NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG
CẢ LỚP ĐẾN VỚI BÀI HỌC MỚI!

KHỞI ĐỘNG
Cho tam giác ABC vuông tại A và
góc C kí hiệu là α, hãy nhắc lại cách
tính giá trị lượng giác: sin⁡α, cos⁡α,
tan⁡α, cot⁡α.

sin =

cos =

tan =

cot =

CHƯƠNG III: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

BÀI 5: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
CỦA MỘT GÓC TỪ 0 ĐẾN 180
(2 Tiết)

VIDEO 1

NỘI DUNG BÀI HỌC
1. Giá trị lượng giác của một góc
2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác
của hai góc bù nhau

Tiết 1: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC
1. Giá trị lượng giác của một góc
Khái niệm:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nửa
đường tròn tâm O, bán kính R = 1
nằm phía trên trục hoành được gọi
là nửa đường tròn đơn vị.

VIDEO 2

Cho một góc , 0 ≤ ≤ 180. Khi đó có duy nhất điểm M(xo; yo)
trên nửa đường tròn đơn vị nói trên để = .

Để xác định vị trí điểm M ứng với góc thì phải làm
như thế nào?

Phải sử dụng thước đo góc

Hoạt động nhóm 4, thực hiện HĐ1 theo phương pháp khăn trải bàn.
HĐ1

a) Nêu nhận xét về vị trí của điểm M trên nửa đường tròn đơn vị
trong mỗi trường hợp sau:
= 90

< 90

> 90

b) Khi 0 < 90, nêu mối quan hệ giữa cos, sin với hoành độ và tung độ của
điểm M.

VIDEO 3

Giải

Gợi ý câu b):
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu

a)

: M trùng với điểm C.
: M nằm trên cung AC (không
trùng điểm C và A).
: M nằm trên cung CB (không
trùng C và B).

của lên trục Ox và Oy như hình
vẽ:

• Góc nhọn nằm trong tam giác
vuông nào? Độ dài đoạn OM
bằng bao nhiêu?
• Mối quan hệ giữa OH và hoành
độ xo của M, mối quan hệ giữa
OK và tung độ yo của M là gì?
Từ đó tính giá trị sin⁡, cos⁡theo xo, yo.
b) bằng hoành độ của của điểm M.
bằng tung độ của của điểm M.

VIDEO 4

Định nghĩa
Với mỗi góc (0 ≤ ≤ 180), gọi M(xo;⁡yo) là điểm trên nửa đường tròn
đơn vị sao cho . Khi đó:
sin của góc là tung độ yo của điểm M, được kí hiệu là sin⁡α.
côsin của góc là hoành độ xo của điểm M, được kí hiệu là cos⁡.
Khi ≠ 90o (hay xo ≠ 0), tang của là , được kí hiệu là tan⁡.
Khi ≠ 0o và ≠ 180o (hay yo ≠ 0), côtang của là , được kí hiệu là cot⁡.

• Em hãy nêu mối quan hệ giữa tan⁡ và sin ⁡,cos⁡ ? Tương tự,
mối quan hệ giữa với cot⁡ với sin và cos là gì?
• Em hãy nêu mối quan hệ giữa tan⁡ và cot⁡.
Chú ý

tan = ( 90o);
cot = ( 0o và 180o)
tan = ( {0o; 90o; 180o})

VIDEO 5

Bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt:

HS hoạt động nhóm đôi và nghiên cứu Ví dụ 1:
 Để tính tung độ và hoành độ của điểm M ta có thể tính độ dài các
đoạn nào? Đặt trong tam giác nào?
 Tam giác MON đã biết yếu tố nào?
 Chú ý: vị trí điểm M nằm bên nào của trục tung, từ đó nhận xét dấu
của hoành độ và tung độ?
Ví dụ 1

Tìm các giá trị lượng giác của góc 135o.

Giải
Gọi M là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho
= 135o. Gọi N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc
của M lên trục Ox, Oy.
Vì = 135o nên = 45o, = 45o. Vậy các tam giác MON, MOP là vuông cân với
cạnh huyền OM = 1.
Từ đó, ta có ON = OP = . Mặt khác,
điểm M nằm bên trái trục tung nên
có tọa độ là .

Theo định nghĩa, ta có:
sin135o = ;
tan135o = -1;

cos135o = - ;
cot135o = -1

Luyện tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc 120o.
Giải
M là điểm nằm trên nửa đường tròn sao cho = 120o. Gọi
N, P tương ứng là hình chiếu vuông góc của M lên các
trục Ox, Oy.
Vì nên . Xét tam giác MOP vuông tại P có:
.
Điểm M nằm bên trái trục tung nên có tọa độ là .
Theo định nghĩa, ta có:
sin120o = ;

cos120o = ;

tan120o = -;

cot120o =

Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính đúng hoặc
gần đúng các giá trị lượng giác của một góc và tính
góc khi biết giá trị lượng giác của góc đó.
Chú ý
• Khi tìm x biết sinx, máy tính chỉ đưa ra giá trị x ≤ 90o.
• Muốn tìm x khi biết cosx, tanx, ta cũng làm tương tự như
trên, chỉ thay phím sin tương ứng bởi phím cos , tan

Tiết 2: MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
CỦA HAI GÓC BÙ NHAU
2. Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau
Ở lớp 9, em đã biết mối quan hệ giữa tỉ số của hai góc phụ
nhau. Trong mục này, em hãy tìm mối quan hệ giữa các giá trị
lượng giác của hai góc bù nhau.

Em hãy nêu mối quan hệ giữa hai góc
và

Với một góc tùy ý , gọi M, M' là hai điểm trên
nửa đường tròn đơn vị tương ứng với hai góc
bù nhau và .
.
Hoạt động nhóm đôi, hoàn thành HĐ2.
HĐ2

Nêu nhận xét về vị trí của hai điểm M, M' đối với trục Oy.
Từ đó, nêu các mối quan hệ giữa sin và sin(180o - ), giữa
cos và cos(180o - ).
.

KẾT LUẬN

Ví dụ 2

Tính các giá trị của các góc 120o, 135o, 150o.

Giải
Do các góc 120o, 135o, 150o tương ứng bù với các góc 60o, 45o, 30o
nên từ Bảng 3.1, ta cũng có các giá trị lượng giác sau:

Luyện tập 2: Trong Hình 3.6, hai điểm M, N ứng với hai góc phụ nhau và
90o - . Chứng minh rằng ΔMOP = ΔNOQ. Từ đó nêu mối quan hệ giữa cos
và sin(90o - ).
Xét MOP và NOQ, ta có:
= = 90o
OM = ON
=
cos = sin(90o - )

MOP = NOQ

Vận dụng: Một chiếc đu quay có bán kính
75 m, tâm của vòng quay ở độ cao 90 m
(H.3.7), thời gian thực hiện mỗi vòng quay
của đu quay là 30 phút. Nếu một người
vào cabin tại vị trí thấp nhất của vòng quay,
thì sau 20 phút quay, người đó ở độ cao
bao nhiêu mét?

Giải
Do mỗi vòng quay, đu quay mất 30 phút nên sau 20 phút, đu quay
quay được vòng.
Từ đó = . (360o - 90o) = 150o.
Do đó M có tung độ bằng sin⁡150o = .
Mặt khác, 1 đơn vị trong mặt phẳng tọa độ Oxy ứng với 75 m trong
thực tế, nên độ dài đoạn thẳng OQ ứng với = 37,5 m trong thực tế.
Vậy sau 20 phút quay, đu quay ở độ cao là: 37,5 + 90 = 127, 5 (m).

LUYỆN TẬP
Bài 3.1 (SGK - tr37) Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị
của các biểu thức sau:
a) (2sin30o + cos135o - 3tan150o). (cos180o - cot60o);
b) sin290o + cos2120o + cos20o - tan260o + cot2135o;
c) cos60o. sin30o + cos230o.
Chú ý: sin2 = (sin)2, cos2 = (cos)2, tan2 = (tan)2, cot2 = (cot)2

Giải
a) (2sin30o + cos135o - 3tan150o). (cos180o - cot60o)
=
b) sin290o + cos2120o + cos20o - tan260o + cot2135o
= =
c) cos60o. sin30o + cos230o

==

Bài 3.2 (SGK - tr37)

Đơn giản các biểu thức sau:

a) sin100o + sin80o + cos16o + cos164o;
b) 2sin(180o - ). cot - cos(180o - ). tan . cot(180o - ), với 0o <
< 90o.
Giải

a) sin⁡100o + sin⁡80o + cos⁡16o + cos⁡164o
= sin⁡80o + sin⁡80o + cos⁡16o - cos⁡16o = 2sin80o⁡
b) 2sin(180o - ). cot - cos(180o - ). tan . cot(180o - )
= 2 sin ⁡. cot⁡ + cos⁡. tan⁡. (-cot⁡) = 2cos⁡ - cos⁡
= cos⁡

Bài 3.3 (SGK - tr37)

Chứng minh các hệ thức sau:

a) sin2 + cos2 = 1;
b) 1 + tan2 = ( ≠ 90o);
c) 1 + cot2 = (0o < < 180o).

Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị,
sao cho = . Gọi N, P theo thứ tự là hình
chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.

Hướng dẫn

• Khi đó hãy viết tọa độ của M, N, P theo sin⁡
và cos ⁡.
• Tính ON, OP theo sin⁡ và cos⁡.
• Áp dụng tính chất của hình chữ nhật ONMP
tìm mối quan hệ của OM, ON và OP.
• Từ đó chứng minh hệ thức câu a.
• Với câu b và c: viết mối quan hệ của tan⁡ và
sin⁡ , cos⁡ , rồi chứng minh vế trái bằng vế
phải của đẳng thức.

Giải

a) Lấy điểm M trên nửa đường tròn đơn vị, sao cho = . Gọi N, P theo thứ tự là
hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy.
Khi đó N(cos⁡; 0), P(0; sin⁡). Suy ra ON = |cos⁡|, OP = |sin⁡| = sin⁡.
Hơn nữa, tứ giác ONMP là hình chữ nhật có đường chéo OM = 1.
Theo định lí Pythagore ta được OM2 = ON2 + OP2 và do đó sin2⁡+ cos2⁡= 1.

Giải

b) Vì nên .
c) Vì nên .

VẬN DỤNG
Bài 3.4 (SGK - tr37) Cho góc (0o < < 180o) thỏa mãn tan = 3.
Tính giá trị của biểu thức T =

Giải

Do góc có tan = 3 (xác định) nên chia cả tử và mẫu
cho cos 0, ta được

Bài làm thêm

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) sinA = sin(B +C);
b) cosA = - cos(B + C).

Gợi ý

Áp dụng tổng 3 góc trong tam giác có:

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
01

02

03

Ghi nhớ kiến thức

Hoàn thành các bài

Chuẩn bị bài mới -

trong bài

tập trong SBT

Bài 9: Hệ thức lượng
trong tam giác

CẢM ƠN CẢ LỚP ĐÃ CHÚ Ý
LẮNG NGHE BÀI GIẢNG!