CHƯƠNG IX. QUAN HỆ GIỮA CÁC YẾU TỐ
TRONG MỘT TAM GIÁC
BÀI 35: SỰ ĐỒNG QUY CỦA BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC,
BA ĐƯỜNG CAO TRONG MỘT TAM GIÁC

NỘI DUNG BÀI HỌC

2. Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác

2. Sự đồng quy của ba đường cao trong một tam giác
• Đường cao của tam giác

Trong hình 9.42, đoạn thẳng AI kẻ từ đỉnh A, vuông góc với cạnh đối diện BC là một
đường cao của tam giác ABC. Ta còn nói AI là đường cao xuất phát từ đỉnh A (hay
đường cao ứng với cạnh BC).

?

Mỗi tam giác có mấy đường cao?
Trả lời:

Mỗi tam giác có 3 đường cao.

(Vì từ mỗi đỉnh của tam giác, ta kẻ được 1 đường cao của tam giác nên mỗi
tam giác có 3 đường cao).

Thảo luận
nhóm đôi

• Sự đồng quy của ba đường cao
HĐ 3: Vẽ tam giác ABC và ba đường cao của nó. Quan sát hình và cho biết,
ba đường cao đó có cùng đi qua một điểm không.
Trả lời:
Ba đường cao AN, BP, CM cùng đi
qua điểm H.

KẾT LUẬN
Định lí 2:
Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm.

Các đường cao AI, BJ, CK
đồng quy tại H.

CHÚ Ý
a) Điểm đồng quy của ba đường cao của một tam giác gọi là trực tâm của tam
giác đó.
b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC (H.9.44), ta có:
- Khi ABC là tam giác nhọn thì H nằm bên trong tam giác.

CHÚ Ý
- Khi ABC là tam giác vuông tại A thì H trùng với A (kí hiệu là H A)

-

Khi ABC là tam giác tù thì H nằm bên ngoài tam giác.

Ví dụ 2 (SGK – tr80)
Chứng minh trong tam giác đều, trực tâm của nó cách đều ba đỉnh của tam giác
Giải

ABC, AB = AC
GT

AI là đường trung tuyến

KL

AI là đường trung trực của cạnh BC.

Giải
Trong tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao Al.
Xét tam giác vuông ABI và ACI có:
AI chung

ABI = ACI

AB = AC (gt)

(cạnh huyền - cạnh góc vuông).
BI = CI.

Vậy đường cao AI là đường trung trực của cạnh BC.
Vì tam giác đều cũng là tam giác cân tại mỗi đỉnh nên ba đường cao cũng là
ba đường trung trực của nó.
Vậy trực tâm H của tam giác đều cũng là giao điểm của ba đường trung trực
nên nó cách đều ba đỉnh của tam giác.

LUYỆN TẬP 2
a) Chứng minh trong tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là
đường cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó
Giải
Kẻ đường trung trực của đoạn thẳng BC,
cắt BC tại D
Vì ∆ ABC cân (gt) ⇒ AB = AC (t/c tam giác cân)
⇒ A thuộc đường trung trực của cạnh BC (t/c)

Giải
⇒ AD là đường trung trực của BC.
Xét ∆ ADB và ∆ ADC, có:
AB = AC (t/c tam giác cân)
DB = DC (tính chất đường trung trực)
AD chung
∆ ADB = ∆ ADC (c.c.c)
  (2 góc tương ứng)

Giải
Mà  +  = 180o
  = = 90o
AD vuông góc với BC
AD là đường cao.
(*) AD là đường phân giác của tam giác ABC.
Vậy tam giác ABC cân tại A, đường trung trực của cạnh BC là đường
cao và cũng là đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của tam giác đó.

LUYỆN TẬP 2
b) Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba đỉnh cũng cách đều
ba cạnh của tam giác.
Giải
Giả sử G là điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác
ABC đều GA = GB = GC
Ta cần chứng minh: GM = GN = GP
(GM, GN, GP là khoảng cách từ G đến AB, BC, AC)

Giải
Xét ∆AGB và ∆ AGC, có:
AG chung
GB = GC (gt)
AB= AC (t/c tam giác đều)

 ∆AGB = ∆AGC
(c.c.c)

  = 
AG là đường phân giác của 
Tương tự ta có: CG là đường phân giác của 
G là giao điểm của 2 đường phân giác AG và CG
G cách đều 3 cạnh AB, AC, BC (t/c sự đồng quy của 3 đường phân giác)

CHÚ Ý
Trong tam giác cân tại A, đường cao xuất
phát từ đỉnh A đồng thời là đường trung
trực, đường phân giác, đường trung tuyến
của tam giác đó.

LUYỆN TẬP

Bài 9.26 (Tr81) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC không vuông.
Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HCA, HAB
Giải
Xét ΔABC có: H là trực tâm của Δ (gt)
AH ⊥ BC tại N, BH ⊥ AC tại P, CH ⊥ AB tại M
Trong ΔAHB, ta có:
       AC ⊥ BH tại P
       BC ⊥ AH tại N
Mà AC BC tại C

C là trực tâm của Δ AHB (t/c
trực tâm)

Giải
Trong ΔHAC, ta có:
       AB ⊥ CH tại M
       CB ⊥ AH tại N

B là trực tâm của ΔHAC

Mà AB CB tại B
Trong ΔHBC, ta có:
       BA ⊥ HC tại M
       CA ⊥ BH tại P
Mà BA CA tại A

A là trực tâm của ΔHBC

LUYỆN TẬP

Bài 9.27 (Tr81) Cho tam giác ABC có  = 100° và trực tâm H. Tìm góc BHC
Giải
Gọi E là chân đường cao từ C xuống AB,
D là chân đường cao từ B xuống AC
HC ⊥ BE tại E, HB ⊥ CD tại D
Ta có  +  = 180° (2 góc kề bù)
100° +  = 180°
 = 80°

Giải
∆ADB là tam giác vuông tại D
 +  = 90°
 =  90°-  80° =  10°
 = 10°
∆BEH là tam giác vuông tại E
 +   = 90°
 =  90°-  10° =  80°
  = 80°

Bài 9.28 (Tr81)

LUYỆN TẬP

Xét điểm O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu O
nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì ABC là một tam giác vuông
Giải
O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC
O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam
giác ABC
OA = OB = OC

Giải
 ∆OAB cân tại O    = 
      ∆OAC cân tại O  = 
Xét ∆ OAB ta có:  +  + =  180°
                        2  + =  180°
                      =  180° -  2 
Tương tự ta có  =  180° -  2 

Giải
O thuộc BC   + =  180°
                   180° -  2  + 180° -  2  = 180°
                  360° - 180° = 2 +  2  
                    

180° 

                    = 90°  
∆ ABC vuông tại A

=   2 ( +    )

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1

Gọi O là giao điểm của ba đường trung trực trong
∆ABC. Khi đó O là:
A. Điểm cách đều ba cạnh của ∆ABC
B. Điểm cách đều ba đỉnh của ∆ABC
C. Trọng tâm của ∆ABC

Đáp án

Hết1
23456789giờ

D. Tất cả đáp án đều sai.
10s

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 2

Cho ΔABC, hai đường cao AM và BN cắt nhau tại H.
Em chọn phát biểu đúng:
A. H là trọng tâm của ΔABC
B. H là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
C. CH là đường cao của ΔABC

Hết1
23456789giờ
D. CH là đường trung trực của ΔABC
Đáp án
10s

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 3

Cho tam giác ABC có AC > AB. Trên cạnh AC lấy điểm
E sao cho CE = AB. Các đường trung trực của BE và
AC tại O. Chọn câu đúng:

Đáp án

A. =

B. =

C. =

D. =
Hết1
23456789giờ

10s

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 4

Cho ΔABC nhọn, hai đường cao BD và CE. Trên tia đối
của tia BD lấy điểm I sao cho BI = AC. Trên tia đối của
tia CE lấy điểm K sao cho CK = AB. Chọn câu đúng

Đáp án

A. AI > AK

B. AI < AK

C. AI = 2AK

D. AI = AK
Hết1
23456789giờ

10s

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 5

Cho ∆ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc với BC
tại H. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH.
Kẻ KD⊥AC(D∈BC). Chọn câu đúng
A. AHD=AKD
B. AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK
C. AD là tia phân giác của góc HAK
D. Cả A, B, C đều đúng

Đáp án

Hết1
23456789giờ

10s

Bài 9.29 (Tr81)

VẬN DỤNG

a) Có một chi tiết máy (đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. (H.9.46). Làm thế
nào để xác định được bán kính của đường viền này?
b) Trên bản đồ, ba khu dân cư được quy hoạch tại điểm A, B, C không thẳng hàng.
Hãy tìm trên bản đồ một điểm M cách đều A, B, C để quy hoạch một trường học

Giải
a) Lấy ba điểm phân biệt A, B, C trên đường viền ngoài chi tiết máy.
Vẽ đường trung trực cạnh AB và cạnh BC. Hai đường trung trực này cắt nhau
tại O. Khi đó O là tâm cần xác định.
Bán kính đường tròn cần tìm là độ dài đoạn OB (hoặc OA hoặc OC).
Ta có hình vẽ minh họa:

Giải
b)
Vẽ đường trung trực của các đoạn AB, AC, BC
3 đường trung trực này cắt nhau tại M. Khi đó MA = MB = MC
M là điểm cần xác định
Ta có hình minh họa:

Bài 9.30 (Tr81)

VẬN DỤNG

Cho hai đường thẳng không vuông góc b,c cắt nhau tại điểm A và cho điểm
H không thuộc b và c (H.9.47). Hãy tìm điểm B thuộc b, điểm C thuộc c sao
cho tam giác ABC nhận H làm trực tâm.
Giải
Bước 1: từ H, kẻ HD ⊥ c tại điểm D, HD cắt b tại B

Giải
Bước 2: Từ H kẻ HE ⊥ b tại điểm E, HE cắt c tại C

Bước 3: Nối hai điểm B và C ta được ABC.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

* Ghi nhớ

* Hoàn thành các

* Chuẩn bị trước

kiến thức trong bài.

bài tập trong SBT.

“Luyện tập chung”