 2 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào ?

Tế bào Ecoli

I. Định nghĩa: un 1 un .q, n  N*

n 1
u

u
.
q
, n 2
1
II.Số hạng tổng quát: n

III.Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân:
u1 1  q n 
; q 1
Sn =
1 q
IV.Tính chất của cấp số nhân:

Cho d·y sè (un) víi un= 3n,
chän ph­¬ng ¸n ®óng:

20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
1
9
8
7
6
5
4
3
2

§
§

HÕt giê

A

D·ysè
sè(u
(unn))lµlµcÊp
cÊpsè
sènh©n
nh©nvíi
víiuu11=3,
=3,q=
q=3.3.
D·y

B

D·y sè (un) lµ cÊp sè nh©n víi u1=1, q=3.

C

D·y sè (un) lµ cÊp sè céng víi u1=3, d= 3.

D

Mét ®¸p sè kh¸c.

20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
1
9
8
7
6
5
4
3
2

HÕt giê

Cho cÊp sè nh©n (un) cã d¹ng khai triÓn lµ

§
§

2, -4, 8, …sè h¹ng thø 8 b»ng:
A

256.

B

-256. -256.

C

-512.

D

512.

20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
1Cho cÊp sè nh©n 2, x, 18. H·y chän kÕt qu¶ ®óng:
9
8
7
6
5
4
3
2

§
§

HÕt giê

A

x= 36.

B

x= -6,5.

C

x= -36.

D

x= 6. x= 6.

Hệ thống kiÕn thøc
Cấp số cộng

Định nghĩa

un+1=un+d

Số hạng tổng quát

C«ng sai d, nN*
un =u1+(n-1)d víi n2

Tính chất

Tính n số hạng
đầu tiên

uk  1  uk 1
víi k2
uk 
2
n(u1  u n )
víi nN*
2
n( n  1)
hay S nu1 
d
2
sn 

Cấp số nhân

un+1=un.q
C«ng béi q nN*

un =u.qn-1 víi n2

u 2k u k  1.u k 1
hay

, k 2

k  u k  1.u k 1

u1 (1  q n )
sn 
1 q
hay S nu1

, q 1
, q 1, n  N *

Tiết học đến đây là kết thúc
Cảm ơn cô và các bạn đã lắng
nghe!

Bài giải
Ban
đầu

Lần 1

Lần 2

Lần 3 …

E. Coli
E. Coli
E. Coli
E. Coli
E. Coli
E. Coli
E. Coli

U1=1,

U2=2,

Lần 10

E. Coli
E. Coli
E. Coli
E. Coli
E. Coli
E. Coli
E. Coli
E. Coli

U3=4,

U4=8

U11?=?

Ứng dụng thú vị khác của
cấp số nhân
B«ng tuyÕt Vonkoch

H×nh häc: H×nh häc Fractal

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN
Ví dụ: a) Cho cấp số nhân (un) có u1 = 3, q = 2.
Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số.
b) Có nhận xét gì về giá trị Giải
của u22 với tích u1.u3 ' u32 với tích u2.u4 ?,

a)

u( n ) 3, 6,12, 24, 48

b)

u1.u3 3.12 36 6 2 u22
u2 .u4 6.24 144 12 2 u32

Nếu tổng quát lên đối với số hạng thứ k trong một cấp số nhân
bất kỳ thì thế nào?

III. TÍNH CHẤT CÁC SỐ HẠNG CỦA CẤP SỐ NHÂN

Định lý 2:

uk2 uk  1.uk 1 , k 2

hay

uk  uk  1 .uk 1



2

b
a.c
a,b,c lập thành cấp số nhân

Ví dụ:
Cho 3 số: 2+ x; 2x; 3 – x theo thứ tự.Tìm x để 3 số trên lập thành cấp số nhân

Giải

Để 3 số trên lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi:

2 x 

2

 x  1
2  x .(3  x )  5 x 2  x  6 0  
 x 6
5


Chøng minh:
Sö dông c«ng thøc un u1.q

K- 1
1
n

víi k≥2, ta cã:

uk-1= u1.qk-2
uk+1= u1.qk
Suy ra

uk-1.uk+1 =

u12 .q 2 k  2

(u1.q k  1 ) 2 u k2 ( dpcm).

Nhân vế với vế
và rút gọn?
? 11

u1 = u1
u2 = u1.q
u3 = u2.q
…
un - 1 = un - 2.q
un = un - 1.q

?36u = u .qn – 1
n
1

Chứng minh

Giả sử (un ) là một CSN với công bội q 1
n  N * Đặt S n u1  u 2  ...  un
Ta có : q.S n q.u1  q.u2  ...  q.un  1  q.un
u2

Do đó :

 u3  ...  un  un 1

S n  q.S n (u1  u2  ...  u n )  (u 2  u 3  ...  u n  u n 1 )
u1  un 1
u1  u1.q n

 (1  q ).S n u1  u1.q n
u1.(1  q n )
 Sn 
1 q

(Đpcm)