Bài 3. Giải hệ phương
trình bậc nhất hai ẩn
Chương I. Đại số 9

Nội dung bài học
1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp
thế
2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp
cộng đại số
3. Tìm nghiệm của hệ hai phương trình
bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay
4. Giải bài toán bằng cách lập hệ
phương trình

1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.
Cho hệ phương trình:

{

¿ 𝑥 −2 𝑦 =1. ( 1 )
¿ −2 𝑥+ 3 𝑦= −1. ( 2 )

Thực hiện giải hệ phương trình này theo hướng dẫn
sau:
- Từ phương trình (1), hãy biểu diễn x theo y.
- Thế x được biểu diễn ở trên vào phương trình (2), để
nhận được một phương trình ẩn y.
- Giải phương trình ẩn y đó, rồi suy ra nghiệm của hệ.

Các bước giải.
Bước 1

Từ một phương trình
của hệ, ta biểu diễn ẩn
này theo ẩn kia, rồi
thế vào phương trình
còn lại của hệ để nhận
được một phương
trình một ẩn.

Bước 2
Giải phương trình
một ẩn đó rồi suy
ra nghiệm của hệ.

Ví dụ 1. Giải hệ
phương trình

{

¿3 𝑥+ 𝑦=3
¿−2 𝑥−3 𝑦=5

{

Lời giải

¿3 𝑥+ 𝑦=3
¿−2 𝑥−3 𝑦=5
¿ 𝑦=3−3 𝑥
¿−2 𝑥−3 ( 3−3 𝑥 ) =5
¿ 𝑦 =3 −3 𝑥
¿ 7 𝑥=14
¿ 𝑥=2
¿ 𝑦 =−3
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; -3)
hay ¿𝑥=2
¿ 𝑦 =−3

{

{
{

{

Lời giải

Ví dụ 2. Giải hệ
phương trình

{

¿2𝑥+
𝑦=1
𝑎¿
¿ 4 𝑥+2 𝑦=2

{
¿ 𝑦=1 −2 𝑥
{¿ 4 𝑥 +2 (1 −2 𝑥 )=2
¿ 𝑦 =1− 2 𝑥
{ ¿ 0 𝑥=0

𝑎¿ ¿2𝑥+ 𝑦=1
¿ 4 𝑥+2 𝑦=2

P. trình 0x = 0 có nghiệm đúng với mọi xR
Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm
Các nghiệm của hệ được viết như sau:
¿ 𝑥∈ℝ
¿ 𝑦 =1− 2 𝑥

{

Ví dụ 2. Giải hệ
phương trình

{

¿𝑥
−2
𝑦=4
𝑏¿
¿2𝑥 −4 𝑦=1

{

Lời giải

𝑏¿ ¿𝑥 −2 𝑦=4
¿2𝑥 − 4 𝑦=1

{
{

¿𝑥=2 𝑦+4
¿2 ( 2 𝑦+4 ) −4 𝑦=1
¿ 𝑥=2 𝑦+4
¿ 0 𝑦=−7

Phương trình 0y = -7 vô nghiệm
Vậy hệ phương trình vô nghiệm

Thực hành 1. Giải các hệ phương trình

{
{
{

¿
𝑥+2
𝑦=−2
𝑎¿
¿5 𝑥−4 𝑦=11
¿2
𝑥−
𝑦=−5
𝑏¿
¿−2 𝑥+ 𝑦=11
¿3
𝑥+
𝑦=2
𝑐¿
¿6 𝑥+2 𝑦=4

{

𝑎¿ ¿ 𝑥+2 𝑦=−2
¿5 𝑥−4 𝑦=11

{

¿𝑥=−2 𝑦 −2
¿5 ( −2 𝑦 −2 ) − 4 𝑦=11

{

{

¿ 𝑥=−2 𝑦 −2
¿−14 𝑦=21

¿ 𝑥=−2 𝑦 −2
3
¿ 𝑦=−
2

Vậy HPT có nghiệm
duy nhất là 1;− 3

( 2)

{

𝑏¿ ¿2 𝑥− 𝑦=−5
¿−2 𝑥+ 𝑦=11

{
¿ 𝑦=2𝑥+5
{ ¿0 𝑥=6

¿ 𝑦=2𝑥+5
¿−2 𝑥+2𝑥+5=11

Vậy hệ phương trình
vô nghiệm

{

𝑐¿ ¿3 𝑥+ 𝑦=2
¿6 𝑥+2 𝑦=4

{

{

¿ 𝑦=2−3𝑥
¿6 𝑥+2 ( 2− 3𝑥 )=4

¿ 𝑦=2−3 𝑥
¿0 𝑥=0
Vậy hệ phương trình có
vô số nghiệm.

2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
Cho hai hệ phương trình:

{

{

¿ 3 𝑥=6 ( 𝐼 ) ; ¿ 2 𝑥 − 𝑦=1 ( 𝐼𝐼 )
¿ 𝑥+ 𝑦=5
¿ 𝑥 +𝑦 =5

a) Giải hệ phương trình (I) và hệ phương trình (II) bằng phương
pháp thế. Có nhận xét gì về nghiệm của hai hệ này?
b) Bằng cách cộng từng vế hai phương trình của hệ (II), ta nhận
được một phương trình mới. Thay phương trình thứ nhất của
hệ (II) bằng phương trình mới đó. Có nhận xét gì về kết quả
nhận được?

Các bước giải
Bước1

Nhân hai vế của mỗi
phương trình với một
số thích hợp (nếu cần)
sao cho các hệ số của
một ẩn nào đó trong hai
phương trình của hệ
bằng nhau hoặc đối
nhau.

Bước 2

Cộng hay trừ
từng vế hai
phương trình
của hệ để được
một phương
trình một ẩn và
giải phương
trình đó.

Bước 3

Thế giá trị của ẩn tìm
được ở Bước 2 vào
một trong hai phương
trình của hệ đã cho để
tìm giá trị của ẩn còn
lại. Kết luận nghiệm
của hệ.

Ví dụ 3. Giải hệ
phương trình

{

¿2
𝑥−3
𝑦=−5
𝑎¿
¿ 𝑥+3 𝑦=11

{

¿2
𝑥
−
3
𝑦
=−5
𝑎¿
¿ 𝑥+3 𝑦 =11

{

Lời giải

¿ 3 𝑥=6
¿ 𝑥+3 𝑦=11

{

¿ 𝑥=2
¿2+3 𝑦=11

{

¿ 𝑥=2
¿ 𝑦 =3 Vậy hệ phương trình có

nghiệm duy nhất là (2; 3)

Ví dụ 3. Giải hệ
phương trình

{

Lời giải

𝑏 ¿ ¿ 3 𝑥+ 2 𝑦=7
¿ 2 𝑥 +3 𝑦=3

{

¿3
𝑥+2
𝑦=7
𝑏¿
¿2𝑥+3 𝑦=3

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (3;-1)

Thực hành 2. Giải các hệ phương trình

{

¿2
𝑥−5
𝑦=−14
𝑎¿
¿2 𝑥+3 𝑦=2

{

¿
4
𝑥+5
𝑦=15
𝑏¿
¿6 𝑥−4 𝑦=11

Vậy HPT có nghiệm
duy nhất là (-2;2)

(2 )

Vậy HPT có nghiệm duy nhất là 5 ;1

What kind of
presentation do
you think this is?

Vận dụng 1

Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b
đi qua hai điểm A(2;-2) và B(-1;3)

3. Tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm tay
Để tìm nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng máy tính cầm
tay ta thực hiện như sau:
• Ấn nút ON để khởi động máy
• Ấn nút MODE, màn hình máy sẽ hiện ra các dòng như hình

• Ấn nút 5, màn hình sẽ hiện ra các dòng:

• Ấn nút 1, rồi nhập các hệ số

Ví dụ 4. Tìm nghiệm của hệ phương trình sau bằng máy tính
cầm tay: ¿ 2𝑥+5 𝑦=− 4
¿−3 𝑥+ 𝑦=−11

{

- Ấn nút ON để khởi động máy.
- Ấn nút MODE, ấn nút 5, ấn nút 1, rồi nhập các hệ số như sau:
Màn hình hiện ra kết quả như sau:
Ấn

, kết quả như hình sau

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (3;-2)

Thực hành 3. Tìm nghiệm của các hệ phương
trình sau bằng máy tính cầm tay:

{

¿2𝑥−
𝑦=4
𝑎¿
¿3 𝑥+5 𝑦=−19

{

¿−3
𝑥+5
𝑦=12
𝑏¿
¿2 𝑥+ 𝑦=5

{

𝑎¿ ¿2 𝑥−5 𝑦=−14
¿2𝑥+3 𝑦=−2
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy
nhất là 1 ;− 50
13 13

(

)

{

¿
4
𝑥+5
𝑦=15
𝑏¿
¿6 𝑥−4 𝑦=11

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy
nhất là (1;3)

What kind of
presentation do
you think this is?

4. Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Hai lớp 9A và 9B có tổng số 82 học sinh. Trong dịp tết
trồng cây năm 2022, mỗi học sinh lớp 9A trồng được 3
cây, mỗi học sinh lớp 9B trồng được 4 cây nên cả hai
lớp trồng được tổng số 288 cây.
Gọi x, y lần lượt là số học sinh lớp 9A và lớp 9B ( 𝑥∈ℕ∗;𝑦 ∈ℕ∗ )
a) Từ dữ liệu đã cho, lập hai phương trình bậc nhất hai
ẩn biểu thị số học sinh của hai lớp và số cây trồng
được.
b) Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và cho biết
mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

Các bước giải
Bước 1

Lập hệ phương trình.
 Chọn hai ẩn biểu thị hai đại
lượng chưa biết và đặt điều kiện
thích hợp cho các ẩn.
 Biểu diễn các đại lượng liên quan
theo các ẩn và ca đại lượng đã
biết.
 Lập hệ hai phương trình bậc nhất
hai ẩn biểu thị mối quan hệ giữa
các đại lượng

Bước 2

Giải hệ phương trình nhận
được.

Bước 3

Kiểm tra nghiệm tìm
được ở Bước 2 có thoã
mãn điều kiện của ẩn
hay không rồi trả lời
bài toán

Ví dụ 5. Hai ngăn của
một kệ sách có tổng
cộng 400 cuốn sách.
Nếu chuyển 80 cuốn từ
ngăn thứ nhất sang
ngăn thứ 2 thì số sách
ở ngăn thứ hai gấp 3
lần số sách ở ngăn thứ
nhất. Tính số sách ở
mỗi ngăn lúc đầu.

Lời giải
Gọi x,y lần lượt là số sách ở ngăn thứ nhất, ngăn
thứ hai lúc đầu
Tổng số sách ở hai ngăn là 400 cuốn, nên ta có
phương trình: x + y = 400 (1)
Sau khi chuyển thì số sách ở ngăn thứ hai gấp 3
lần số sách ở ngăn thứ nhất, nên ta có phương
trình: y + 80 = 3(x - 80) (2)
¿ 𝑥+ 𝑦=400
Từ (1) và (2), ta có HPT

{
¿ 𝑦 + 80=3 ( 𝑥 −80 )
Giải HPT ta được {¿ 𝑥=180 (thoã mãn)
¿ 𝑦 =220

Vậy lúc đầu ngăn thứ nhất có 180 cuốn, ngăn thứ
hai có 220 cuốn.

Ví dụ 6. Cân bằng
phương trình hoá
học sau bằng
phương pháp đại số

𝑃 +𝑂 2 → 𝑃 2 𝑂5

Lời giải
Gọi x,y lần lượt là hệ số của và thoã mãn cân
bằng phương trình hoá học: 𝑥𝑃+ 𝑦 𝑂 2 → 𝑃 2 𝑂5
Cân bằng số nguyên tử P, số nguyên tử O ở hai
¿ 𝒙=𝟐
vế, ta được hệ

{¿ 𝟐 𝒚 =𝟓

5
Giải hệ phương trình này, ta được 𝑥=2 ; 𝑦 =
2

Được các hệ số tìm được vào phương trình hoá
học, ta được 2 𝑃+ 5 𝑂 → 𝑃 𝑂
2

2

2

5

Do các hệ số của phương trình hoá học phải là số
nguyên nên nhân hai vế phương trình hoá học
trên với 2, ta được

4 𝑃 +5𝑂 2 →2 𝑃 2 𝑂 5

Thực hành 4

Một mảnh vườn hình
chữ nhật có chu vi
64m. Nếu tăng chiều
dài thêm 2m và tăng
chiều rộng thêm 3m
thì diện tích tăng thêm
88m2. Tính chiều dài
và chiều rộng của
mảnh vườn đó.

Lời giải
Gọi x (m), y(m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của
mảnh vườn (x > 0;y > 0)
Chu vi mảnh vườn là 64m, nên ta có phương trình:
x + y = 32
Sau khi tăng chiều dài thêm 2m, tăng chiều rộng thêm
3m thì diện tích tăng 88m2
Nên ta có phương trình (x + 2 )(y+3) = xy + 88
Khai triển và rút gọn ta được phương trình: 3x + 2y = 82
Từ đó ta lập được hệ phương trình: ¿ 𝑥+ 𝑦=32

{¿3 𝑥+2 𝑦=82

Giải hệ phương trình ta được x = 18; y = 14
Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó lần lượt
là 18m và 14m

Thực hành 5
Cân bằng phương
trình hoá học sau
bằng phương pháp
đại số

𝑵𝑶+𝑶 𝟐 → 𝑵 𝑶𝟐

Lời giải
Gọi x,y lần lượt là hệ số của NO và thoã mãn cân
𝒙𝑵𝑶 +𝒚 𝑶 𝟐 → 𝑵 𝑶
bằng phương trình hoá học:
Cân bằng số nguyên tử N, số nguyên tử O ở hai vế,
ta được hệ

{

¿ 𝒙 =𝟏
¿ 𝒙 +𝟐 𝒚 =𝟐

𝟏
Giải hệ phương trình này, ta được: 𝒙 =𝟏 ; 𝒚 = 𝟐

Được các hệ số tìm được vào phương trình hoá học,
𝟏
ta được
𝑵𝑶 + 𝑶 → 𝑵 𝑶
𝟐

𝟐

𝟐

Do các hệ số của phương trình hoá học phải là số
nguyên nên nhân hai vế phương trình hoá học trên
với 2, ta được
𝟐 𝑵𝑶 + 𝑶 𝟐 → 𝟐 𝑵 𝑶 𝟐

Vận dụng 2

Tại một cửa hàng, chị An mua 1,2 kg
thịt lợn và 0,7 kg thịt bò hết 362 000
đồng; chị Ba mua 0,8kg thịt lợn và
0,5 kg thịt bò cùng loại hết 250 000
đồng. Làm thế nào để tính được giá
tiền 1kg mỗi loại thịt lợn và thịt bò.

CUỘC PHIÊU LƯU KÌ THÚ

GIỚI THIỆU – LUẬT CHƠI

Một hôm nhóm bạn động vật tổ chức đi biển chơi
Nhưng để lên được thuyền thì mỗi con vật phải vượt
qua 1 câu hỏi. Trả lời đúng sẽ được lên thuyền. Trả lời
sai sẽ phải ở lại.
Em hãy giúp nhóm bạn vượt qua các câu hỏi bằng
cách chọn các câu hỏi và trả lời đúng các câu hỏi
tương ứng nhé!

1

2

3

4

5

6

7

8

00:02
00:01
00:00
00:03
00:06
00:10
00:04
00:07
00:09
00:05
00:08
1. Tìm nghiệm hệ phương trình sau:

{

¿3 𝑥+ 𝑦=3
¿2𝑥 − 𝑦=7

HPT có nghiệm duy nhất (2;-3)

HPT có nghiệm duy nhất (-2;-3)

HPT có nghiệm duy nhất (2;3)

HPT có nghiệm duy nhất (-2;3)

00:02
00:00
00:01
00:03
00:06
00:10
00:04
00:07
00:09
00:05
00:08

2. Xác định a,b để đồ thị hàm số y = ax + b
đi qua hai điểm A(1;2) và B(3;8)

a = -3; b = -1

a = 3; b = 1

a = 3; b = -1

a = - 3; b = 1

00:02
00:00
00:01
00:03
00:06
00:10
00:04
00:07
00:09
00:05
00:08
3. Cân bằng phương trình hoá học sau:

𝐴𝑔+𝐶 𝑙2 → 𝐴𝑔𝐶𝑙

2 𝐴𝑔+𝐶 𝑙2 → 2 𝐴𝑔𝐶𝑙
𝐴𝑔+2 𝐶 𝑙2 → 2 𝐴𝑔𝐶𝑙

2 𝐴𝑔+2 𝐶𝑙 2 → 2 𝐴𝑔𝐶𝑙
2 𝐴𝑔+𝐶 𝑙2 → 𝐴𝑔𝐶𝑙

00:02
00:00
00:01
00:03
00:06
00:10
00:04
00:07
00:09
00:05
00:08
4. Tìm nghiệm hệ phương trình sau

{

¿ 𝑥− 𝑦=3
¿3 𝑥−4 𝑦=2

HPT có nghiệm duy nhất (10;-7)

HPT có nghiệm duy nhất (10;7)

HPT có nghiệm duy nhất (-10;7)

HPT có nghiệm duy nhất (-10;7)

00:02
00:00
00:01
00:03
00:06
00:10
00:04
00:07
00:09
00:05
00:08
5. Tìm nghiệm hệ phương trình sau

{

¿ 4 𝑥+ 𝑦=2
4
1
¿ 𝑥+ 𝑦 =1
3
3

Hệ phương trình vô số nghiệm

HPT có nghiệm duy nhất (4;1)

Hệ phương trình vô nghiệm

HPT có nghiệm duy nhất (4;2)

00:02
00:00
00:01
00:03
00:06
00:10
00:04
00:07
00:09
00:05
00:08

6. Xác định a, b để đồ thị hàm số y = ax + b
đi qua hai điểm A(2;1) và B(4;-2)
3
𝑎=−
; 𝑏=4
2
3
𝑎=
; 𝑏= 4
2

3
𝑎=−
; 𝑏=− 4
2
3
𝑎=
; 𝑏= − 4
2

00:02
00:00
00:01
00:03
00:06
00:10
00:04
00:07
00:09
00:05
00:08
7. Cân bằng phương trình hoá học sau bằng
phương pháp đại số

𝐶 𝑂 2+𝐶→𝐶𝑂

2 𝐶 𝑂2 +𝐶→ 2 𝐶𝑂

𝐶 𝑂 2+𝐶 → 2 𝐶𝑂

2 𝐶 𝑂2 +2 𝐶 → 2 𝐶𝑂

2 𝐶 𝑂2 +2 𝐶 → 𝐶𝑂

00:02
00:00
00:01
00:03
00:06
00:10
00:04
00:07
00:09
00:05
00:08
8. Cặp số (-2;-3) là nghiệm của hệ phương trình
nào sau đây?

{

¿2𝑥 −𝑦=−1
¿ 𝑥−3 𝑦=7

{

¿2𝑥 −𝑦=−1
¿ 𝑥−3 𝑦=8

{

¿ 𝑥−2 𝑦=3
¿2𝑥+𝑦=4

{

¿4 𝑥 −2 𝑦=0
¿ 𝑥−3 𝑦=5

HƯỚNG
DẪN VỀ

Ghi nhớ kiến thức trọng tâm
trong bài
Hoàn thành bài tập SGK

NHÀ
Chuẩn bị bài mới

CHƯƠNG I. ĐẠI SỐ

Cảm ơn các em
Đã theo dõi bài học
GV: ……………………….