KHỞI ĐỘNG
Mỗi bánh xe đạp ở Hình 1 gợi nên hình ảnh của một đường tròn

Hai đường tròn đó có điểm chung hay không?

CHƯƠNG V. ĐƯỜNG TRÒN
BÀI 1. ĐƯỜNG TRÒN.
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

I
KHÁI NIỆM ĐƯỜNG TRÒN

 HĐ1: Đồng hồ được mô tả ở Hình 2 có kim phút dài . Khi kim
phút quay một vòng thì đầu mút của kim phút vạch nên
đường gì?

Giải:
Kim phút quay một vòng thì đầu mút
của kim phút vạch nên đường tròn.

KHÁI NIỆM
Trong mặt phẳng, đường tròn tâm bán kính là tập hợp các điểm
cách điểm một khoảng bằng , kí hiệu là .

Chú ý:
 Một đường tròn hoàn toàn xác định
khi biết tâm và bán kính.
 Khi không quan tâm đến bán kính
của đường tròn

ta cũng có thể kí

hiệu đường tròn là .

Ví dụ 1: Cho đường tròn và năm điểm
(Hình 4). So sánh độ dài các đoạn thẳng
với
Giải
Vì thuộc nên
Ta có: nên
nên

Nhận xét:
+ Khi điểm thuộc đường tròn , ta còn nói điểm nằm trên đường
tròn hoặc đường tròn đi qua điểm . Ta có:
+ Khi điểm nằm trong đường tròn , ta có:
+ Khi điểm nằm ngoài đường tròn , ta có:

Luyện tập 1
Hãy chỉ ra một số đồ vật trong thực tiễn gợi nên hình ảnh của đường tròn

Giải

Cái quạt, bánh xe, cái bát, đồng hồ...

II
LIÊN HỆ GIỮA ĐƯỜNG KÍNH
VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

 HĐ2: Quan sát Hình 5
a) So sánh và

b) So sánh và

Giải: a) Xét có
(bất đẳng thức về cạnh trong tam giác)
b) Ta có:

Mà

Chú ý:
+ Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt thuộc đường tròn được gọi
là dây (hay dây cung) của đường tròn.
+ Dây đi qua tâm là đường kính của đường tròn. Trong các dây
của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Ví dụ 2: Trong một trò chơi, hai bạn Thủy và Tiến cùng chạy trên một
đường tròn tâm có bán kính (Hình 6). Có thời điểm nào dây nối vị trí
của hai bạn đó có độ dài bằng hay không? Vì sao?
Giải

Đường tròn tâm có đường kính là:

Vì độ dài dây không vượt quá độ dài đường
kính của đường tròn nên
Vậy không có thời điểm nào dây nối vị trí
của hai bạn đó có độ dài bằng

Cho tam giác nhọn . Đường tròn tâm đường

Luyện tập 2

kính cắt các cạnh và lần lượt tại và . Chứng
minh

Giải:
Xét đường tròn có:
là đường kính và là dây cung
Suy ra

III
TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

 HĐ3: Cho đường tròn
a) Vẽ đường thẳng đi qua tâm cắt đường tròn
tại . So sánh và (Hình 7)
b) Giả sử là một điểm tùy ý trên đường tròn .
Trên tia đối của tia , ta lấy điểm sao cho . Điểm
có thuộc đường tròn hay không?

Nhận xét: Điểm đối xứng của một điểm tùy ý trên đường tròn
qua tâm của đường tròn cũng nằm trên đường tròn đó.

KHÁI NIỆM
Đường tròn là hình có tâm đối xứng. Tâm của
đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Ví dụ 3: Cho đường tròn . Đường thẳng đi qua tâm , cắt
đường tròn tại hai điểm . Đường thẳng (khác ) đi qua tâm ,
cắt đường tròn tại hai điểm . Chứng minh tứ giác là hình chữ
nhật.
Giải:
Do và nên tứ giác là hình bình hành.
Hình bình hành có nên là hình chữ nhật.

 HĐ4: Cho đường tròn . Giả sử là đường thẳng đi qua tâm là một
điểm tùy ý trên đường tròn và không thuộc . Kẻ vuông góc với
tại . Trên tia lấy điểm sao cho là trung điểm của (ta gọi là điểm
đối xứng với điểm qua đường thẳng ). Điểm có thuộc đường tròn
hay không?
Giải:

Do

Suy ra là đường trung trực của
Suy ra
Lại có nên Vậy

Nhận xét:
Điểm đối xứng của một điểm tùy ý trên đường tròn qua một đường thẳng
đi qua tâm của đường tròn cũng nằm trên đường tròn đó.

GHI NHỚ
Đường tròn là hình có trục đối xứng. Mỗi đường thẳng
đi qua tâm là một trục đối xứng của đường tròn đó.

Ví dụ 4: Cho dây của đường tròn . Gọi là đường trung trực
của đoạn thẳng . Chứng minh đường thẳng là một trục đối
xứng của đường tròn
Giải:
Vì nên điểm nằm trên đường trung trực của đoạn
thẳng
Do đường thẳng

đi qua tâm của đường tròn

đường thẳng là một trục đối xứng của đường tròn

nên

Luyện tập 3

Bạn Hoa có một tờ giấy hình tròn.
Nêu cách gấp giấy để xác định tâm của hình tròn đó.
Giải

Ta gấp tờ giấy làm đôi sau đó gấp đôi thêm một lần nữa.
Giao điểm của hai lần gấp chính là tâm của đường tròn.

IV
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN

1. Hai đường tròn cắt nhau
 HĐ5: Bạn Đan vẽ năm vòng tròn minh họa cho biểu tượng của
Thế vận hội Olympic như ở Hình 10. Hình vẽ đó thể hiện những
cặp đường tròn cắt nhau. Theo em, hai đường tròn cắt nhau thì
chúng có bao nhiêu điểm chung?
Giải:
Hai đường tròn cắt nhau thì
chúng có 2 điểm chung.

KHÁI NIỆM
Hai đường tròn có đúng hai điểm chung được gọi là
hai đường tròn cắt nhau.
Mỗi điểm chung của hai đường tròn
cắt nhau được gọi là một giao điểm
của hai đường tròn đó.
Ở Hình 11, hai đường tròn (O) và (O')
cắt nhau tại hai điểm và

Nhận xét
Cho hai đường tròn và với . Người ta chứng minh được:
Nếu hai đường tròn đó cắt nhau thì . Điều ngược lại cũng đúng.

Ví dụ 5: Cho hai đường tròn và . Biết rằng . Xét vị trí tương đối của hai
đường tròn đó
Giải:

Ta thấy bán kính của hai đường tròn , lần lượt là
Do , và nên .
Vậy hai đường tròn và cắt nhau.

Luyện tập 4
Cho hai đường tròn , với . Hỏi hai đường tròn đó có cắt
nhau hay không?
Giải
Ta thấy
cm
Vậy hai đường tròn không cắt nhau

2. Hai đường tròn tiếp xúc nhau
 HĐ6: Hình 12 mô tả các ống tròn xếp lên nhau và gợi nên hình ảnh các
cặp đường tròn tiếp xúc nhau. Theo em, hai đường tròn tiếp xúc nhau
thì chúng có bao nhiêu điểm chung?

Giải:
Hai đường tròn tiếp xúc nhau
thì chúng có 1 điểm chung

KHÁI NIỆM
Hai đường tròn có đúng một điểm chung được gọi
là hai đường tròn tiếp xúc nhau (tại điểm chung đó).
Điểm chung của hai đường tròn tiếp xúc nhau được gọi là tiếp điểm.

Nhận xét: Cho hai đường tròn

và . Người ta

chứng minh được các định nghĩa sau:
 Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài thì tiếp
điểm nằm giữa và . Điều ngược lại cũng đúng.
 Giả sử . Nếu hai đường tròn đó tiếp xúc trong
thì điểm nằm giữa và . Điều ngược lại cũng
đúng.

Ví dụ 6: Cho hai đường tròn , , ở đó và . Xét vị trí tương đối của hai
đường tròn đó trong mỗi trường hợp sau:
a) và

b) và

Giải:
a) Ta thấy: nên
Vậy hai đường tròn đó tiếp xúc ngoài.
b) Ta thấy: nên
Vậy hai đường tròn đó tiếp xúc trong.

Luyện tập 5
Cho hai đường tròn và . Tìm độ dài đoạn thẳng , biết hai đường
tròn đó tiếp xúc trong.
Giải:

Vì hai đường tròn () và tiếp xúc trong nên

3. Hai đường tròn không giao nhau
 HĐ7: Hình 14 mô tả hai bánh xe rời nhau, gợi nên hình ảnh hai
đường tròn không giao nhau. Theo em, hai đường tròn không
giao nhau thì có bao nhiêu điểm chung?
Giải:
Hai đường tròn không giao nhau
thì chúng không điểm chung.

KHÁI NIỆM
Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là
hai đường tròn không giao nhau.
* Ta có hai trường hợp về hai đường tròn không giao nhau:
Hai đường tròn ở ngoài nhau; đường tròn đựng đường tròn

Nhận xét: Cho hai đường tròn và . Người ta chứng minh được các khẳng định
sau:
•

Nếu hai đường tròn ở ngoài nhau thì . Điều ngược lại cũng đúng.

• Giả sử . Nếu đường tròn đựng đường tròn thì . Điều ngược lại cũng đúng.

Ví dụ 7: Cho hai đường tròn và . Biết rằng . Xét vị trí tương
đối của hai đường tròn đó.
Giải
Ta thấy bán kính của hai đường tròn , lần lượt là ,
Do và nên
Vậy hai đường tròn và ở ngoài nhau.

Ví dụ 8: Cho hai đường tròn và . Biết rằng . Xét vị trí tương đối
của hai đường tròn đó.
Giải:
Ta thấy bán kính của hai đường tròn , lần lượt là ,
Do và nên .
Vậy đường tròn đựng đường tròn .

Luyện tập 6

Cho hai đường tròn và . Biết rằng . Xét vị trí tương đối
của hai đường tròn đó.
Giải

Ta thấy bán kính của hai đường tròn , lần lượt là ,
Do và nên .
Vậy đường tròn đựng đường tròn .

GHI NHỚ
Vị trí tương đối của hai đường tròn
và

Số điểm chung

Hệ thức giữa với và

Hai đường tròn cắt nhau
Hai đường tròn tiếp xúc nhau:


Tiếp xúc ngoài



Tiếp xúc trong

Hai đường tròn không giao nhau:


và ở ngoài nhau



đựng

 

 

LUYỆN TẬP

kenhgiaovien
•

Bài giảng và giáo án này chỉ có duy nhất trên
kenhgiaovien.com

•

Bất cứ nơi nào đăng bán lại đều là đánh cắp bản quyền
và hưởng lợi bất chính trên công sức của giáo viên.

•

Vui lòng không tiếp tay cho hành vi xấu.
https://kenhgiaovien.com/

Zalo: 0386 168

TRÒ CHƠI
TRÁI BÓNG MAY MẮN

Câu 1. Tâm đối xứng của đường tròn là:

A. Tâm của đường tròn

B. Điểm bất kì bên trong đường tròn

C. Điểm bất kì bên ngoài đường tròn

D. Điểm bất kì trên đường tròn

Câu 2. Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về trục đối xứng của đường tròn?

A. Đường tròn có hai trục đối xứng là hai

B. Đường tròn có vô số trục đối xứng là

đường kính vuông góc với nhau

đường kính

C. Đường tròn có duy nhất một trục
đối xứng là đường kính

D. Đường tròn không có trục đối xứng

Câu 3. Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì số điểm chung của hai
đường tròn là:

A. 3

B. 2

C. 1

D. vô số

Câu 4. Cho hai đường tròn tiếp xúc ngoài (O; R) và
(O'; r) với R > r và OO' = d. Chọn khẳng định đúng.

A. d = R – r

B. d > R + r

C. R – r < d < R + r

D. d = R + r

Câu 5. Hai đường tròn có đúng hai điểm chung được gọi là:

A. hai đường tròn cắt nhau

B. hai đường tròn tiếp xúc nhau

C. hai đường tròn trùng nhau

D. hai đường tròn phân biệt

TRÒ CHƠI KẾT THÚC, MỜI CÁC EM
CÙNG CHUYỂN SANG NỘI DUNG TIẾP THEO!

Bài 1 (SGK – tr.99)
Trong Hình 16, có ba đường tròn với các đường
kính lần lượt là , , . Hãy sắp xếp độ dài ba đoạn
thẳng , , theo thứ tự tăng dần và giải thích kết
quả tìm được.
Giải
- Xét đường tròn đường kính có: là đường kính; là dây nên
- Xét đường tròn đường kính có: là đường kính; là dây nên
Vậy ta có thứ tự tăng dần: