Trong một cuộc khảo sát về
mức sống của người Hà Nội, người
khảo sát chọn ngẫu nhiên một gia
đình ở Hà Nội. Xét các biến sau :

M: “Gia đình đó có tivi”
N: “Gia đình đó có máy vi tính”
E: “Gia đình đó có tivi hoặc máy vi tính”
F: “Gia đình đó có cả tivi và máy vi tính”

Các biến cố trên rõ ràng có mối liện
hệ với nhau. Chúng ta có thể mô tả
các mối liên hệ đó một cách cô
đọng, súc tích bằng các khái niệm
và kí hiệu toán học được không?

G: “Gia đình đó có tivi hoặc máy vi tính
nhưng không có cả hai thiết bị nói trên”
H: “Gia đình đó không có cả tivi và máy
vi tính”

1 . BIẾN CỐ HỢP

Một tổ trong lớp 11A có 10 học sinh. Điểm kiểm tra học kì I của 10 bạn
này ở hai môn Toán và Ngữ văn được cho như sau:
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:
A: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn”
B: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Toán”
C: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn hoặc điểm giỏi môn Toán”
a) Mô tả không gian mẫu và các tập con A, B, C của không gian mẫu.
b) Tìm

a) A = {Dung, Long, Cường, Trang}
B = {Lan, Hương, Phúc, Cường, Trang}
C = {Dung, Long, Lan, Hương, Phúc, Cường,
Trang}
b) A∪B = {Dung, Long, Cường, Trang, Lan,
Hương, Phúc}

1 . BIẾN CỐ HỢP

• Cho A và B là hai biến cố. Biến cố : “A hoặc B xảy ra”
được gọi là biến cố hợp của A và B, kí hiệu là AB
Biến cố hợp của A và B là tập con AB
của không gian mẫu
B

A

AB
Hình 8.1



1 . BIẾN CỐ HỢP

1

Một hộp đựng 15 thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 15. Rút
ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Gọi E là biến cố “Số ghi trên
tấm thẻ là số lẻ”, F là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố”
a) Mô tả không gian mẫu
b) Nêu nội dung của biến cố hợp .
c) Hỏi G là tập con nào của không gian mẫu.
a) Không gian mẫu :  {1;2;3; 4;5;6; 7;8;9;10;11;12;13;14;15}
b) EF là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số lẻ hoặc nguyên tố”
Ta có :

E {1;3;5; 7;9;11;13;15}
F {2;3;5; 7;11;13}

Vậy G E  F {1;2;3;5; 7;9;11;13;15}

1

Một tổ trong lớp 11B có 4 học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung, Phương
và 5 học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải. Trong giờ học, giáo
viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó lên bảng để kiểm tra
bài. Xét các biến cố sau:
H: “Học sinh đó là một bạn nữ”
K: “Học sinh đó có tên bắt đầu là chữ cái H”.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Nêu nội dung của biến cố hợp M = HK . Mỗi biến cố H, K, M là tập
con nào của không gian mẫu?

a) Không gian mẫu là tập hợp các học sinh trong
tổ lớp, nó có 9 phần tử và được ký hiệu là
Ω = {Hương, Hồng, Dung, Phương, Sơn, Tùng,
Hoàng, Tiến, Hải}.

Hương, Hồng, Dung, Phương

b) Biến cố H xảy ra khi học sinh được chọn là
một bạn nữ
H = {Hương, Hồng, Dung, Phương}.

Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải

1

Một tổ trong lớp 11B có 4 học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung, Phương
và 5 học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải. Trong giờ học, giáo
viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó lên bảng để kiểm tra
bài. Xét các biến cố sau:
H: “Học sinh đó là một bạn nữ”
K: “Học sinh đó có tên bắt đầu là chữ cái H”.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Nêu nội dung của biến cố hợp M = HK . Mỗi biến cố H, K, M là tập
con nào của không gian mẫu?

Biến cố K xảy ra khi học sinh được chọn có tên
bắt đầu là chữ cái H .
K = {Hương, Hồng, Hoàng}.
Biến cố hợp M xảy ra khi học sinh được chọn là
một bạn nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ H, nó là
tập hợp các học sinh trong tập H hoặc K
M = HK = {Hương, Hồng, Dung, Phương, Hoàng}.

Hương, Hồng, Dung, Phương

Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải

2 . BIẾN CỐ GIAO .

Trở lại tình huống trong HĐ1. Xét biến cố D: “Học sinh đó
được điểm giỏi môn Ngữ văn và điểm giỏi môn Toán”.
a) Hỏi D là tập con nào của không gian mẫu?
b) Tìm A B

a) D = {Cường, Trang}
b) A B = {Cường, Trang}

2 . BIẾN CỐ GIAO .

• Cho A và B là hai biến cố. Biến cố : “Cả A và B đều xảy ra”
được gọi là biến cố giao của A và B, kí hiệu là AB
Biến cố giao của A và B là tập con AB
của không gian mẫu

A

AB

Hình 8.2

B



2

Một tổ trong lớp 11C có 9 học sinh. Phỏng vấn 9 bạn này với câu hỏi:
“Bạn có biết chơi môn thể thao nào trong hai môn này không? Nếu biết
thì đánh dấu X vào ô ghi tên môn thể thao đó, không biết thì để trống.
Kết quả thu được như sau :
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các bc sau :
U: “Học sinh được chọn biết chơi cầu lông”
V: “Học sinh được chọn biết chơi bóng bàn”
a) Mô tả không gian mẫu
b) Nội dung của biến cố giao T = UV là gì? Mỗi biến cố U, V, T là tập con
nào của không gian mẫu?

a) Không gian mẫu Ω = {Bảo; Đăng; Giang; Hoa;
Long; Mai; Phúc; Tuấn; Yến}

b) T là biến cố “Học sinh được chọn biết chơi cả
cầu lông và bóng bàn”
Ta có : U = {Bảo; Đăng; Long; Phúc; Tuấn; Yến}
V = {Giang; Long; Phúc; Tuấn}
Vậy T = UV = {Long; Phúc; Tuấn}

2 . BIẾN CỐ GIAO .

2

Một hộp đựng 25 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 25.
Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Xét các biến cố P: “Số
ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 4”; Q: “Số ghi trên tấm thẻ
là số chia hết cho 6”.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Nội dung của biến cố giao S = PQ là gì? Mỗi biến cố P, Q, S
a) Không gian mẫu là tập hợp các số từ 1 đến 25, là Ω = 1,2,3,…,25.
b) Biến cố P là tập hợp các số chia hết cho 4, là P = {4,8,12,16,20,24}.
Biến cố Q là tập hợp các số chia hết cho 6 là Q = {6,12,18,24}.
Biến cố S là giao của hai biến cố P và Q, nghĩa là các số vừa chia
hết cho 4 và vừa chia hết cho 6 , S = PQ = {12 ; 24}
Vậy P, Q và S lần lượt là các tập con của không gian mẫu Ω.

Trở lại tình huống mở đầu. Sử dụng khái niệm biến cố hợp, biến cố
giao, biến cố đối, ta biểu diễn biến cố G, H theo các biến cố M và N
như sau:
Biến cố G xảy ra khi và chỉ khi hoặc gia đình đó có tivi và không có
máy vi tính hoặc gia đình đó không có ti vi và có máy vi tính. Vậy
Biến cố H xảy ra khi và chỉ khi gia đình đó không có cả tivi và máy vi
tính . Vậy
Hãy biểu diễn mỗi biến cố E, F theo các biến cố M và N.

 Biến cố E xảy ra khi và chỉ khi gia đình đó có ti vi hoặc máy vi
tính. Vậy E = MN
Biến cố F xảy ra khi và chỉ khi gia đình đó có cả ti vi và máy vi
tính. Vậy F = MN

3 . BIẾN CỐ ĐỘC LẬP .

Hai bạn Minh và Sơn, mỗi người gieo đồng thời một con xúc xắc cân đối,
đồng chất. Xét hai biến cố sau:
A: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số chẵn“
B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho 3”.
Việc xảy ra hay không xảy ra biến cố A có ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố
B không? Việc xảy ra hay không xảy ra biến cố B có ảnh hưởng tới xác suất xảy ra
của biến cố A không?

 Việc xảy ra biến cố A không ảnh hưởng tới xác suất
xảy ra của biến cố B.
Ngược lại, việc xảy ra biến cố B cũng không ảnh
hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A vì 2 bạn mỗi
người 1 con xúc xắc và gieo đồng thời.

3 . BIẾN CỐ ĐỘC LẬP .

• Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay
không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác
suất xảy ra của biến cố kia.
Chú ý

• Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố : A và ;
và B ; và cũng độc lập.

3

Một hộp đựng 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh, có cùng kích
thước và khối lượng .
a) Bạn Minh lấy ngẫu nhiên một viên bi, ghi lại màu của viên bi được lấy
ra rồi trả lại viên bi vào hộp . Tiếp theo, bạn Hùng lấy ngẫu nhiên một
viên bi từ hộp đó. Xét 2 biến cố sau :
A: “Minh lấy được viên bi màu đỏ”
B: “Hùng lấy được viên bi màu xanh”
Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B độc lập.

a) Nếu A xảy ra, tức là Minh lấy được viên bi màu
đỏ. Vì Minh trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên
trong hộp có 4 bi đỏ và 5 bi xanh.
Nếu A không xảy ra, tức là Minh lấy được viên bi
xanh. Vì Minh trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên
trong hộp có 4 bi đỏ và 5 bi xanh .
Như vậy , sác xuất xảy ra của biến cố B không thay đổi bởi việc xảy ra hay không
xảy ra của biến cố A

3

Một hộp đựng 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh, có cùng kích
thước và khối lượng .
a) Bạn Minh lấy ngẫu nhiên một viên bi, ghi lại màu của viên bi được lấy
ra rồi trả lại viên bi vào hộp . Tiếp theo, bạn Hùng lấy ngẫu nhiên một
viên bi từ hộp đó. Xét 2 biến cố sau :
A: “Minh lấy được viên bi màu đỏ”
B: “Hùng lấy được viên bi màu xanh”
Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B độc lập.

Vì Hùng lấy sau Minh nên
ra hay không xảy ra .
Vậy A và B độc lập.

dù biến cố B xảy

3

Một hộp đựng 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh, có cùng kích
thước và khối lượng .
b) Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi và không trả vào hộp. Tiếp theo,
bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Xét 2 biến cố sau :
C: “Sơn lấy được viên bi màu đỏ”
D: “Tùng lấy được viên bi màu xanh”
Chứng tỏ rằng hai biến cố C và D không độc lập.

b) Nếu C xảy ra, tức là Sơn lấy được bi đỏ. Vì
Sơn không trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên
trong hộp có 3 bi đỏ và 5 bi xanh .
Nếu C không xảy ra, tức là Sơn lấy được bi xanh.
Vì Sơn không trả lại viên bi đã lấy vào hộp nên
trong hộp có 4 bi đỏ và 4 bi xanh .
Như vậy , sác xuất xảy ra của biến cố D đã thay đổi phụ thuộc vào việc biến cố C có
xảy ra hay không xảy ra. Do đó, 2 biến cố C và D không độc lập.

1

Trở lại tình huống trong HĐ3. Xét hai biến cố sau:
E: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số
nguyên tố”
B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số
chia hết cho 3”.
Hai biến cố E và B độc lập hay không độc lập?

Nếu E xảy ra tức là số chấm xuất hiện trên con xúc
xắc bạn Minh gieo là số nguyên tố.
Vì mỗi bạn một con xúc xắc nên
Nếu E không xảy ra tức là số chấm xuất hiện trên con
xúc xắc bạn Minh gieo không là số nguyên tố.
Vì mỗi bạn một con xúc xắc nên
Như vậy xác suất xảy ra của biến cố E không thay đổi bởi việc xảy ra hay
không xảy ra của biến cố B.

1

Trở lại tình huống trong HĐ3. Xét hai biến cố sau:
E: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số
nguyên tố”
B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số
chia hết cho 3”.
Hai biến cố E và B độc lập hay không độc lập?

Vì mỗi bạn một con xúc xắc nên
dù biến cố B xảy ra hay không xảy ra.
Hai biến cố E và B độc lập.

8.1

Một hộp đựng 15 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 15.
Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ và quan sát số ghi trên thẻ. Gọi A là
biến cố “Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 7”; B là biến cố “Số ghi
trên tấm thẻ là số nguyên tố”.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Mỗi biến cố A B và AB là tập con nào của không gian mẫu?

a) Không gian mẫu là các tấm thẻ được đánh số
nên nó gồm 15 phần tử :
b) A là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 7”
nên
B là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố”
nên

A  B 1; 2;3; 4;5;6;7;11;13
AB  2;3;5

8.2

Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:
E: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn”
F: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ”
K: “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn”
Chứng minh rằng K là biến cố hợp của E và F.

E = {(2,2); (2, 4); (2, 6); (4, 2); (4, 4); (4, 6);

(6, 2); (6, 4); (6, 6)}

F = {(1,2); (1, 4); (1, 6); (3, 2); (3, 4); (3, 6); (5, 2);
(5, 4); (5, 6)}
K = {(2,2); (2, 4); (2, 6); (4, 2); (4, 4); (4, 6); (6, 2); (6, 4);
(6, 6); (1,2); (1, 4); (1, 6); (3, 2); (3, 4); (3, 6); (5, 2); (5, 4); (5, 6 )}

Vậy K là biến cố hợp của E và F

8.3

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em. Xét hai biến cố sau:
P: “Học sinh đó bị cận thị”
Q: “Học sinh đó học giỏi môn Toán”.
Nêu nội dung của các biến cố PQ , PQ và

PQ = “Học sinh đó bị cận thị hoặc học giỏi môn Toán”.
PQ = “Học sinh đó bị cận thị và học giỏi môn Toán”.
= “Học sinh đó không bị cận thị và không học

giỏi môn Toán”

8.4

Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ
trắng. Chuồng II có 3 con thỏ trắng và 7 con thỏ đen. Từ mỗi
chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Xét hai biến cố sau:
A: “Bắt được con thỏ trắng từ chuồng I”
B: “Bắt được con thỏ đen từ chuồng II”
Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B độc lập.

Nếu A xảy ra tức là bắt được con thỏ trắng từ
chuồng I. Vậy
Nếu A không xảy ra tức là bắt được con thỏ đen
từ chuồng I. Vậy
Như vậy xác suất xảy ra của biến cố B không thay
đổi bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A.

I

5

10

7

3

II

Vì từ mỗi chuống bắt một con thỏ nên
dù biến cố B có xảy ra hay không. Vậy 2 biến cố A và B độc lập.

8.5

Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có 9 con gà mái và 3 con gà trống.
Chuồng II có 3 con gà mái và 6 con gà trống. Bắt ngẫu nhiên một con
gà của chuồng I để đem bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I
vào chuồng II. Sau đó bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng II. Xét hai
biến cố sau:
E: “Bắt được con gà trống từ chuồng I”
F: “Bắt được con gà mái từ chuồng II”
Chứng tỏ rằng hai biến cố E và F không độc lập.

Nếu E xảy ra tức là bắt được con gà trống từ chuồng I
Vì bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng I để đem
bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I vào
chuồng II nên chuồng II có 12 con gà mái và 8 con gà
trống. Vậy
Nếu E không xảy ra tức là bắt được con gà mái từ
chuồng I

I

9

3

3

6

II

8.5

Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có 9 con gà mái và 3 con gà trống.
Chuồng II có 3 con gà mái và 6 con gà trống. Bắt ngẫu nhiên một con
gà của chuồng I để đem bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I
vào chuồng II. Sau đó bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng II. Xét hai
biến cố sau:
E: “Bắt được con gà trống từ chuồng I”
F: “Bắt được con gà mái từ chuồng II”
Chứng tỏ rằng hai biến cố E và F không độc lập.

Vì bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng I để đem
bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I vào
chuồng II nên chuồng II có 11 con gà mái và 9 con gà
trống. Vậy
Như vậy, xác suất của biế cố F đã thay đổi phụ thuộc
vào biến cố E xảy ra hay không xảy ra. Do đó hai biến
cố E và F không độc lập.

I

9

3

3

6

II