CHÀO MỪNG CÁC
THẦY GIÁO, CÔ GIÁO
VÀ CÁC EM HỌC SINH
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC.

KHỞI ĐỘNG
Cho tam giác , gọi là trung điểm của , là trọng tâm tam giác , là điểm
bất kì. Điền vào dấu (...) 1 số hoặc 1 vectơ để được kết quả đúng.
a) ;
b) ;
c) ;
d)

-

a) ;
b)
c) ;
d)

;

⃗
𝟎

⃗
𝑰𝑨
⃗
𝟎

⃗
𝑰𝑩

⃗
⃗
𝑰𝑨
𝑰𝑩
𝟐⃗
𝑴𝑰

⃗
⃗
⃗
𝑮𝑨
𝑮𝑩
𝑮𝑪
⃗
⃗
⃗
𝑮𝑨
𝑮𝑩
𝑮𝑪
𝟑⃗
𝑴𝑮

III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
1. Trung điểm của đoạn thẳng
N là trung điểm của đoạn thẳng thì. với điểm M
bất kì.
2. Trọng tâm của tam giác

Nếu là trọng tâm của tam giác thì với điểm
bất kì.

Ví dụ 4
Cho tứ giác có lần lượt là trung điểm
của hai cạnh và . Gọi là trung điểm
của đoạn thẳng .
Chứng minh .

Giải
Vì là trung điểm của nên .
Vì là trung điểm của nên .

.

Luyện tập 3

Cho tam giác có là trọng tâm.
Chứng minh .

Ta có:

(đpcm).

Giải

Câu
hỏi

Cho hai vectơ và khác sao cho với là số
thực khác . Nêu nhận xét về phương của
hai vectơ và .

3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương. Điều
kiện để ba điểm thẳng hàng
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ và cùng
phương là có một số thực để .

?

Cho ba điểm phân biệt .
a) Nếu ba điểm thẳng hàng thì hai vectơ ,
có cùng phương hay không?
b) Ngược lại, nếu hai vectơ , cùng phương
thì ba điểm có thẳng hàng hay không?

Trả lời
a) Nếu thẳng hàng thì đường thẳng trùng
đường thẳng , do đó hai vectơ và cùng
phương.
b) Nếu hai vectơ

và cùng phương thì

đường thẳng trùng đường thẳng , do đó ba
điểm có thẳng hàng.

Kết luận:
Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt
thẳng hàng là có số thực để .

Ví dụ 5
Cho tam giác . Điểm thuộc cạnh sao cho . Kẻ , . Giả
sử , .
a) Biểu thị theo và theo .
b) Biểu thị theo và .

Giải
a) Ta có: , suy ra
,.
Vì và cùng hướng và nên
.
Vì và cùng hướng và nên
.
b) Vì tứ giác là hình bình hành nên
.

Luyện tập 4

Ở Hình 61, tìm k trong mỗi trường hợp sau:
a) ;

a) Từ hình vẽ, .
b) Từ hình vẽ, .

b) .

Nhận xét:
Trong mặt phẳng, cho hai vectơ và không cùng phương. Với mỗi
vectơ có duy nhất cặp số thoả mãn .
Ví dụ 6: Cho tam giác trọng tâm G. Gọi I là trung điểm của đoạn AG và K
là điểm trên cạnh sao cho AK AB.
a, Hãy phân tích vectơ theo hai vectơ , .
b, Chứng minh 3 điểm C,I,K thẳng hàng.

Tổng kết
ĩa
h
g
n
h
n
ị
Đ


ka

k > 0 cùng hướng ;
k < 0 ngược hướng
Độ dài bằng

⃗ , 𝒌 𝟎=
⃗ 𝟎
⃗.
𝟎⃗
𝒂 =𝟎

Ứng dụng

Tích của
một số với
một vectơ

. là trung điểm của đoạn
.

.là trọng tâm của tam giác

thì

.
.Điều kiện cần và đủ để hai vectơ và () cùng
phương là có một số thực để .
.Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt , , thẳng
hàng là có số thực để .

Tín
h

(
ch
ất

. hoặc

LUYỆN TẬP
Câu 1. Trên đoạn thẳng lấy điểm sao cho . Điểm được xác định đúng trong hình
vẽ nào sau đây:

A. Hình 1.

B. Hình 2.

C. Hình 3.

D. Hình 4.

Câu 2. Cho hình bình hành . Tìm , biết .
A. .
B. .
C. .
D. .
Câu 3. Nếu là trọng tam giác thì đẳng thức nào sau đây
đúng.
A. .

B. .

C. .

D. .

A

G
B

Gọi là trung điểm của nên ta có
Mà.
Chọn B.

M

C

Câu 4: Cho tam giác vuông cân có . Tính độ dài của
tổng hai véctơ và .
A.

B.

C.

D.

Câu 5: Cho tam giác và tam giác có cùng
trọng tâm. Tìm khẳng định đúng trong các
khẳng định sau.
A.
B.
C.
D.

Bài 3 (SGK – tr92) Cho tam giác có
lần lượt là trung điểm của . Chứng
minh:
a) ;
b) .

Giải

a) (đpcm).
b) (đpcm)

Bài 4 (SGK – tr.92) Cho tam giác . Các điểm thuộc cạnh
thoả mãn (Hình 62). Giả sử , . Biểu diễn các vectơ , , , ,
theo , .

Giải

Bài 5 (SGK – tr.92) Cho tứ giác có , lần lượt là
trung điểm của hai cạnh và . Gọi là trung điểm
của đoạn thẳng , là trọng tâm tam giác . Chứng
minh:
a) ;
b) ;
c) Điểm thuộc đoạn thẳng và .

Giải
a)

(đpcm)

b) là trọng tâm tam giác
(đpcm)
c) Vì thuộc đoạn thẳng
Mặt khác:
(đpcm)

Nhận xét:
Trong mặt phẳng, cho hai vectơ và không cùng phương. Với mỗi
vectơ có duy nhất cặp số thoả mãn .
Ví dụ 6: Cho tam giác . Điểm nằm trên cạnh sao cho . Hãy phân tích
vectơ theo hai vectơ , .
A

Lời giải
Từ giả thiết điểm nằm trên cạnh sao cho ta có ,
và cùng hướng nên .
Do đó
.

B

M

C

VẬN DỤNG
Bài 6 (SGK – tr. 92) Cho hình bình hành .
Đặt , . Gọi là trọng tâm của tam giác . Biểu thị
các vectơ , theo hai vectơ , .

Giải

Gọi là giao điểm hai đường chéo và của hình bình
hành
 là trung điểm của và
thuộc trung tuyến của tam giác .

Theo tính chất trọng tâm ta có: .
Mà nên
Ta có:

Vậy

Ta có:

Vậy

Bài 7 (SGK – tr.92) Cho tam giác . Các
điểm thoả mãn
,,
a) Biểu thị mỗi vectơ , , theo hai vectơ , .
b) Chứng minh thẳng hàng.

Giải
a)

+
+

b) Ta có:

Vậy thẳng hàng.

Các em hãy trả lời các câu hỏi
trắc nghiệm sau

Câu 1: Cho tam giác với trọng tâm và là
trung điểm của đoạn . Tìm khẳng định đúng
trong các khẳng định sau.
A.
B.
C.
D.

Câu 4: Cho 4 điểm . Gọi lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng và . Tìm khẳng định sai
trong các khẳng định sau.
A.

B.

C.

D.

Câu 5: Cho là trọng tâm của tam giác , đặt , .
Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau.
A.

B.

C.

D.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ

Ghi nhớ kiến thức

Hoàn thành bài tập

Chuẩn bị bài mới

trong bài.

trong SBT.

“Bài 6: Tích vô hướng
của hai vectơ”.

HẸN GẶP LẠI CÁC EM
TRONG TIẾT HỌC SAU