CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO
SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
BÀI 5. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI
QUYẾT MỘT SỐ VẤN ĐỀ
LIÊN QUAN ĐẾN THỰC TIỄN

MỞ ĐẦU
Một đội bóng đá thi đấu trong một sân
vận động có sức chứa 55 000 khán giả.
Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số
khán giả trung bình là 27 000 người. Qua
đó thăm dò dư luận, người ta thấy rằng
mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng,
sẽ có thêm khoảng 3 000 khán giả.
Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán
vé là lớn nhất?

VIDEO 1

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

NỘI DUNG BÀI HỌC
1
2

TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA
MỘT ĐẠI LƯỢNG
MỘT VÀI BÀI TOÁN TỐI ƯU
HÓA ĐƠN GIẢN

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

1. TỐC ĐỘ THAY ĐỔI CỦA
MỘT ĐẠI LƯỢNG

VIDEO 3

Giả sử là một hàm số của và ta viết . Nếu thay đổi từ đến , thì sự thay
đổi của là
và sự thay đổi tương ứng của là

đối với trên đoạn .
đ tức thời của đối với tại điểm .

Như vậy, đạo hàm là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng đối với tại
điểm . Dưới đây, chúng ta xem xét một số ứng dụng của ý tưởng này đối
với vật lí, hóa học, sinh học và kinh tế:
•Nếu là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì
biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển
theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia
tốc tức thời của vật.

•Nếu là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời
điểm , thì là tốc độ phản ứng tức thời (tức là độ thay đổi nồng độ) của
chất điểm đó tại thời điểm .

VIDEO 4

Nếu là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực
vật tại thời điểm , thì biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của
quần thể tại thời điểm .
Nếu là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất đơn vị hàng
hóa, thì tốc độ thay đổi tức thời của chi phí đối với số lượng đơn
vị hàng được sản xuất được gọi là chi phí biên.
Về ý nghĩa kinh tế, chi phí biên xấp xỉ đối với chi phí để sản xuất
thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo, tức là đơn vị hàng hóa thứ
(xem SGK Toán 11 tập hai, trang 87, bộ sách Kết nối tri thức với
cuộc sống).

Ví dụ 1.
Khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng
thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất m với vận tốc ban đầu m/s là
(theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).
a) Tìm vận tốc của vật sau giây.
b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao lớn nhất đó là bao nhiêu?
c) Khi nào thì vật chạm đất và vận tốc của vật lúc chạm đất là bao nhiêu?

VIDEO 5

Ví dụ 1.

GIẢI :

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là (m/s).
Do đó, vận tốc của vật sau giây là (m/s).
b) Vì là hàm số bậc hai có hệ số nên đạt giá trị lớn nhất tại
Khi đó, độ cao lớn nhất của vật là (m).
c) Vật chạm đất khi độ cao bằng , tức là , hay (giây).
Vận tốc của vật lúc chạm đất là (m/s).
Vận tốc âm chứng tỏ chiều chuyển động của vật là ngược chiều dương (hướng lên trên)
của trục đã chọn (khi lập phương trình chuyển động của vật).

Ví dụ 2.
Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy
trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số

Trong đó thời gian được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu , quần
thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của
và .
dài?

Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu

Ví dụ 2.
GIẢI :
'

Ta   c ó: 𝑃 ( 𝑡 )=

0,75 𝑎 𝑒 − 0,75𝑡

( 𝑏 +𝑒

−0,75 𝑡 2

)

, 𝑡 ≥ 0.

Theo đề bài, ta có và . Do đó, ta có hệ
phương trình:

{

𝑎
=20
𝑎= 20 ( 𝑏+1 )
𝑏+1
⇔
 
15
0,75 𝑎
=12
=12
𝑏+1
2
( 𝑏 +1 )

{

1
Gi ả i   h ệ  ph ươ ng   tr ì nh   n à y ,  ta  đượ c   𝑎=25   v à 𝑏= .
4

Ví dụ 2.
GIẢI :

Khi đó, 18,75 𝑒− 0,75 𝑡
'
𝑃 ( 𝑡 )=
>0 , ∀ 𝑡 ≥ 0 ,
2
1
− 0,75 𝑡
+𝑒
4

(

)

tức là số lượng của quần thể nấm men luôn tăng.
Tuy   nhi ê n ,  do lim

𝑡 →+ ∞

𝑃 (𝑡 )=

lim

𝑡 →+ ∞

25

1
− 0,75 𝑡
+𝑒
4

nên số lượng của quần thể nấm men tăng nhưng không vượt
quá 100 tế bào.

=100

Ví dụ 3.
Giả sử chi phí (nghìn đồng) để sản xuất đơn vị của một loại hàng hóa đó
được cho bởi hàm số
.
a) Tìm hàm chi phí biên.
b) Tìm và giải thích ý nghĩa.
c) So sánh với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 201.

GIẢI :

Ví dụ 3.

a) Hàm chi phí biên là
b) Ta có:
Chi phí biên tại là nghìn đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị
hàng hoá tiếp theo (đơn vị hàng hoá thứ 201) là khoảng nghìn đồng.
c) Chi phí sản xuất đơn vị hàng hoá thứ 201 là
(nghìn đồng)
Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên đã tính ở câu b.

Ví dụ 4.
Để loại bỏ chất gây ô nhiễm không khí từ khí thải của một nhà máy, người ta ước
tính chi phí cần bỏ ra là

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Từ đó, hãy

trả lời các câu hỏi

sau:
a) Chi phí cần loại bỏ ra sẽ thay đổi như thế nào khi tăng?
b) Có thể loại bỏ được chất gây ô nhiễm không khí không? Vì sao?

Ví dụ 4.

Giải:

Do đó hàm số luôn đồng biến trên nửa khoảng

300𝑥
𝑙𝑖𝑚 𝐶(𝑥)= 𝑙𝑖𝑚 =+∞ nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là𝑥=100.
100−𝑥
𝑥→100
𝑥→100
−

Bảng biến thiên:

−

Giải:

Ví dụ 4.

Đồ thị hàm số như Hình.
a) Chi phí cần bỏ ra sẽ luôn tăng khi tăng.
b) Vì (hàm số không xác định khi ) nên nhà
máy không thể loại bỏ chất gây ô nhiễm không
khí (dù bỏ ra chi phí là bao nhiêu đi chăng
nữa).

Luyện tập 1
Khi máu di chuyển từ tim qua các động mạch chính rồi đến các mao mạch
và quay trở lại qua các tĩnh mạch, huyết áp tâm thu (tức là áp lực của
máu lên động mạch khi tim co bóp) liên tục giảm xuống. Giả sử một
người có huyết áp tâm thu (tính bằng mmHg) được cho bởi hàm số

trong đó thời gian được tính bằng giây. Tính tốc độ thay đổi của huyết áp
sau giây kể từ khi máu rời tim.

Luyện tập 1
GIẢI :

Ta có:

Tốc độ thay đổi của huyết áp sau giây kể từ khi máu rời tim là

2. MỘT VÀI BÀI TOÁN TỐI
ƯU HOÁ ĐƠN GIẢN

Một trong những ứng dung phổ biến nhất của đạo hàm cung cấp
một phương pháp tổng quát, hiệu quả để giải những bài toán tối ưu hóa. Trong
mục này, chúng ta sẽ giải quyết những vấn đề thường gặp như tối đa hóa diện
tích, khối lượng, lợi nhuận, cũng như tối thiểu hóa khoảng cách, thời gian, chi phí.
Khi giải những bài toán như vậy, khó khăn lớn nhất thường là việc chuyển
đổi bài toán thực tế cho bằng lời thành bài toán tối ưu hóa toán học bằng cách
thiết lập một hàm số phù hợp mà ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
nó, trên miền biến thiên phù hợp của biến số.

Quy trình giải một bài toán tối ưu hóa:
•

Bước 1: Xác định đại lượng mà ta cần làm cho giá trị của đại lượng ấy lớn nhất hoặc
nhỏ nhất và biểu diễn nó qua các đại lượng khác trong bài toán.

•

Bước 2: Chọn một đại lượng thích hợp nào đó, kí hiệu là , và biểu diễn các đại lượng
khác ở Bước 1 theo . Khi đó, đại lượng sẽ là hàm số của một biến . Tìm tập xác định của
hàm số .

•

Bước 3: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng các phương pháp đã
biết và kết luận.

Ví dụ 5.
Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ, có thể tích lít. Tìm các kích
thước của hộp đựng để chi phí vật liệu dùng để sản xuất là nhỏ nhất (kết quả được
tính theo centimet và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).
Giải:
Đổi lít = .
Gọi (cm) là bán kính đáy của hình trụ, (cm) là chiều cao của hình trụ.
Diện tích toàn phần của hình trụ là:
Do thể tích của hình trụ là nên ta có:

1 000
1 000=𝑉 =𝜋 𝑟 h ,  hay h=
2
𝜋𝑟
2

Giải:

Ví dụ 5.

Ta cần tìm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:
Bảng biến thiên

Giải:

Ví dụ 5.

Lưu ý: Nếu hình trụ có thể tích V không đổi thì diện tích bề mặt của
hình trụ nhỏ nhất khi chiều cao bằng đường kính đáy.

Luyện tập 2
Anh An chèo thuyền từ điểm A trên bờ một con sông
thẳng rộng 3km và muốn đến điểm B ở bờ đối diện cách
8km về phía hạ lưu càng nhanh càng tốt. Anh An có thể
chèo thuyền trực tiếp qua sông đến điểm C rồi chạy bộ
đến B, hoặc anh có thể chèo thuyền thẳng đến B, hoặc
anh cũng có thể chèo thuyền đến một điểm D nào đó
giữa C và B rồi chạy bộ đến B. Nếu vận tốc chèo thuyền
6km/h và vận tốc chạy bộ là 8km/h thì anh An phải chèo
thuyền sang bờ ở điểm nào để đến được B càng sớm
càng tốt? (Giả sử rằng vận tốc của nước là không đáng
kể so với vận tốc chèo thuyền của anh An).

Luyện tập 2
GIẢI :

Gọi (km) là độ dài đoạn . Điều kiện: .
Độ dài quãng đường chèo thuyền là:
Do vận tốc chèo thuyền là 6 km/h nên thời gian chèo thuyền là
Độ dài quãng đường chạy bộ là .
Do vận tốc chạy bộ là 8 km/h nên thời gian chạy bộ là

GIẢI :

Luyện tập 2

Ta cần tìm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có:
Bảng biến thiên:

Vậy anh An cần chèo thuyền đến điểm cách
thời gian đến điểm là ngắn nhất.

Nhắc lại
Nếu là hàm chi phí, tức là chi phí sản xuất đơn vị của một sản phẩm
nào đó, thì chi phí biên là tốc độ thay đổi của đối với , tức là đạo hàm .
Gọi là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán đơn vị. Khi
đó, được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và chúng ta mong đợi đó là một
hàm giảm của . Nếu đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là thì tổng
doanh thu là
Và được gọi là hàm doanh thu. Đạo hàm của hàm doanh thu được gọi
là hàm doanh thu biên và tốc độ thay đổi của doanh thu đối với số
lượng đơn vị sản phẩm bán ra.
Nếu đơn vị được bán, thì tổng lợi nhuận là và được gọi là hàm lợi
nhuận. Hàm lợi nhuận biên là đạo hàm của hàm lợi nhuận.

Ví dụ 6.
Giải bài toán trong tình huống mở đầu
Giải:
Gọi (nghìn đồng) là giá của mỗi vé; là số khán giả mua vé.
Ta cần xác định hàm cầu
Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của tỉ lệ với tốc độ thay đổi của nên hàm số là hàm số
bậc nhất.
Giá vé ứng với
Giá vé ứng với

Ví dụ 6.
Giải:
Do đó, phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và là

tức là
Hàm doanh thu từ tiền bán vé là

Ví dụ 6.
Giải:
Ta cần tìm sao cho đạt giá trị lớn nhất. Ta có:

Bảng biến thiên:

Vậy với giá vé là 95 nghìn đồng một vé thì doanh thu bán vé là lớn nhất.

Ví dụ 7.
Một nhà phân tích thị trường làm việc cho một công ty sản xuất thiết
bị gia dụng nhận thấy rằng nếu công ty sản xuất và bán chiếc máy
xay sinh tố hằng tháng thì lợi nhuận thu được (nghìn đồng) là
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . Sử dụng đồ thị đã vẽ để
trả lời các câu hỏi sau:
a) Khi chỉ sản xuất một vài máy xay sinh tố, công ty sẽ bị lỗ (vì lúc
này lợi nhuận âm). Hỏi hằng tháng công ty phải sản xuất ít nhất bao
nhiêu chiếc máy xay sinh tố để hoà vốn?
b) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu?
Công ty có nên sản xuất 200 chiếc máy xay sinh tố hằng tháng hay
không?

GIẢI :

Ví dụ 7.

Xét hàm số
Ta có:

với mọi với mọi
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng và nghịch biến trên khoảng
Tại , hàm số đạt cực đại và

GIẢI :

Ví dụ 7.

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số như Hình 1.36 (ở đây ta lấy
một đơn vị trên trục hoành bằng 1000 đơn vị
trên trục tung).

GIẢI :

Ví dụ 7.

Từ đồ thị đã vẽ suy ra:
a) Đồ thị xuất phát từ điểm (0; – 48 000), ở
phía dưới trục hoành (tức là công ty đang bị
lỗ), và giao với trục hoành tại điểm đầu tiên có
hoành độ .
Do đó, hằng tháng công ty cần sản xuất
nhất 20 chiếc máy xay sinh tố để

ít

hoà vốn.

GIẢI :

Ví dụ 7.

b) Lợi nhuận lớn nhất mà công ty có thể thu
được là (nghìn đồng), tức là 192 triệu đồng, đạt
được khi sản xuất đúng 100 chiếc máy xay sinh
tố mỗi tháng.
Khi sản xuất hơn 100 chiếc máy xay sinh tố mỗi
tháng thì càng sản xuất nhiều lợi nhuận càng
giảm. Do đó, công ty không nên sản xuất 200
chiếc máy xay sinh tố hằng tháng.

Vận dụng
Một nhà sản suất trung bình bán được 1 000 ti vi màn hình
phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếc. Một cuộc khảo
sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng,
số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần.
a) Tìm hàm cầu.
b) Công ty nên giảm giá bao nhiêu cho người mua để doanh thu
là lớn nhất?
c) Nếu hàm chi phí hàng tuần là (triệu đồng), trong đó là số ti vi
bán ra trong tuần, nhà sản xuất nên đặt giá bán như thế nào để
lợi nhuận là lớn nhất?

Vận dụng
GIẢI :
a) Gọi (triệu đồng) là giá của mỗi chiếc ti vi, là số lượng ti vi bán ra mỗi
tuần.
Theo giả thiết, tốc độ thay đổi của tỉ lệ với tốc độ thay đổi của nên
hàm số là hàm số bậc nhất.
Giá bán tương ứng với và giá bán tương ứng với

.

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm và nên ta có hệ
phương trình:

{

{

1
1000 𝑎+𝑏=14 ⇔ 𝑎=−
1
200 Do  đó, hà m  c ầ u:𝑝=− 𝑥+19
1100 𝑎+𝑏=13,5
200
𝑏=19

GIẢI :

Vận dụng

Hàm doanh thu là:
Ta cần tìm sao cho đạt giá trị lớn nhất. Ta có:
Bảng biến thiên:

Vậy công ty nên giảm 14 – 9,5 = 4,5 triệu cho người mua thì
doanh thu của công ty sẽ lớn nhất.

GIẢI :

Vận dụng

c) Ta có hàm lợi nhuận là
Ta cần tìm sao cho đạt giá trị lớn nhất. Ta có
Bảng biến thiên:

Với thì . Vậy bán với giá là triệu thì lợi nhuận là lớn nhất.