Liệu có phân thức
nào đơn giản hơn
nhưng bằng phân
thức không nhỉ ?

CHƯƠNG VI.
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
BÀI 22. TÍNH CHẤT CƠ BẢN
CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ

NỘI DUNG BÀI HỌC
01 Tính chất cơ bản của phân thức
02

Vận dụng

01

TÍNH CHẤT
CƠ BẢN CỦA
PHÂN THỨC

HĐ 1

𝑥+ 𝑦
Nếu nhân cả tử và mẫu của phân thức
𝑥− 𝑦

với ta được phân thức mới

nào? Giải thích vì sao phân thức mới nhận được bằng phân thức đã cho.

2𝑥 ( 𝑥+ 𝑦 )
Phân thức mới:
2𝑥 ( 𝑥− 𝑦 )
Phân thức mới bằng phân thức đã cho vì:

HĐ 2

( 𝑥 −1 ) ( 𝑥+1 )
Tử và mẫu của phân thức (   
  có nhân tử chung là . Viết
2
𝑥 − 1 ) ( 𝑥 + 𝑥+ 1 )
phân thức nhận được sau khi chia cả tử và mẫu của phân thức này cho
nhân tử chung đó. So sánh phân thức mới nhận được và phân thức đã
cho.
Phân thức sau khi chia

𝑥 +1
2
𝑥 +𝑥+1

Phân thức mới bằng phân thức đã cho vì:

Tính chất cơ bản
 Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức
khác đa thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:
( là một đa thức khác đa thức ).
 Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung
của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho:
( là một nhân tử chung).

Ví dụ 1: Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích vì sao

2 𝑥+ 2
2
=
2
𝑥 −1
𝑥 − 1
Giải
Áp dụng tính chất cơ bản của phân thức, ta có:

2 ( 𝑥 +1 )
2 𝑥+ 2
2
=
=
2
𝑥 −1
( 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 +1 )
𝑥 −1

Luyện tập 1

Khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?
30 𝑥 𝑦 2 ( 𝑥 − 𝑦 )
45 𝑥𝑦 ( 𝑥 − 𝑦 )

=
2

2𝑦
3(𝑥− 𝑦)

Giải
Tử và mẫu có nhân tử chung là:
Chia tử cho nhân tử chung:
Chia mẫu cho nhân tử chung:
Vậy

30 𝑥 𝑦 2 ( 𝑥 − 𝑦 )
45 𝑥𝑦 ( 𝑥 − 𝑦 )

=
2

2𝑦
3(𝑥− 𝑦)

Khẳng định đúng.

Luyện tập 2

−𝑥
𝑥
=
Giải thích vì sao 1 − 𝑥 𝑥 − 1

Giải

−𝑥
Nhân cả tử và mẫu của 1 − 𝑥 với :

Chú ý
Tổng quát, ta có quy tắc đổi dấu: Nếu đổi dấu cả tử và
mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng
nhân thức đã cho.

02
VẬN DỤNG

a) Rút gọn phân thức
Rút gọn một phân thức là biến đổi phân thức đó thành một phân thức
mới bằng nó nhưng đơn giản hơn.

HĐ 3

2 𝑥 2+ 2 𝑥
Phân tích tử và mẫu của phân thức 𝑥 2 −1 thành nhân tử và tìm

các nhân tử chung của chúng.
Giải:

2𝑥 2+2𝑥 2𝑥 ( 𝑥+1 )
=
2
𝑥 −1 ( 𝑥 −1 ) ( 𝑥+1 )
Nhân tử chung của cả tử và mẫu là:

HĐ 4
2 𝑥 2+ 2 𝑥
Chia cả tử và mẫu của phân thức   𝑥 2 −1 cho các nhân tử chung, ta nhận
được một phân thức mới bằng phân thức đã cho nhưng đơn giản hơn.
Giải:
Chia tử cho nhân tử chung:
Chia mẫu cho nhân tử chung:

2 𝑥 2+ 2 𝑥
2𝑥
.
2
Ta nhận được phân thức mới 𝑥 − 1 bằng phân thức đã cho
𝑥 −1

Rút gọn một phân thức
Muốn rút gọn một phân thức đại số ta làm như sau:
 Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm
nhân tử chung.
 Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó.

Ví dụ 2:

Rút gọn phân thức𝑃 =

Giải:
Ta có:

𝑥 2 − 𝑥𝑦

3 ( 𝑥 𝑦2− 𝑦3 )

Luyện tập 3

Em hãy trả lời câu hỏi trong Tình huống mở đầu.
Giải:

Có:
Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung
Ta có:

TRANH LUẬN
Tròn thực hiện rút gọn một phân thức như
hình bên. Hỏi bạn Tròn làm đúng hay sai?
Vì sao?

Giải:
Phân tích tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn nhân tử chung, ta có:

Vậy tròn làm sai.

THỬ THÁCH NHỎ
Tìm a sao cho hai phân thức sau bằng nhau:
− 𝑎 𝑥 2 − 𝑎𝑥
3𝑥
và
2
𝑥 −1
𝑥−1

Giải:

Ta có:

b) Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức
Quy đồng nhẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức
đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần
lượt bằng các phân thức đã cho.

HĐ 5

1
1
Phân tích các mẫu thức của hai phân thức 2 𝑥 2+ 2 𝑥 và 3 𝑥 2 − 6 𝑥
thành nhân tử.

Giải:
Ta có:

HĐ 6

1
1
Cho hai phân thức
và
2
2
2𝑥 +2𝑥
3𝑥 −6 𝑥

Chọn mẫu thức chung (MTC) của hai mẫu thức trên bằng cách lấy tích
của các nhân tử được chọn như sau:
- Nhân tử bằng số của MTC là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu
thức của các phân thức đã cho (nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu
thức là những số nguyên dương thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN
của chúng);
- Với mỗi lũy thừa của cùng một biểu thức có mặt trong các mẫu thức,
ta chọn lũy thừa với số mũ cao nhất.
Giải:

Mẫu thức chung:

HĐ 7

1
1
Cho hai phân thức
và
2
2
2𝑥 +2𝑥
3𝑥 −6 𝑥

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách lấy
MTC chia cho mẫu thức đó.
Giải:
Nhân tử phụ của mẫu là:

Nhân tử phụ của mẫu là:

HĐ 8

1
1
Cho hai phân thức
và
2
2𝑥 +2𝑥
3 𝑥2− 6 𝑥

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức đã cho với nhân tử phụ tương ứng,
ta được các phân thức có mẫu thức là MTC đã chọn.
Giải:

Các bước thực hiện quy đồng
Muốn quy đồng mẫu thức có nhiều phân thức ta làm như
sau:
-

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm những mẫu
thức chung;

-

Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức bằng cách chia MTC
cho mẫu thức đó;

-

Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ
tương ứng.

−7
3
và
Ví dụ 3: Quy đồng mẫu thức hai phân thức 3
3
2
2
5 𝑥 +5 𝑥 2 𝑥 +4 𝑥 +2 𝑥
Giải:
Ta có:

MTC:
Nhân tử phụ của là
MTC:

−7
3
và
Ví dụ 3: Quy đồng mẫu thức hai phân thức 3
3
2
2
5 𝑥 +5 𝑥 2 𝑥 +4 𝑥 +2 𝑥
Giải:
Nhân tử phụ của là
MTC:
Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng ta có:

3 . 2 ( 𝑥 +1 )  
6 ( 𝑥 +1 )
3
=
=
3
2
2
2
2
2
5 𝑥 +5 𝑥
10 𝑥 ( 𝑥+ 1 )
10 𝑥 ( 𝑥 +1 )

−7
− 7.5 𝑥  
− 35 𝑥
=
=
2 𝑥 3 +4 𝑥2 +2 𝑥 10 𝑥 2 ( 𝑥+ 1 )2 10 𝑥 2 ( 𝑥 +1 )2

Luyện tập 4

1
1
và 3
Quy đồng mẫu thức hai phân thức 3 𝑥 2 − 3𝑥
−1
Giải:

Ta có:

MTC:
Nhân tử phụ của là:

Luyện tập 4

1
1
và 3
Quy đồng mẫu thức hai phân thức 3 𝑥 2 − 3𝑥
−1
Giải:

Nhân tử phụ của là:

Thực hiện quy đồng, ta có:

TRANH LUẬN

Theo em, bạn nào chọn MTC hợp lí hơn? Vì sao?
Giải:

Ta thấy (sử dụng quy tắc đổi dấu cho phân thức)
MTC là sẽ hợp lí hơn, và ngắn gọn hơn.
Tròn chọn MTC hợp lí hơn.

LUYỆN TẬP

Đến giờ câu cá rồi.
Các em hãy giúp
ông nhé

Câu 1. Với là các đa thức. Chọn đáp án đúng

A

Sai mất
rồi

A.

C.

B.

D.

B

Sai mất
rồi

C

Sai mất
rồi

D

Câu 2. Chọn đáp án sai? Với đa thức
C.

A. ( khác đa thức )
B. ( là một nhân tử chung, )

A

Sai mất
rồi

B

Sai mất
rồi

D.

Sai mất
rồi

C

D

Câu 3. Dùng quy tắc đổi dấu, hãy điển đa thức thích hợp vào chỗ chấm

A

Sai mất
rồi

A.

C.

B.

D.

B

Sai mất
rồi

C

Sai mất
rồi

D

Câu 4. Các phân thức có mẫu thức chung là ?
A.

C.

B.

D.

A

Sai mất
rồi

B

Sai mất
rồi

C

Sai mất
rồi

D

Câu 5. Cho và . Khi đó

A

A. T = 9

C. T = 27

B. T = 3

D. T = 18

B

Sai mất
rồi

Sai mất
rồi

C

D

Sai mất
rồi

Ông cảm ơn các
em giúp ông lão
câu cá!

Bài 6.7 (SGK – tr.11) Dùng tính chất cơ bản của phân thức, giải thích
vì sao các kết luận sau đúng.

( 𝑥 − 2 )3
( 𝑥 − 2 )2
1−𝑥
𝑥−1
𝑎¿ 2
=
;𝑏¿
=
𝑥
− 5 𝑥 +1
5 𝑥−1
𝑥 −2 𝑥
Giải:
Các kết luận đúng vì:

( 𝑥−2 )3 ( 𝑥 −2 )3 ( 𝑥 −2 )2
𝑎¿ 2
=
=
𝑥
𝑥 −2 𝑥 𝑥 ( 𝑥− 2 )
𝑏¿

(chia cả tử và mẫu cho )

−(1 − 𝑥 )
1−𝑥
𝑥 −1
=
=
− 5 𝑥+1 − (− 5 𝑥 +1 ) 5 𝑥 −1 (nhân cả tử và mẫu với )

Bài 6.8 (SGK – tr.12)

Tìm đa thức thích hợp cho dấu “?”.

𝑦 −𝑥
?
=
4− 𝑥 𝑥−4
Giải:
Ta có:

Vậy dấu  là đa thức

Bài 6.9 (SGK – tr.12)

Rút gọn các phân thức sau:

𝑎¿

5 𝑥 +10
5 ( 𝑥 +2 )
𝑥 +2
¿
=
2
25 𝑥 + 50 25 ( 𝑥 2+ 2 ) 5 ( 𝑥 2+ 2 )

𝑏¿

45 𝑥 ( 3 − 𝑥 ) −45 𝑥 ( 𝑥 − 3 )
−3
¿
=
3
15 𝑥 ( 𝑥 − 3 ) 15 𝑥 ( 𝑥 − 3 )3
( 𝑥 − 3 )2

( 𝑥2− 1) ( 𝑥2 − 1)
( 𝑥 −1 )2
( 𝑥 2 −1 ) 2
¿
= 2
𝑐¿
2
3
( 𝑥+1 ) ( 𝑥 +1 ) ( 𝑥 +1 ) ( 𝑥 +1 ) ( 𝑥 − 𝑥 +1 ) 𝑥 − 𝑥 +1

Bài 6.12 (SGK – tr.12)

𝑎¿

1
3
v
à
3
4−2𝑥
𝑥 −8

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

𝑏¿
Giải:

𝑥
1
v
à
2
2
𝑥 −1
𝑥 +2 𝑥 +1

Bài 6.12 (SGK – tr.12)

𝑎¿

1
3
v
à
3
4−2𝑥
𝑥 −8

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

𝑏¿
Giải:

𝑥
1
v
à
2
2
𝑥 −1
𝑥 +2 𝑥 +1

Bài 6.13 (SGK – tr.12)

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

2

2

1
2𝑥 𝑥 − 𝑥𝑦+ 𝑦
1
𝑥 +1
5
; 2 2; 2
𝑎¿
; 2
; 𝑏¿ .
𝑥+ 2 𝑥 −4 𝑥+ 4 2− 𝑥 3𝑥+3 𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 2𝑥𝑦+ 𝑦 2
Giải:
MTC:

( 𝑥+ 1 )( 𝑥 +2 )
𝑥+ 1
=
;
2
2
𝑥 − 4 𝑥 + 4 ( 𝑥+ 2 ) ( 𝑥 − 2 )

Bài 6.13 (SGK – tr.12)

Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

2

2

1
2𝑥 𝑥 − 𝑥𝑦+ 𝑦
1
𝑥 +1
5
; 2 2; 2
𝑎¿
; 2
; 𝑏¿ .
𝑥+ 2 𝑥 −4 𝑥+ 4 2− 𝑥 3𝑥+3 𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 2𝑥𝑦+ 𝑦 2
Giải:
MTC:

2

6 𝑥 ( 𝑥− 𝑦 )
(𝑥− 𝑦)
2𝑥
1
;
=
; 2=
2
2
3 𝑥 +3 𝑦 3 ( 𝑥 + 𝑦 )( 𝑥 − 𝑦𝑥) − 𝑦 3 ( 𝑥+ 𝑦 )( 𝑥− 𝑦 )
2
2
( 𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦 ) 3 ( 𝑥+ 𝑦 )
𝑥 − 𝑥𝑦 + 𝑦
=
2
2
2
𝑥 − 2 𝑥𝑦 + 𝑦
3 ( 𝑥+ 𝑦 ) ( 𝑥 − 𝑦 )
2

2

VẬN DỤNG

Bài 6.10 (SGK – tr.12)

Cho phân thức 𝑃=

𝑥+1
2
𝑥 −1

Rút gọn phân thức đã cho, kí hiệu là phân thức nhận được.
Tính giá trị của và tại . So sánh hai kết quả đó.
Giải:
Vậy 𝑄=

1
Ta thấy hai kết quả cùng bằng 10

1
𝑥−1

Bài 6.11 (SGK – tr.12)

𝑎𝑥 ( 𝑥 −1 )
5𝑥
v
à
Tìm sao cho hai phân thức sau bằng nhau:
𝑥 +1
(1 − 𝑥 ) ( 𝑥 +1 )
Giải:
Ta có

𝑎𝑥 ( 𝑥 −1 ) − 𝑎𝑥
=
− ( 𝑥 −1 ) ( 𝑥+1 ) 𝑥+1

𝑎𝑥 ( 𝑥 −1 )
5𝑥
Nên để hai phân thức 𝑥 +1 v à (1 − 𝑥 ) ( 𝑥 +1 ) bằng nhau
thì .

Bài 6.14 (SGK – tr.12)

9 𝑥 2 +3 𝑥+ 1
𝑥2− 4 𝑥
và
Cho phân thức
3
2
27 𝑥 −1
16 − 𝑥

a) Rút gọn hai phân thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a.
Giải:
a) Rút gọn:

Bài 6.14 (SGK – tr.12)

9 𝑥 2 +3 𝑥+ 1
𝑥2− 4 𝑥
và
Cho phân thức
3
2
27 𝑥 −1
16 − 𝑥

a) Rút gọn hai phân thức đã cho.
b) Quy đồng mẫu thức hai phân thức nhận được ở câu a.
Giải:
b) MTC:

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
Ghi nhớ

Hoàn thành

Chuẩn bị trước

kiến thức

các bài tập

Luyện tập

trong bài

trong SBT

chung