CHÀO MỪNG CÁC EM ĐẾN
VỚI TIẾT HỌC MÔN TOÁN!

KHỞI ĐỘNG

Vào năm 1658, nhà toán học người Pháp Pierre de Fermat đã đưa ra một nguyên lí
cơ bản của quang hình học mà hiện nay gọi là nguyên lí Fermat (theo
britannica.com). Từ nguyên lí này có thể rút ra được các định luật cơ bản khác của
quang hình học như định luật phản xạ, định luật khúc xạ ánh sáng....

KHỞI ĐỘNG
Nguyên lí Fermat và ứng dụng của nó trong Vật lí là một ví dụ điển hình mô tả rõ tầm
quan trọng của bài toán tối ưu trong khoa học, kĩ thuật. Trong thực tiễn cuộc sống,
cũng có rất nhiều tình huống xuất hiện các bài toán tối ưu. Ví dụ như: một doanh
nhân muốn giảm thiểu chi phí và tối đa hoá lợi nhuận kinh doanh; một du khách
muốn giảm thiểu thời gian di chuyển,... Trong bài này, chúng ta sẽ vận dụng các kiến
thức về đạo hàm của hàm số để giải một số bài toán tối ưu trong thực tiễn, đặc biệt
là các bài toán tối ưu trong kinh tế.

CHUYÊN ĐỀ 2: ỨNG DỤNG TOÁN HỌC
ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ
BÀI TOÁN TỐI ƯU
BÀI 4: VẬN DỤNG ĐẠO HÀM
ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ
BÀI TOÁN TỐI ƯU

NỘI DUNG BÀI HỌC
1. Vận dụng đạo hàm để giải quyết
một số bài toán tối ưu trong
thực tiễn
2. Vận dụng đạo hàm để giải quyết
một số bài toán tối ưu trong
kinh tế

1. VẬN DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI QUYẾT
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU
TRONG THỰC TIỄN

HĐ: Một người đánh cá đang ở trên thuyền (vị trí A) cách bờ biển (điểm P) 2 km về phía đông
trên đường bờ biển thẳng theo phương bắc nam. Nhà anh ấy nằm bên bờ biển, cách vị trí điểm
P khoảng 6 km về phía bắc.
Anh ấy có thể chèo thuyền với vận tốc 3 km/h và đi bộ với vận tốc 5
km/h (giả sử vận tốc của dòng nước là không đáng kể so với vận
tốc mà người đánh cá chèo thuyền). Anh ấy dự kiến sẽ chèo thuyền
thẳng đến một điểm Q đâu đó trên bờ biển về phía bắc điểm P, với
0 ≤ PQ ≤ 6 (km), rồi đi bộ quãng đường còn lại để về nhà.
a) Hãy chọn các kí hiệu cho các đại lượng đã biết và đại lượng
chưa biết trong bài toán trên.
b) Tìm các mối quan hệ giữa các kí hiệu trong câu a.
c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến P rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?
d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm Q, rồi đi bộ về nhà thì hết bao nhiêu thời gian?

Giải:
a) Kí hiệu là quãng đường và vận tốc chèo thuyền của người đánh cá khi chèo
thuyền.
Kí hiệu là quãng đường và vận tốc của người đánh cá khi đi bộ dọc bờ biển.
Ta có .
Kí hiệu .
b) Ta có .
Vì tam giác vuông tại nên

Giải:
c) Nếu anh ấy chèo thuyền đến rồi đi bộ về nhà thì
.

Giải:
d) Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm rồi đi bộ về nhà thì ta có
.

Nếu anh ấy chèo thuyền đến điểm ở phía bắc điểm , với , rồi đi bộ

Các bước giải bài toán tối ưu bằng cách sử dụng đạo hàm
Bước 1. Hiểu vấn đề:
Cần xác định rõ: Điều chưa biết là gì? Các đại lượng đã cho là gì? Các điều kiện đã
cho là gì?
Bước 2. Giới thiệu kí hiệu:
Gán một kí hiệu cho đại lượng sẽ được cực đại hoá hoặc cực tiểu hoá (ví dụ: ,...).
Đồng thời chọn các kí hiệu cho các đại lượng chưa biết khác (ví dụ

Bước 3. Tìm mối quan hệ giữa các biến:
Thể hiện các thông tin của bài toán dưới dạng các biến số (chọn trong các kí hiệu từ
Bước 2). Sử dụng thông tin đã cho để tìm mối quan hệ (ở dạng phương trình) giữa
các biến này. Sau đó, sẽ biểu thị mối quan hệ đó dưới dạng một hàm số, chẳng hạn
như ). Tìm miền xác định của hàm số này.
Bước 4. Phát biểu bài toán:
Phát biểu lại bài toán dưới dạng bài toán tối ưu của hàm số (một biến số).
Bước 5. Giải quyết vấn đề:
Sử dụng các phương pháp tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số để
giải bài toàn tối ưu này (ví dụ sử dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số). Thể
hiện lời giải trong ngữ cảnh của bài toán thực tiễn.

Ví dụ 1. Xét bài toán ở HĐ1. Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a) Để có thể về nhà trong thời gian ngắn nhất, người đánh cá nên chèo thuyền đến điểm
cách điểm về phía bắc bao xa?
b) Nếu chiếc thuyền được gắn thêm động cơ và chạy với vận tốc 5 km/h thì anh ấy có thể
lựa chọn quãng đường đi ngắn nhất như thế nào?
Giải:
Kí hiệu là quãng đường người đánh cá chèo thuyền, là vận tốc chèo thuyền.
Kí hiệu là quãng đường người đánh cá đi bộ dọc bờ biển và là vận tốc đi bộ.
a) Vì điểm ở phía bắc điểm với (km), nên (km).
Do tam giác vuông tại nên
Từ HĐ1, ta có km/h, km/h.

Giải:

Tổng thời gian để chèo thuyền và đi bộ về nhà của người đánh cá là
Miền khảo sát của hàm số là
Chú ý rằng, nếu thì trùng với , nếu thì trùng với

Giải:
Đạo hàm của hàm là

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn,
ta có:

Giải:

Vậy để có thể về nhà trong thời gian ngắn nhất, anh ấy nên chèo thuyền đến điểm
Q cách P về phía bắc 1,5 km.

Còn nữa….
Có đủ bộ word và powerpoint đồng bộ nội dung
Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức
LH Zalo 0969 325 896
https://tailieugiaovien.edu.vn/subject_lesson/toan-12/