CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

ĐƯỜNG LÊN ĐỈNH
OLYMPIA

VIDEO 1

NHÓM 1

NHÓM 2

NHÓM 5

NHÓM 6

NHÓM 3

NHÓM 4

MỞ ĐẦU
Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt
phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị
đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt
phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Đối với
các đại lượng có hướng trong không gian,
ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn
chúng hay không? Các phép toán vectơ
trong trường hợp này giống và khác như
thế nào với các phép toán vectơ trong
mặt phẳng?

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 2

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 6. VECTƠ TRONG
KHÔNG GIAN
TOÁN 12 - KNTT

VIDEO 3

NỘI DUNG BÀI HỌC
1

VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

2

TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

3

TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

4

TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ
TRONG KHÔNG GIAN

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

VIDEO 4

1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

HĐ1:
Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện
hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ.
a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực
căng dây?
b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trên một mặt phẳng không?
GIẢI:

a) Các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ thể hiện
rằng lực căng dây nằm dọc theo dây treo và
hướng về phía móc treo của cần cẩu. Độ lớn của
các lực căng dây là xấp xỉ bằng nhau.
b) Các đoạn thẳng không cùng nằm trong một mặt
phẳng.

VIDEO 5

Định nghĩa
• Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có
hướng.
• Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng
cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Hình 2.3 cho ta ví dụ
về một số đại lượng có thể được
biểu diễn bởi vectơ trong không
gian. Hãy tìm thêm một số ví dụ
tương tự.
TRẢ LỜI:

Lực kéo của sợi dây tác động lên
thùng hàng.

Chú
V í dý:ụ 2. 
Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta
cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:
-

Vectơ có điểm đầu là và điểm cuối là được kí hiệu là .
Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối
của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là

-

Độ dài của vectơ được kí hiệu là ,
của vectơ được kí hiệu là .

-

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối
của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

độ dài

THẢO LUẬN NHÓM ĐÔI

Ví dụ 1.
Cho tứ diện có độ dài mỗi cạnh bằng .
a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là và điểm
cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện?
b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những
vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng ?
c) Tính độ dàu của các vectơ tìm được ở câu a.
GIẢI:

a) Có ba vectơ là và .
b) Trong ba vectơ và chỉ có hai vectơ và có giá nằm trong
mặt phẳng
c) Vì tứ diện có độ dài mỗi cạnh bằng nên

Luyện tập 1
Cho hình lập phương . Trong các vectơ .
a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng ?
b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?
GIẢI:

a) Các vectơ có giá cùng nằm trong
mặt phẳng là  .
b) Các vectơ có cùng độ dài là  và  .

HĐ2:
Cho hình hộp
a) So sánh độ dài của hai vectơ và .
b) Nhận xét về giá của hai vectơ và  .
c) Hai vectơ  và  có cùng phương không? Có cùng hướng không?
GIẢI:

a) Hai vectơ có độ dài bằng nhau.
b) Hai vectơ có giá song song với nhau.
c) Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

Ghi nhớ
-

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá
song song hoặc trùng nhau.

-

Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc
ngược hướng.

-

Hai vectơ và được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng
có cùng độ dài và cùng hướng.

Nếu hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì hai
vectơ đó có bằng nhau không?
TRẢ LỜI:

Hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì chúng
bằng nhau vì chúng có cùng hướng và cùng độ dài.

Chú ý:
Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước
sau đối với vectơ trong không gian.
-

Trong không gian, với mỗi điểm và vectơ cho trước, có duy nhất
một điểm sao cho  .

-

Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như   gọi là
các vectơ-không.

-

Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng
phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và
được kí hiệu chung là .

Ví dụ 2.
Cho hình lăng trụ
a) Trong ba vectơ , vectơ nào
bằng vectơ ? Giải thích tại sao.

b) Gọi là trung điểm của cạnh .
Xác định điểm sao cho .

GIẢI:

Ví dụ 2.

a) Hai đường thẳng và chéo nhau nên hai vecto và không cùng
phương.
Do đó, hai vectơ và không bằng nhau.
Tứ giác là hình bình hành nên và Hai vecto và có cùng độ dài
và cùng hướng nên hai vectơ đó bằng nhau.
Tương tự, hai vectơ và có cùng độ dài và ngược hướng nên hai
vectơ và không bằng nhau.

GIẢI:

Ví dụ 2.

b) Gọi là trung điểm của cạnh .
Vì tứ giác là hình bình hành nên và
Hình lăng trụ có và suy ra và .
Hai vecto và có cùng độ dài và cùng hướng nên .
Vậy trung điểm của cạnh là điểm cần tìm.

Luyện tập 2
Cho hình chóp có đáy là là hình bình hành.
a) Trong ba vectơ  vectơ nào bằng vectơ ?
b) Gọi là một điểm thuộc cạnh . Xác định điểm sao cho .
GIẢI:

a) Vì là hình bình hành nên // và . Khi
đó: .
b) Để   thì // và .
Suy ra, là hình bình hành.
Khi đó, điểm thuộc cạnh sao cho .

Vận dụng 1
Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là
như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển
từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà, sau đó
di chuyển từ tầng 22 lên tầng 29. Các vectơ

Vận dụng 1

biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy

trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau
không? Giải thích vì sao?

Vận dụng 1
GIẢI:

Nếu biểu thị vị trí của thang máy ở các tầng 15, 22, 29 lần lượt bởi các điểm
thì vectơ biểu thị độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển là
và .
Vận dụng
1
Vì thẳng hàng theo thứ tự nên  và cùng
hướng.

Hơn nữa  và đều có độ dài bằng tổng chiều cao của 7 tầng nên .
Vậy .

2. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

THẢO LUẬN NHÓM ĐÔI

a) Tổng của hai vectơ trong không gian
HĐ3:
Trong không gian cho hai vectơ và không cùng phương. Lấy điểm và vẽ các
vectơ . Lấy điểm khác và vẽ các vectơ .
a) Giải thích vì sao
và .

b) Giải thích vì sao là hình bình
hành, từ đó suy ra .

a) Tổng của hai vectơ trong không gian
HĐ3:
GIẢI:
a) Vì   (cùng bằng ) nên bốn điểm đồng phẳng và tứ giác là hình bình
hành.
Suy ra .
Tương tự, ta có .
b) Từ câu a, suy ra  , do đó bốn điểm đồng phẳng và tứ giác là hình
bình hành.
Vì vậy .

Ghi nhớ
Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy điểm bất kì và
các điểm sao cho , .
Khi đó vectơ được gọi là
tổng của hai vectơ và , kí
hiệu .
Trong không gian, phép
lấy tổng của hai vectơ
được gọi là phép cộng
vectơ.

Nhận xét:
Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt
phẳng vẫn đúng trong không gian:
•

Nếu là ba điểm bất kì thì
.

•

Nếu là hình bình hành thì
.

Ví dụ 3
Cho hình lập phương có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài
của vectơ .
GIẢI:

Tứ giác là hình vuông nên 
Do đó
Tứ giác là hình vuông nên
suy ra

Luyện tập 3
Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ .
GIẢI:
Ta có: 
.
Suy ra .

Chú ý:
Tương tự như phép cộng vectơ trong mặt phẳng, phép cộng
vectơ trong không gian có các tính chất sau:
- Tính chất giao hoán: Nếu và là hai vectơ bất kì thì
- Tính chất kết hợp: Nếu và là ba vectơ bất kì thì .
- Tính chất cộng với vectơ : Nếu là một vectơ bất kì thì .
Từ tính chất kết hợp của phép cộng vectơ trong không gian, ta có thể viết
tổng của ba vectơ và là mà không cần sử dụng các dấu ngoặc. Tương tự đối
với tổng của nhiều vectơ trong không gian.

Ví V
dụí d
4.ụ 2. 
Cho tứ diện . Chứng minh rằng .
GIẢI:

Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có
Từ đó lần lượt áp dụng tính chất của phép cộng
vectơ trong không gian, ta được:

Luyện tập 4
Cho tứ diện . Chứng minh rằng
 .
GIẢI:

Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có:  .
Từ đó lần lượt áp dụng tính chất phép cộng vectơ trong
không gian, ta được:

HĐ4:
Cho hình hộp
a) Hai vectơ và  có bằng nhau hay
không?
b) Hai vectơ  và  có bằng nhau hay
không?
GIẢI:
a) Áp dụng quy tắc hình bình hành: .
b) Ta có:  .
Áp dụng quy tắc hình bình hành: .
Khi đó:

Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp . Khi đó, ta có:

Trong Hình 2.14, hãy phát biểu quy tắc hình hộp với các vectơ có điểm đầu
là .

Cho hình hộp .
Khi đó, ta có:

Ví dụ 5.
Cho hình hộp .
Chứng minh rằng .
GIẢI:

Vì tứ giác là hình bình hành nên .
Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra

Luyện tập 5
Cho hình hộp chữ nhật . Chứng minh rằng 
.
GIẢI:

Ta có:  
Áp dụng quy tắc hình hộp:

b) Hiệu của hai vectơ trong không gian
HĐ5: Hình 2.15 mô tả một lọ hoa được đặt trên
bàn, trọng lượng của lọ hoa tạo nên một lực tác
dụng lên mặt bàn và một phản lực từ mặt bàn lên
lọ hoa. Có nhận xét gì về độ dài và hướng của các
vectơ biểu diễn hai lực đó?

Giải:
Hai lực cùng phương, ngược hướng và có độ lớn bằng nhau.

Ghi nhớ

Trong không gian, vectơ có cùng độ dài
và ngược hướng với vectơ được gọi là
vectơ đối của vectơ , kí hiệu

là .