CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức
lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương
mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia
đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến
triệu đồng).

CHƯƠNG II. DÃY SỐ.
CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
BÀI 7: CẤP SỐ NHÂN

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

Định nghĩa

2

Số hạng tổng quát

3

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

1

ĐỊNH NGHĨA

HĐ 1: Cho dãy số  với 
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa  và .
Giải
a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là
u1 = 3 . 21 = 6; u2 = 3 . 22 = 12; u3 = 3 . 23 = 24; u4 = 3 . 24 = 48; u5 = 3 . 25 = 96
b) Ta có: suy ra
Hệ thức truy hồi liên hệ giữa un và un – 1 là:
u1 = 6, un = un – 1 . 2 với n ≥ 2

KẾT LUẬN
• Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô
hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số
hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước
nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công
bội của cấp số nhân.
• Cấp số nhân với công bội q được cho bởi hệ
thức truy hồi:
với .

CÂU HỎI
Dãy số không đổi a, a, a, … Có phải là một cấp số nhân không?
Giải
Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số nhân với công bội q = 1.

Ví dụ 1: (SGK – tr52)
Cho cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Hãy viết năm số hạng
đầu của cấp số nhân này.
Giải
Năm số hạng đầu của cấp số nhân này là:

𝑢1=5 ,𝑢 2=𝑢1 .𝑞=5. ( −2 )=−10 ,𝑢 3=𝑢 2 . 𝑞=( − 10 ) . ( −2 ) =20
𝑢4 =𝑢 3 . 𝑞=20. ( −2 ) =− 4 0 , 𝑢5 =𝑢4 . 𝑞=( − 4 0 ) . ( − 2 )=8 0

Ví dụ 2: (SGK – tr52)
Cho dãy số với Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác
định số hạng đầu và công bội của nó.
Giải
Với mọi ta có

𝑛 −1
𝑢𝑛
1
3
1
= 𝑛− 1 .
=
𝑢 𝑛 −1
1
3
3

1
𝑢
=
.
𝑢
𝑛
𝑛− 1
tức là
3

với mọi

Vậy là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội

Luyện tập 1
Cho dãy số  với . Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân.
Xác định số hạng đầu và công bội của nó.
Giải

Với mọi n ≥ 2, ta có:
Tức là với mọi .
Vậy là một cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 2 . 51 = 10 và công bội q =
5.

2

SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

HĐ 2: Cho cấp số nhân  với số hạng đầu và công bội .
a) Tính các số hạng  theo  và .
b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ  theo  và .
Giải

a) Ta có: u2 = u1 . q; u3 = u2 . q = (u1 . q) . q = u1 . q2;
u4 = u3 . q = (u1 . q2) . q = u1 . q3; u5 = u4 . q = (u1 . q3) . q = u1 . q4.
b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo u1 và q là
un = u1 . qn – 1 với n ≥ 2.

KẾT LUẬN
Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội q
thì số hạng tổng quát của nó được xác định bởi
công thức
với .

Ví dụ 3: (SGK – tr53)
Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của cấp số nhân:
Giải
Cấp số nhân này có số hạng đầu và công bội
Do đó năm số hạng đầu là:
Số hạng thứ 100 là

Ví dụ 4: (SGK – tr53)
Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 10 bằng
1 536 và số hạng thứ 12 bằng 6 144. Tìm số hạng thứ 20 của cấp số nhân đó.
Giải
Giả sử là số hạng đầu và là công bội của cấp số nhân đã cho. Ta có:

Từ đây suy ra , tức là hoặc .
Với , ta tính được
Với , ta tính được (trường hợp này loại vì theo giả thiết).

Ví dụ 4: (SGK – tr53)
Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 10 bằng
1 536 và số hạng thứ 12 bằng 6 144. Tìm số hạng thứ 20 của cấp số nhân đó.
Giải
Do đó và
Vậy số hạng thứ 20 của cấp số nhân đã cho là
19

19

u20 =u1 .𝑞 =3 . 2 =1572 864

Luyện tập 2
Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầy có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng
lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?
Giải
Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ
nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u 1 =
5 000 và công bội q = 1,08 và u6 là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi
cấy.
Ta có: u6 = u1 . q6 – 1 = 5 000 . 1,085 ≈ 7 347.

3

TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA
MỘT CẤP SỐ NHÂN

HĐ 3:
Cho cấp số nhân  với số hạng đầu  và công bội
Để tính tổng của  số hạng đầu
                                      
Hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:
a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo và  để được biểu thức tính tổng
chỉ chứa và .
b) Từ kết quả ở phần a), nhân cả hai vế với để được biểu thức tính chỉ chứa
và .
c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a) và b) và giản ước các số hạng
đồng dạng để tính theo  và Từ đó suy ra công thức tính .

Giải
a) Ta có: u2 = u1 . q; ...;
un – 1 = u1 . q(n – 1) – 1 = u1 . qn – 2; un = u1 . qn – 1.
Do đó, Sn = u1 + u2 + ... + un – 1 + un 
= u1 + u1 . q + ... + u1 . qn – 2 + u1 . qn – 1 (1).
b) Ta có:
q . Sn = q . (u1 + u1 . q + ... + u1 . qn – 2 + u1 . qn – 1)
⇔ q . Sn = u1 . q + u1 . q2 + ... + u1 . qn – 1 + u1 . qn (2).

Giải
c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:
Sn – q . Sn = (u1 + u1 . q + ... + u1 . qn – 2 + u1 . qn – 1)
– (u1 . q + u1 . q2 + ... + u1 . qn – 1 + u1 . qn)
⇔ (1 – q)Sn = u1 – u1 . qn
⇔ (1 – q)Sn = u1(1 – qn)
với .

KẾT LUẬN

Cho cấp số nhân với công bội .
Đặt . Khi đó

Câu hỏi:
Nếu cấp số nhân có công bội thì tổng số hạng đầu của nó bằng bao
nhiêu?
Giải
Nếu cấp số nhân có công bội thì cấp số nhân là Khi đó
 (tổng của n số hạng u1).

Ví dụ 5: (SGK – tr54)
Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải
Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân,
với số hạng đầu và công bội . Tổng số lương của chuyên gia sau đó 10
năm chính là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân này và bằng

u1 ( 1− 𝑞 ) 240 [ 1 − ( 1,05 )
𝑆10 =
=
1 −𝑞
1 −1,05
10

10

] ≈ 3 019

Vậy tổng số lương (làm tròn đến triệu đồng) của chuyên gia đó sau 10
năm 3 019 triệu đồng hay 3,019 tỉ đồng.

Ví dụ 6: (SGK – tr54)
Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân để được kết quả
bằng ?

Giải

Cấp số nhân này có số hạng đầu và công bội . Gọi là số các số hạng đầu
cần lấy. Ta có:
Từ đây ta được . Suy ra
Vậy phải lấy số hạng đầu của cấp số nhân đã cho để được tổng bằng .

VẬN DỤNG
Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và
đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:
- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương
tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.
- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương
tháng sẽ tăng thêm 5%.
Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người
công nhân sẽ lớn hơn?

Giải
Ta có: 3 năm = 12 quý (mỗi quý gồm 3 tháng).
• Theo phương án 1:
Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3 = 15 (triệu đồng).
Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng hay 0,5 triệu đồng, do đó
từ quý thứ hai trở đi, lương sẽ tăng mỗi quý là 0,5 . 3 = 1,5 (triệu đồng).
Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu
u1 = 15 và công sai d = 1,5. Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó
sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số
cộng trên và là:
(triệu đồng).

• Theo phương án 2:
Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3 = 15 (triệu đồng).
Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%, có nghĩa là lương mỗi tháng trong quý
tiếp theo bằng 105% lương mỗi tháng quý liền trước đó, tức là lương của quý tiếp
theo bằng 105% lương mỗi quý liền trước đó.
Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu
u'1 = 15 và công bội q = 1,05. Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó
sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân
trên và là: (triệu đồng).
Vì 279 > 238,76, do đó với phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm
việc của người công nhân sẽ lớn hơn.

LUYỆN TẬP

50:50

50:50

Key

Câu 1. Dãy số có phải là cấp số nhân không? Nếu
phải hãy xác định số công bội ?
Biết:
A.

B.

C.

D.

50:50

Key

Câu 2. Cho dãy số: . Chọn x để dãy số đã cho theo thứ
tự lập thành cấp số nhân?

A. Không có giá trị nào
của x

C.

B.

D.

50:50

Key

Câu 3. Hãy chọn cấp số nhân trong các dãy số được
cho sau đây:

A.

B.

C.

D.

50:50

Key

Câu 4. Cho dãy số: … Khẳng định nào sau đây là
đúng?
A. Dãy số này không phải
là cấp số nhân

C. Dãy số này là cấp số
nhân có = –1

B. Số hạng tổng quát

D. Số hạng tổng quát

50:50

Key

Câu 5. Cho dãy số: Khẳng định nào sau đây là
sai?
A. Dãy số này là cấp số
nhân có ,

C. Số hạng tổng quát

B. Số hạng tổng quát 

D. Dãy số này là dãy số
giảm

Bài 2.15 (SGK – tr55)
Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của
mỗi cấp số nhân sau:

a)                         b)
Giải

a) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u1 = 1 và công bội là q = 4 : 1 = 4.
Số hạng thứ 5 là u5 = u1 . q5 – 1 = 1 . 44 = 256.
Số hạng tổng quát là un = u1 . qn – 1 = 1 . 4n – 1 = 4n – 1.
Số hạng thứ 100 là u100 = 4100 – 1 = 499.

Giải
b) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u1 = 2 và công bội là: .
Số hạng thứ 5 là
Số hạng tổng quát là
Số hạng thứ 100 là .

Bài 2.16 (SGK – tr55)
Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số  sau và xét xem nó có phải là cấp
số nhân không. Nếu dãy số đó là cấp số nhân, hãy tìm công bội  và viết
số hạng tổng quát của nó dưới dạng 
a) ;
b) 
c) 
d) .

Giải
a)
• Năm số hạng đầu của dãy số là:
u1 = 5.1 = 5; u2 = 5.2 = 10; u3 = 5.3 = 15;
u4 = 5.4 = 20; u5 = 5.5 = 25;
• Với mọi ta có luôn thay đổi.
Do đó, dãy số (un) không là cấp số nhân.

Giải
b)
• Năm số hạng đầu của dãy số là:
u1 = 51 = 5; u2 = 52 = 25; u3 = 53 = 125;
u4 = 54 = 625; u5 = 55 = 3 125;
• Với mọi n ≥ 2 ta có
Tức là với mọi .
Do đó, (un) là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 5, công bội q = 5 và
số hạng tổng quát là un = u1 . qn – 1 = 5 . 5n – 1 = 51 + n – 1 = 5n.

Giải
c)
• Năm số hạng đầu của dãy số là:
u1 = 1; u2 = 2.u1 = 2.1 = 2; u3 = 3.u2 = 3.2 = 6;
u4 = 4.u3 = 4.6 = 24; u5 = 5.u4 = 5.24 = 120.
• Ta có: , suy ra luôn thay đổi với mọi .
Vậy dãy số không là cấp số nhân.

Giải
d)
• Năm số hạng đầu của dãy số là:
u1 = 1; u2 = 5.u1 = 5.1 = 5; u3 = 5.u2 = 5.5 = 25;
u4 = 5.u3 = 5.25 = 125; u5 = 5.u4 = 5.125 = 625.
• Ta có: , suy ra với mọi .
Vậy dãy số (un) là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = 1, công bội q = 5
và có số hạng tổng quát un = u1 . qn – 1 = 1 . 5n – 1 = 5n – 1.

Bài 2.17 (SGK – tr55)
Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số
hạng thứ 50 của cấp số nhân này.
Giải
Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu u1 và công bội q. Khi đó theo bài ra ta có:
u6 = u1.q6 – 1 = u1.q5 = 96 và u3 = u1.q3 – 1 = u1.q2 = 12.
Do đó, , thay vào ta được:
Vậy số hạng thứ 50 của cấp số nhân là

Bài 2.18 (SGK – tr55)

Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và

công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp
số nhân này để có tổng bằng 5 115?
Giải
Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u1 = 5 và công bội q = 2.
Giả sử tổng của n số hạng đầu bằng 5 115.
Khi đó ta có: hay .
.
Vậy để có tổng bằng 5 115 thì phải lấy tổng của 10 số hạng đầu của cấp
số nhân đã cho.

VẬN DỤNG

Bài 2.19 (SGK – tr55)

Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng.
Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm
20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị
còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.

Giải
Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi giảm 20% so với giá trị
của nó trong năm liền trước đó, tức là giá trị của chiếc máy ủi năm sau
thì bằng 80% giá trị của chiếc máy ủi so với năm liền trước đó.
Giá trị của chiếc máy ủi sau 1 năm sử dụng là 3.0,8 = 2,4 (tỉ đồng).
Giá trị của chiếc máy ủi sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số nhân
với số hạng đầu u1 = 2,4 và công bội q = 0,8.
Vậy giá trị còn lại của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là
u5 = u1.q5 – 1 = 2,4.0,84 = 0,98304 (tỉ đồng) = 983 040 000 (đồng).

Bài 2.20 (SGK – tr55)

Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người
và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân
số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc
gia đó vào năm 2030.

Giải
Giả sử dân số của quốc gia đó là N. Vì tốc độ tăng trưởng dân số là
0,91% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 0,91%.N.
Vậy dân số của quốc gia đó vào năm sau là
N + 0,91%.N = 100,91%.N = 1,0091N
Như vậy, dân số của quốc gia đó sau mỗi năm lập thành một cấp số
nhân với số hạng đầu u1 = N và công bội q = 1,0091.
Theo bài ra ta có: u1 = 97 ứng với năm 2020.