BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

3

GIẢI
1. Từ phương trình thứ nhất ta có y = 3 – x.
2. Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
2x – 3(3 – x) = 1 hay 2x – 9 + 3x = 1
Từ đó y = 3 – 2 = 1.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (2; 1).

nên 5x = 10 suy ra x = 2.

GIẢI
a)
Từ phương trình (1) ta có: x = 3y + 2.

Thế x = 3y + 2 vào phương trình (2), ta được:
– 2(3y + 2) + 5y = 1
– 6y – 4 + 5y = 1
– 6y + 5y = 1 + 4
–y=5
y=–5
Từ đó x = 3 . (–5) + 2

= –15 + 2

= –13

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (–13; –5).

b)
Từ phương trình (1) ta có: y = – 4x – 1
Thế y = –4x – 1 vào phương trình (2), ta được:
7x + 2(–4x – 1) = –3,
7x – 8x – 2 = –3
–x=–1
x=1

Từ đó y = –4 . 1 – 1 = – 4 – 1 = –5
Vậy hệ phương trình đã cho có
nghiệm là (1; –5).

GIẢI

Từ phương trình thứ nhất ta có y = 2x + 3

Thế vào phương trình thứ hai, ta được:
4x – 2(2x + 3) = –4 suy ra 4x – 4x – 6 = –4 hay 0x = 2 (1)
Do không có giá trị nào của x thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình đã cho vô
nghiệm.

GIẢI

{

x +3 y =− 1(1)
3 x +9 y =− 3 (2)

Từ phương trình (1) ta có: x = – 3y – 1 (3)

Thế vào phương trình (2), ta được:
3.(–3y – 1) + 9y = –3
–9y – 3 + 9y = –3
0y = –3 + 3
0y = 0       (4)
Ta thấy mọi giá trị của y đều thỏa mãn hệ thức (4)
Với mọi giá trị tùy ý của y, giá trị tương ứng của x được tính bởi (3)
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (–3y – 1; y) với y ∈ ℝ tùy ý.

GIẢI
Gọi x là số luống trong vườn, y là số cây cải bắp trồng ở mỗi luống (x, y ∈ ℕ*)
Số cây cải bắp của cả vườn là: xy (cây)

a) – Nếu tăng thêm 8 luống, nhưng mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cải
bắp của cả vườn sẽ ít đi 108 cây
Số luống trong vườn sau khi tăng thêm 8 luống là:
x + 8 (luống)
Khi mỗi luống trồng ít đi 3 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là:
y – 3 (cây)

Theo đề bài, ta có phương trình là:
(x + 8)(y – 3) = xy – 108
xy – 3x + 8y – 24 = xy – 108
3x – 8y = 84.        (1)

– Nếu giảm đi 4 luống, nhưng mỗi luống trồng thêm 2 cây thì số cải bắp cả
vườn sẽ tăng thêm 64 cây.
Số luống trong vườn sau khi giảm đi 4 luống là:
x – 4 (luống).
Khi mỗi luống trồng thêm 2 cây cải bắp thì số cây bắp cải ở mỗi luống là:
y + 2 (cây).

Theo đề bài, ta có phương trình là:
(x – 4)(y + 2) = xy + 64
xy + 2x – 4y – 8 = xy + 64
2x – 4y = 72
x – 2y = 36          (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

b) Giải hệ phương trình 
Từ phương trình (2), ta có: x = 2y + 36
Thế vào phương trình (1), ta được:
3(2y + 36) – 8y = 84
6y + 108 – 8y = 84

−2y = −24

– 2y = 84 – 108
y = 12

Từ đó

x = 2y + 36
x = 2 . 12 + 36
x = 24 + 36
x = 60

Vậy số cây cải bắp được trồng trên mảnh vườn đó là: 12 . 60 = 720 (cây).

GIẢI

{

2 x + 2 y =3 (1)
x − 2 y = 6 (2 )

1. Cộng từng vế phương trình (1) và (2), ta được:
3x = 9
x=3

2. Thế x = 3 vào phương trình (2), ta được:
3 – 2y = 6
– 2y = 6 – 3
– 2y = 3

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là 

(

−3
3;
2

)

GIẢI
a)

Cộng từng vế phương trình (1) và (2) ta được:
3y – 5y = – 8
– 2y = – 8
y=4

Thế y = 4 vào phương trình (1), ta được:
– 4x + 3 . 4 = 0
– 4x + 12 = 0
– 4x = – 12
x=3
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (3; 4).

31

b)
Trừ từng vế phương trình (1) cho (2) ta được:
4x – x = – 9
3x = – 9
x=–3

Thế x = –3 vào phương trình (2), ta được:
– 3 + 3y = 9
3y = 9 + 3
3y = 12
y=4
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (–3; 4).

GIẢI

{

4 x + 3 y = 6 (1 )
− 5 x +2 y = 4 (2 )

Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 và nhân hai vế của phương trình (2)
với 3, ta được:

{

8 x +6 y =12 ( 3 )
− 15 x +6 y =12 ( 4 )

Trừ từng vế hai phương trình (3) và (4), ta được:
23x = 0

hay

x=0

Thế x = 0 vào phương trình (1) ta có:
4 . 0 + 3y = 6
3y = 6
y=2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là (0; 2).

GIẢI

{

− 0,5 x +0,5 y=1 (1 )
− 2 x +2 y= 8 (2 )

Nhân hai vế của phương trình (1) với (–2) và chia hai vế của phương trình (2)
cho (–2), ta được:

{

x − y =− 2 (3 )
x − y =− 4 ( 4 )

Trừ từng vế phương trình (3) cho (4), ta có: 0x + 0y = 2        (5)
Do không có giá trị nào của x, y thỏa mãn hệ thức (5) nên hệ phương trình đã
cho vô nghiệm.

Casio fx 580 VN Plus

Casio fx 580 VN Plus

GIẢI

{

a ¿ 2 x +3 y =− 4
− 3 x −7 y=13
Ta có a1 = 2, b1 = 3, c1 = –4, a2 = –3, b2 = –7, c2 = 13.
Lần lượt thực hiện các bước sau (với máy tính thích hợp):

Bước 1. Vào chức năng giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cách bấm
các phím                      
(xem màn hình sau bước 1, con trỏ ở vị trí a1).

Bước 2. Nhập các số a1 = 2, b1 = 3, c1 = –4, a2 = –3, b2 = –7, c2 = 13 bằng cách
bấm:
(xem màn hình sau bước 2).

Bước 3. Đọc kết quả: Sau khi kết thúc bước 2, bấm       , màn hình cho x =
bấm tiếp bàn phím        màn hình cho y =

− 14
5 (xem màn hình sau bước 3)

Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là  

11
5