y

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
x

BÀI 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A
c
c

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 1

MỞ ĐẦU
Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí sản xuất
để sản xuất đơn vị sản phẩm là (triệu đồng). Khi đó, chi phí
trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là
Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình
giảm theo nhưng luôn lớn hơn 2 triệu
đồng/sản phẩm. Điều này thể hiện trên
đồ thị hàm số trong Hình 1.27 như thế
nào?

√
x

NỘI DUNG BÀI
HỌC

Sơ
đồ
khảo
sát
hàm
số
1
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm
2 số đa thức bậc ba
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
3 phân thức hữu tỉ
-

-

-

0

1

2

3

VIDEO 2

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

a² + b² =
c²
A
c

a
x

1.SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

a
a

y = ax² + bx
+c

B

b

c

HĐ1:
Cho hàm số . Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:
a) Tính và tìm các điểm tại đó .
b) Xét dấu để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến
và cực trị của hàm số.
c) Tính và lập bảng biến thiên của hàm số.
d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ
thị.

VIDEO 3

HĐ1:
GIẢI :

a) Ta có:
.
b)
• Trên khoảng nên hàm số đồng biến.
Trên khoảng nên hàm số nghịch biến.
• Hàm số đạt cực tiểu tại với .

HĐ1:
GIẢI :

c) Giới hạn tại vô cực:
.
Bảng biến thiên:

VIDEO 4

HĐ1:
GIẢI :

d) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm , cắt trục
hoành tại điểm và , nhận đường thẳng làm trục
đối xứng.

Ghi nhớ
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
- Tính đạo hàm . Tìm các điểm tại đó hoặc đạo hàm không tồn tại.
- Xét dấu để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
- Tìm cực trị của hàm số.
- Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận của đồ thị hàm
số (nếu có).
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.

VIDEO 5

Chú ý:
Khi vẽ đồ thị, nên xác định thêm một số điểm đặc biệt
của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm của đồ thị với các
trục tọa độ (khi có và việc tìm không quá phức tạp).
Ngoài ra, cần lưu ý đến tính đối xứng của đồ thị (đối
xứng tâm, đối xứng trục).

2
²
b
+
a²
=c

c

a
b

y

x

√
x
2. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ ĐA THỨC BẬC BA

2

(a+b)
2
=a²+2ab
+b³

√ = | a|
2

Ví dụ 1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Giải:

1. Tập xác định của hàm số:
2. Sự biến thiên
• Ta có: . Vậy khi hoặc
• Trên khoảng nên hàm số đồng biến.
Trên các khoảng và nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
• Hàm số đạt cực tiểu tại , giá trị cực tiểu .
Hàm số đạt cực đại tại , giá trị cực đại .

Giải:

• Giới hạn tại vô cực:

• Bảng biến thiên

Ví dụ 1.

Ví dụ 1.

Giải:

3. Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
• Ta có
hoặc
Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là các điểm và
• Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm

Chú ý:
Đồ thị của hàm số bậc ba

• Có tâm đối xứng là điểm có hoành độ
• Không có tiệm cận.

Ví dụ 2.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Giải:
1. Tập xác định của hàm số:
2. Sự biến thiên
• Ta có: . Vậy với mọi
• Hàm số đồng biến trên các khoảng Hàm số không có cực trị.
• Giới hạn tại vô cực:

Ví dụ 2.
Giải:

• Bảng biến thiên

3. Đồ thị
• Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm
• Ta có

Ví dụ 2.
Giải:

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số
với trục hoành là điểm

Luyện tập 1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Giải:

1. Tập xác định của hàm số: .
2. Sự biến thiên:
• Ta có: .
Vậy với mọi .
• Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Hàm số không có cực trị.
• Giới hạn tại vô cực: .

Giải:

Luyện tập 1

• Bảng biến thiên:

3. Đồ thị: Đồ thị của hàm số đi qua gốc tọa độ
và có tâm đối xứng là điểm

A
I
a
a
a

a

3. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
√
x

a² + b² =
c²
A

C

a
B

b

C

𝒂𝒙 +𝒃
( 𝒄 ≠𝟎 , 𝒂𝒅 −𝒃𝒄 ≠𝟎 )
a ) H à m  s ố  ph â n   th ứ c 𝒚 =
𝒄𝒙 +𝒅

𝑥+1
.
V í d ụ 3. Kh ả o   s á t   s ự  biế n   thi ê n   v à  v ẽ đồ  th ị c ủ a   h à m   s ố 𝑦 =
𝑥 −2
Giải:

1. Tập xác định của hàm số:
2. Sự biến thiên
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng và
Hàm số không có cực trị.

Giải:

Ví dụ 3.

Tiệm cận:

Do đó, đồ thị của hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng , tiệm cận
ngang là đường thẳng

Ví dụ 3.
Giải:

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là điểm

Giải:

Ví dụ 1.

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của
hai đường tiệm cận làm tâm đối
xứng và nhận hai đường phân giác
của các góc toạ bởi hai đường
tiệm cận này làm trục đối xứng.

Chú ý:
Đồ thị của hàm số phân thức

• Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang làm
tâm đối xứng.
• Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường
tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Luyện tập 2

Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi là hàm số xác định với .
Giải:

Vậy hàm số này nghịch biến trên khoảng , chứng tỏ chi phí trung bình
giảm theo .

Luyện tập 2

Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi là hàm số xác định với .
Giải:

Hơn nữa ta thấy với mọi .
Từ đó, ta nhận thấy chi phí trung bình giảm nhưng luôn lớn hơn 2
triệu đồng/sản phẩm.
Ngoài ra, khi càng lớn thì chi phí trung bình càng gần 2.

VẬN DỤNG
Một bể nước ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40
lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).
a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau phút. Từ đó
tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau phút.
b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số với . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số này.
c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo nhưng không vượt
ngưỡng 0,5 gam/lít.

VẬN DỤNG
Giải:

a) Thể tích sau nước sau phút là (lít)
Khối lượng chất khử sau phút là (gam)

Tập xác định:
• Hàm số đồng biến trên khoảng .

Giải:

• Hàm số không có cực trị.
• Tiệm cận:

• Bảng biến thiên:

VẬN DỤNG

Giải:

VẬN DỤNG

• Đồ thị:

c) Do là hàm tăng nên nồng độc hất khử trùng tăng theo thời gian.
Tuy nhiên, do nên nồng độ này không vượt ngưỡng gam/lít.

V í d ụ 4. 
1. Tập xác định của hàm số:

Giải:

V í d ụ 4. 

Trên các khoảng và nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.
Trên các khoảng và nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

Giải:

V í d ụ 4. 

• Hàm số đạt cực đại tại , với
Hàm số đạt cực tiểu tại , với

Giải:

V í d ụ 4. 

• Tiệm cận:

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng , tiệm cận xiên là
đường thẳng .

Giải:
• Bảng biến thiên:

Đồ thị

V í d ụ 4. 

Giải:

Luyện tập 2

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành
là các điểm

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm
cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác
của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các
trục đối xứng.

VÍ DỤ 5
2

𝑥 +𝑥 − 2
Kh ả o   sá t   s ự  biế n   thi ê n   v à  v ẽ đồ  th ị c ủ a   h à m   s ố 𝑦 =
.
𝑥 +1
Giải:

1. Tập xác định của hàm số:

Hàm số đồng biến trên từng khoảng và .
Hàm số không có cực trị.

VÍ DỤ 5
Giải:

• Tiệm cận:

V í d ụ 5. 
Giải:

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng ,
cận xiên là đường thẳng .
Bảng biến thiên:

tiệm

Giải:

V í d ụ 5. 

Đồ thị
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là điểm

Do đó giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành