NHIỆT LIỆT CHÀO ĐÓN
CẢ LỚP ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG
Quan sát hình ảnh sau:

Em hãy kể thêm một
số

hình

ảnh

của

Hình học không gian
trong thực tế.

Khối rubic

Bánh ít

Quả bóng

Bánh chưng

CHƯƠNG IV. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG

BÀI 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
TRONG KHÔNG GIAN

NỘI DUNG BÀI HỌC
I.
II.

Khái niệm mở đầu
Các tính chất thừa nhận của hình học
không gian

III.

Một số cách xác định mặt phẳng

IV.

Hình chóp và hình tứ diện

I. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
1. Mặt phẳng
 Điểm và đường thẳng là đối tượng cơ
bản của hình học phẳng. Từ điểm,
đường thẳng và quan hệ cơ bản giữa
chúng → xây dựng nên hình học phẳng.
 Với hình học không gian có ba đối tượng
cơ bản: điểm, đường thẳng, mặt phẳng.

HĐ1

Sân vận động Old Trafford (Hình 2) ở thành phố Manchester, có
biệt danh là “Nhà hát của những giấc mơ”, với sức chứa 75 635
người, là sân vận động lớn thứ hai ở Vương quốc Anh.
Quan sát Hình 2 và cho biết mặt
sân vận động thường được làm
phẳng hay cong.
Mặt sân vận động
được làm phẳng

Giới thiệu về hình ảnh của mặt phẳng trong không gian

Mặt phẳng không có bề dày và không có giới hạn:

Mặt phẳng (P) còn được viết tắt mp(P) hoặc (P).

Luyện tập 1

Nêu ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh
của một phần mặt phẳng.

Bảng treo tường

Mặt bàn

Nền nhà

Tấm gương phẳng

Bức tường

2. Điểm thuộc mặt phẳng
HĐ2

Quan sát Hình 1, nếu coi mặt sân Napoléon là một phần của
mặt phẳng (P) thì đỉnh của kim tự tháp có thuộc mặt phẳng
(P) hay không?

Đỉnh của kim tự tháp
không thuộc mặt phẳng (P).

Nhận xét:
Với mỗi điểm A và mp (P) chỉ xảy ra một trong hai khả năng:
 Điểm A thuộc mặt phằng (P), kí hiệu A ∈ (P).
Ta còn nói A nằm trong (hay nằm trên) mặt
phẳng (P) hay mặt phẳng (P) đi qua điểm A.
 Điểm A không thuộc mặt phẳng (P), A ∉(P).
Ta còn nói A nằm ngoài (P).

3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian
a) Khái niệm
Hình ảnh kim tự tháp có hình biểu diễn như sau:
Khái niệm:
Hình được vẽ trong mặt phẳng để
giúp ta hình dung được về một
hình trong không gian gọi là hình
biểu diễn của hình không gian đó.

3. Hình biểu diễn của một hình trong không gian
b) Quy tắc vẽ hình biểu diễn của hình trong không gian
1) Đường thẳng được biểu diễn bởi đường thẳng. Đoạn thẳng được
biểu diễn bởi đoạnt hẳng.
2) Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) được biểu diễn bởi
hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau).
3) Hình biểu diển giữ nguyên tính liên thuộc giữa điểm với đường
thẳng hoặc với đoạn thẳng.
4) Những đường nhìn thấy được vẽ bằng nét liền, những đường
không nhìn thấy được vẽ bằng nét đứt.

Ví dụ hình biểu diễn một số hình thường gặp:

Ví dụ 1

Dựa trên Hình 7, vẽ hình biểu diễn của hộp phấn
Giải
Hình biểu diễn của hộp phấn có thể vẽ
như Hình 8:

Luyện tập 2
Vẽ hình biểu diễn của mặt
phẳng (P) và đường thẳng
a xuyên qua nó.

Chú ý: Phần không nhìn thấy
được của đường thẳng a vẽ
bằng nét đứt.

Giải

II. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN CỦA HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Thảo luận nhóm đôi, thực hiện HĐ3, HĐ4, HĐ5
HĐ3

Quan sát Hình 9 và cho biết ta cần bao nhiêu điểm đỡ để giữ
cố định được xà ngang đó.

1

2

Giải
Cần có 2 điểm đỡ để giữ cố định
được xà ngang.

Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm
phân biệt cho trước

HĐ4

“Kiềng ba chân” là vận dụng bằng sắt, có hình vòng
cung được gắn ba chân, dùng để đặt nồi lên khi nấu
bếp. Bếp củi và kiềng ba chân là hình ảnh hết sức quen
thuộc với gia đình ở Việt Nam. Vì sao kiềng ba chân khi
đặt trên mặt đất không bị cập kênh?

Giải:

Vì ba điểm chân kiềng sẽ cùng nằm trên mặt phẳng là nền đất.

Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm
không thẳng hàng cho trước.

Ví dụ

Mặt phẳng qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng
được kí hiệu là mp(ABC) hoặc (ABC).

Lấy hai điểm trên mặt phẳng bảng, đặt thước qua hai điểm đó
và vẽ 1 đường thẳng. Khi đó mọi điểm của đường thẳng có
thuộc mặt phẳng bảng không?
Tính chất 3
Nếu một đường thẳng có hai
điểm phân biệt thuộc một mặt
phẳng thì mọi điểm của đường
thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.

Nhận xét:
Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A, B của mặt phẳng
(P) thì đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) hoặc (P) chứa d,
hoặc (P) đi qua d, thường được kí hiệu là d ⊂ (P) hoặc (P) ⊂ d.

Áp dụng tính chất để giải thích Ví dụ 2.
Ví dụ 2

Hình 13 minh họa người thợ đang kiểm tra độ phẳng của
mặt sàn nhà. Hãy cho biết người thợ kiểm tra độ phẳng của
mặt sàn nhà bằng cách nào?
Giải
Người thợ đặt thước dẹt dài lên mặt
sàn nhà ở các vị trí khác nhau. Nếu
thước đó luôn áp sát mặt sàn, không
bị cập kênh thì mặt sàn là phẳng.

Tính chất 4: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên
một mặt phẳng.

Ví dụ 3

Giải thích tại sao:

a) Chân máy ảnh có thể đặt ở hầu hết các loại
địa hình mà vẫn đứng vững.
b) Bàn ghế bốn chân thường hay bị cập kênh

HĐ5

Hình 15 mô tả một phần của phòng học. Nếu coi bức tường chứa
bảng và sàn nhà là hình ảnh của hai mặt phẳng thì giao hai mặt
phẳng đó là gì?
Giải
Giao giữa bức tường với nền
nhà là một đường thẳng.

Tính chất 5: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm
chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất
chứa tất cả các điểm chung của hai phẳng đó.
Chú ý
Đường thẳng chung d (nếu có) của hai
mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) được gọi
là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
Kí hiệu d = (P) ∩ (Q).

Ví dụ 4

Trong mặt phẳng (P), cho hình bình hành ABCD, ngoài mặt
phẳng (P) cho một điểm S. Hãy xác định:

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SCB) và (SCD);
b) Giao điểm của mặt phẳng (SAC) và đường thẳng BD.
Giải
a) Vì S và C cùng thuộc hai mặt phẳng (SCB)
và (SCD) nên giao tuyến của hai mặt phẳng
(SCB) và (SCD) là đường thẳng SC.
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Khi đó, vì O là điểm thuộc mặt phẳng
(SAC) nên O là giao điểm của mặt phẳng (SAC) và đường thẳng BD.

Nhận xét: Cách tìm giao tuyến và giao điểm
 Có thể xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách tìm
hai điểm chung của chúng.
 Để tìm giao điểm của đường thẳng a và (P)
(giả thiết tồn tại) ta làm như sau: Chọn một
đường thẳng b, sao cho b ⊂ (P), tìm giao điểm
a ∩ b = M. Khi đó M là giao điểm cần tìm.

Luyện tập 3

Trong Ví dụ 4, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAC) và (SBD).
Giải

Ta có: AC cắt BD tại O nên O thuộc hai
mặt phẳng (SAC) và (SBD).
Mà S cũng thuộc hai mặt phẳng (SAC)
và (SBD).
Do đó: SO là giao tuyến của hai mặt phẳng.
Tính chất 6: Trên mỗi mặt phẳng, tất cả các kết quả đã biết
trong hình học phẳng đều đúng.

III. MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH MẶT PHẲNG
Em hãy suy nghĩ và dự đoán cho câu hỏi:

Trong hình học phẳng, đường thẳng xác
định khi biết ít nhất hai điểm phân biệt.
Vậy trong không gian, mặt phẳng xác định
khi có ít nhất những yếu tố nào?

Thảo luận nhóm đôi
HĐ6

Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Lấy hai điểm B và C
thuộc đường thẳng d (Hình 18).

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có đi
qua đường thẳng d hay không?
b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm A
và đường thẳng d?

Giải
a) Do nếu mặt phẳng đi qua hai điểm
của d thì sẽ d sẽ thuộc mặt phẳng đó.
Mà d đi qua B, C ∈ (ABC)
Nên mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C
sẽ đi qua đường thẳng d.
b) Có duy nhất một mặt phẳng đi qua điểm A và đường thẳng d.

Em hãy khái quát tính chất:

Định lí 1

Có bao nhiêu mặt phẳng

Cho điểm A không thuộc đường thẳng

qua điểm A và đường thẳng
d cho trước?

d. Khi đó, qua điểm A và đường thẳng
d có một và chỉ một mặt phẳng, kí hiệu
mp(A, d) hoặc (A, d).

HĐ7

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O. Lấy điểm A trên đường
thẳng a (A ≠ O), lấy điểm B trên đường thẳng b (B ≠ O).

a) Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, O có đi
qua hai đường thẳng a và b hay không?
 Mặt phẳng đi qua A, O nên đi qua đường thẳng a.
 Mặt phẳng đi qua B, O nên đi qua đường thẳng b.
b) Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua hai đường thẳng a và b?
Có một mặt phẳng đi qua hai đường thẳng a và b.

Định lí 2
Cho hai đường thẳng a và b cắt
nhau. Khi đó, qua a và b có một
và chỉ một mặt phẳng, kí hiệu
mp(a,b).

Vậy trong không gian, mặt phẳng xác định
theo những cách nào?
Mặt phẳng được xác định theo một trong ba cách sau:

1

Đi qua ba điểm không thẳng hàng.

2

Đi qua một đường thẳng và một điểm nằm
ngoài đường thẳng đó.

3

Đi qua hai đường thẳng cắt nhau.

Ví dụ 5
a) Cho điểm A không thuộc đường thẳng d. Trên d lấy 3 điểm B,
C, D đôi một khác nhau. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D
thuộc một mặt phẳng.
b) Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O. Đường thẳng c
không đi qua O và cắt các đường thẳng a, b. Chứng minh rằng
ba đường thẳng a, b, c cùng nằm trên một mặt phẳng.

Giải
a) Theo định lí 1, qua điểm A mà đường thẳng d có mặt
phẳng (). Do B, C, D d nên B, C, D (). Vậy bốn điểm A,
B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng.
b) Theo định lí 2, qua hai đường thẳng a, b có mặt
phẳng (). Giả sử đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b lần
lượt tại các điểm M, N. Vì c không đi qua O nên M khác N. Ta
có M ∈ a, N b nên M, N (). Suy ra c nằm trong mặt phẳng
().
Vậy ba đường thẳng a, b, c cùng nằm trong một mặt phẳng.

Luyện tập 4

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác ABC. Điểm D không thuộc
mặt phẳng (P). Hỏi qua hai đường thẳng AD và BC có xác
định được một mặt phẳng không?

Giải
Giả sử có mặt phẳng (α) đi chứa hai đường
thẳng AD và BC.
Khi đó A, B, C, D ∈ (α) mà A, B, C ∈ (P)
Suy ra mặt phẳng (α) trùng mặt phẳng (P),
nhưng điểm D không thuộc (P).
Suy ra mâu thuẫn.
Vậy AD và BC không xác định được một mặt phẳng.

IV. HÌNH CHÓP VÀ HÌNH TỨ DIỆN
1. Hình chóp
HĐ8

Thảo luận nhóm đôi

Hình 22 là hình ảnh của một hộp quà lưu niệm có dạng hình chóp tứ
giác đều S.ABCD. Quan sát Hình 22 và trả lời các câu hỏi:

a) Đỉnh S có nằm trong mặt phẳng (ABCD) hay không?
Đỉnh S không nằm trong mặt phẳng (ABCD).
b) Mỗi mặt phẳng của hộp quà lưu niệm có dạng hình gì?
Các mặt bên của hộp quà lưu niệm có dạng hình tam giác cân.
Mặt đáy của hộp quà lưu niệm có dạng hình vuông.

Quy ước
Khi nói đến tam giác, có thể hiểu là

1

hình gồm ba cạnh của nó hoặc là hình
gồm ba cạnh và các điểm nằm trong
tam giác đó.

Thế nào là hình chóp?

KẾT LUẬN
Trong mặt phẳng (P), cho đa giác
A1A2...An (n ≥ 3). Lấy một điểm S nằm
ngoài (P). Nối S với các đỉnh A1, A2,…, An
để được n tam giác SA1A2, SA2A3,…,
SAnA1. Hình gồm n tam giác đó và đa
giác A1A2...An được gọi là hình chóp và kí
hiệu là S. A1A2...An.

Chú ý
Trong hình chóp S. A1A2...An:
 Điểm S gọi là đỉnh;
 Đa giác A1A2...An gọi là mặt đáy;
 Các tam giác SA1A2, SA2A3,…, SAnA1 được gọi là các
mặt bên;
 Các đoạn thẳng SA1,SA2,…,SAn được gọi là các
cạnh bên;
 Các cạnh của mặt đáy được gọi là các cạnh đáy.
Ta gọi hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác,… lần lượt là hình chóp tam giác,
hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,…

Ví dụ 6

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC.

a) Xác định giao điểm của mặt
phẳng (DMN) với các đường
thẳng AB, SB.
b) Xác định giao tuyến của mặt
phẳng

(DMN)

với

các

phẳng (SAB) và (SBC).

mặt

Giải
a) Trong mặt phẳng (ABCD) có
DN cắt AB tại P. Vì P DN nên P
(DMN).
Do đó, P là giao điểm của mặt
phẳng (DMN) với AB.
Trong mặt phẳng (SAB) có MP cắt SB tại E. Vì E MP nên E (DMN).
Do đó, E là giao điểm của mặt phẳng (DMN) với SB.

Giải
b) Vì M và E cùng thuộc hai mặt
phẳng (DMN) và (SAB) nên giao
tuyến của hai mặt phẳng (DMN)
và (SAB) là đường thẳng ME.
Vì N và E cùng thuộc hai mặt phẳng (DMN) và (SBC) nên giao tuyến
của hai mặt phẳng (DMN) và (SAB) là đường thẳng NE.

Luyện tập 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và AD.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng
(CMN) với các đường thẳng AB, SB.
b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng
(CMN) với mỗi mặt phẳng (SAB) và
(SBC).

Giải
a)
Trong mặt phẳng (ABCD): Gọi giao điểm
của AB với NC là E. Mà NC ⊂ (CMN)
Suy ra E là giao điểm của AB và (CMN).
Trong mặt phẳng (SAB): Gọi F là giao điểm
của EM và SB.
Mà EM ⊂ (CMN)
Suy ra F là giao điểm của SB và (CMN).

b)
Ta có: M ∈ SA mà SA ⊂ (SAB) nên M ∈
(SAB);
M ∈ CM mà CM ⊂ (CMN) nên M ∈ (CMN).
Do đó M là giao điểm của hai mặt phẳng (SAB)
Ta
có:
và lại
(CMN).
AB ∩ CN = {E}; AB ⊂ (SAB); CN ⊂ (CMN).
Do đó E là giao điểm của hai mặt phẳng
(SAB) và (CMN).
 EM là giao tuyến của (SAB) và (CMN).

b)
Ta có: C ∈ SC mà SC ⊂ (SBC); C ∈ CM mà CM ⊂
(CMN). Do đó C là giao điểm của hai mặt phẳng
(SBC) và (CMN).
Ta lại có:
SB ∩ EM = {F}; SB ⊂ (SBC); EM ⊂ (CMN). Do đó F
là giao điểm của hai mặt phẳng (SBC) và (CMN).
CF là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và
(CMN).