2

1

Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD,
DA của hình bình hành ABCD. Hỏi EFGH là hình gì ? Vì sao?
A

Theo giả thiết E, F, G, H lần lượt là trung điểm các
cạnh AB, BC, CD, DA của hbh ABCD nên

Hai tam giác AHE và CFG có :
(hai góc đối của hình bình hành ABCD)

E

B

H

D

F
G
Hình 3.37

AH = CF , AE = CG ( chứng minh trên)
Vậy (c.g.c) suy ra HE = FG . Tương tự GH = EF
Tứ giác EFGH có GH = EF , HE = FG nên tứ giác đó là hình bình hành .

C

2

Tính diện tích hình bình hành ABCD có đường chéo AC vuông góc
với cạnh AD, biết AC = 4cm , AD = 3cm.
A

Theo giả thiết ABCD là hình bình hành nên BC //AD
BC = AD = 3cm

3

B
4

Mặt khác (giả thiết) suy ra
Ta có ABC vuông tại C và ADC vuông tại A nên :

1
1
S ADC  AD. AC  .3.4 6 (cm 2 )
2
2
1
1
S ACB  AC.BC  .4.3 6 (cm 2 )
2
2
Vậy diện tích hình bình hành ABCD là 12 cm2

D

C

3.19

Trong các tứ giác ở Hình 3.39, tứ giác nào là hình bình
hành? Vì sao?
A

B

A

B

1100

700

A

B

800

800

Hình 3.39

D

a)

C

750

D

b)

C

D

c)

C

 Hình 3.39a : Tứ giác ABCD có ;
Do đó tứ giác ABCD là hình bình hành.
 Hình 3.39b : Tứ giác ABCD có ()
Do đó tứ giác ABCD không phải là hình bình hành.
 Hình 3.39c : Ta có mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên AD // BC
Tứ giác ABCD có : AD // BC , AD = BC nên nó là hình bình hành.

3.20

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm M thuộc cạnh AB và
điểm N thuộc cạnh CD sao cho AM = CN. Chứng minh rằng:
a) AN = CM
b)
A

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD.
Tứ giác AMCN có AM // CD (vì AB // CD); AM = CN
(giả thiết).
Suy ra, tứ giác AMCN là hình bình hành.
Do đó AN = CM (đpcm).
b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành suy ra (đpcm).

B

M
O

D

N

C

3.21

Vẽ tứ giác ABCD theo hướng dẫn sau:
Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB và đường thẳng a song song với AB.
Bước 2. Lấy điểm C ∈ a.
Bước 3. Trên a chọn D sao cho CD = AB và A,D nằm cùng phía đối với BC.
Hãy giải thích tại sao tứ giác ABCD là hình bình hành.
a

• Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB và đường thẳng
a song song với AB.
• Bước 2. Lấy điểm C ∈ a.
• Bước 3. Trên a chọn D sao cho DC = AB và A,D
nằm cùng phía đối với BC.
• Nối AD, BC ta có tứ giác ABCD là hình bình hành
 Tứ giác ABCD là hình bình hành do:
- AB // CD (vì AB // a; C, D ∈ a)
- AB = CD (giả thiết).

A

C

D

B

3.22

Cho hình bình hành ABCD có AB = 3 cm, AD = 5 cm.
a) Hỏi tia phân giác của góc A cắt cạnh CD hay cạnh BC?
b) Tính khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm C.
A

a) Vì ABCD là hình bình hành nên BC = AD = 5 cm
Do đó có điểm E duy nhất trên cạnh BC sao cho
BE = 3 cm
Tam giác BAE cân tại B (vì BE = BA) nên
mà (so le trong)

1

5cm

D

2

3cm
1
B

E

C

Suy ra , hay AE là tia phân giác của góc A của hình bình hành ABCD. Tia này không
cắt cạnh CD.

3.22

Cho hình bình hành ABCD có AB = 3 cm, AD = 5 cm.
a) Hỏi tia phân giác của góc A cắt cạnh CD hay cạnh BC?
b) Tính khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm C.
A

b) Gọi E là giao điểm của tia phân giác góc A với BC.
Khoảng cách từ giao điểm đó đến điểm C tức là khoảng
cách từ điểm E đến C, chính là độ dài đoạn EC.
Vì AE là tia phân giác của nên

1

Mà AD = BC (vì ABCD là hình bình hành).
Ta có BC = BE + EC . Suy ra EC = BC – EC = 5 - 3 = 2 (cm)

D

2

3cm
1
B

Vì AD // BC (vì tứ giác ABCD là hình bình hành) nên . Do đó
Tam giác ABE cân tại B (vì ), suy ra AB = BE

5cm

E

C

3.23

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của
AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành
b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.
A

B

E

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD; AB // CD.
Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF.

M

Suy ra AE = DF; AB = BE = CD = CF.
Tứ giác AEFD có AE // DF (vì AB // CD); AE = DF
(chứng minh trên).

D

C

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.
Tứ giác ABFC có AB // CF (vì AB // CD); AB = CF (chứng minh trên).
Do đó tứ giác ABFClà hình bình hành.
Vậy ta chứng minh được hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành.

F

3.23

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E sao cho B là trung điểm của
AE, lấy điểm F sao cho C là trung điểm của DF. Chứng minh rằng:
a) Hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành
b) Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.
A

B

b) Vì hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và
DE nên chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi
đường, ta gọi giao điểm đó là O.
Hình bình hành AEFD có hai đường chéo AF và BC.
Mà O là trung điểm của AF.

E

M
D

Suy ra O cũng là trung điểm của BC.
Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

C

F

3.24

Cho ba điểm không thẳng hàng.
a) Tìm một điểm sao cho nó cùng với ba điểm đã cho là bốn đỉnh của
một hình bình hành. Hãy vẽ hình và mô tả cách tìm.
b) Hỏi tìm được bao nhiêu điểm như vậy?
A

D

a) Gọi ba điểm không thẳng hàng đó là A, B, C. Khi đó ta
cần tìm điểm D để bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một
hình bình hành (H).
• Nếu đỉnh đối của D trong hình bình hành (H) là B thì trung
điểm của BD trùng với trung điểm của AC;
•

Ngược lại, lấy điểm D sao cho trung điểm của BD trùng với
trung điểm của AC thì (H) là hình bình hành ABCD cần tìm

B

C
A

D3

D1

b) Từ câu a, suy ra có ba điểm D như vậy là D1, D2 và D3.
Khi D là đỉnh đối của B thì theo câu a, (H) là hình bình hành
ABCD1;
Khi D là đỉnh đối của A thì (H) là hình bình hành ABD2C
Khi D là đỉnh đối của C thì (H) là hình bình hành ACBD3

C

B

D2