CHÀO MỪNG
THẦY CÔ VÀ CÁC EM

MỞ ĐẦU
Trong hình 2.34, một chiếc bóng đèn
được treo cách sàn nhà là 2 m, cách
hai bức tường lần lượt là 1 m và 1,5
m. Kiến thức toán học nào giúp mô
tả chính xác và ngắn gọn vị trí của
chiếc bóng đèn trong không gian?

KHỞI ĐỘNG

VIDEO 1

CHƯƠNG II. VECTƠ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN
BÀI 7. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN

NỘI DUNG BÀI
HỌC

y

O

x

01

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
TRONG KHÔNG GIAN

a

a

a

y = ax² + bx
+c

02

TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM, TỌA ĐỘ CỦA
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

a² + b² =
c²
A
c

a
B

b

C

VIDEO 2

HÌNH THÀNH
KIẾN THỨC

1 HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

VIDEO 3

HĐ1
Hình thành khái niệm hệ trục toạ độ trong không
gian
Trong không gian, xét ba trục có chung gốc và đôi một
vuông góc với nhau. Gọi là các vectơ đơn vị trên các
trục đó (H.2.35).
a) Gọi tên các mặt phẳng toạ độ có trong Hình 2.35.
b) Các mặt phẳng toạ độ trong Hình 2.35 có đôi một
vuông góc với nhau không?

HĐ1
Trả lời:
a) Các mặt phẳng tọa độ có trong hình là: .
b) Vì nên
Suy ra .
Tương tự, .
Các mặt phẳng tọa độ trong hình 2.35 đôi một vuông
góc với nhau.

VIDEO 4

KẾT LUẬN
Trong không gian, ba trục đôi một vuông góc với nhau tại gốc
của mỗi trục.
Gọi lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục .
• Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông
góc , hay đơn giản là hệ tọa độ .
• Điểm được gọi là gốc tọa độ.
• Các mặt phẳng đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt
phẳng toạ độ.
Không gian với hệ tọa độ còn được gọi là không gian .

Góc căn phòng trong Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về hệ toạ độ
trong không gian hay không? Nếu có, hãy mô tả gốc toạ độ và các
mặt phẳng toạ độ trong hình ảnh đó.
Trả lời:
Hình 2.34 có gợi lên hình ảnh về một hệ tọa độ .
Gốc tọa độ là góc tường.
Có 3 mặt phẳng tọa độ:
- Mặt phẳng : là nền căn phòng.
- Mặt phẳng : là bức tường bên phải.
- Mặt phẳng : là bức tường bên trái.

VIDEO 5

VÍ DỤ 1
Cho hình lập phương có độ dài mỗi cạnh bằng 1 (H.2.36). Có thể lập một hệ toạ
độ có gốc trùng với đỉnh và các vectơ lần lượt là các vectơ không? Giải thích vì
sao.
GIẢI:

Hình lập phương có các cạnh và đôi một vuông góc
với nhau.
Vì hình lập phương có độ dài mỗi cạnh bằng 1 nên
các vectơ cùng có điểm đầu là và đều có độ dài bằng
1.
Từ các điều trên, suy ra có thể lập một hệ toạ độ
với đỉnh và các vectơ lần lượt là các vectơ .

có gốc

trùng

Luyện tập 1
Cho hình hộp chữ nhật Có thể lập một hệ có gốc trùng với đỉnh và các
vectơ lần lượt cùng hướng với không? Giải thích vì sao.
GIẢI:

Hình hộp chữ nhật có các cạnh đôi một vuông góc
với nhau tại
Mà các vectơ cùng có điểm bắt đầu là .
Do đó có thể lập được một hệ tọa độ có gốc trùng
với đỉnh và các vectơ lần lượt cùng hướng với các
vectơ .

02: TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ
CỦA VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

HĐ2:
Khái niệm tọa độ của điểm trong không gian
Trong không gian , cho một điểm không thuộc các mặt phẳng toạ
độ. Vẽ hình hộp chữ nhật có ba đỉnh lần lượt thuộc các tia (H.2.37).

a) Hai vectơ

và

có bằng nhau hay

không?
b) Giải thích vì sao có thể viết với là các
số thực.

Trả lời:

HĐ2:
a) Sử dụng quy tắc hình hộp ta được:
b) Ta có: lần lượt là các vectơ đơn vị
trên và cùng hướng với ;
hướng với ; cùng hướng với .
Ta có: ; ;

cùng

KẾT LUẬN

Hãy tìm toạ độ của gốc
Trả lời:

Tọa độ của gốc là .

VÍ DỤ 2:
Hình 2.38 minh hoạ một hệ toạ độ trong không gian cùng với các hình
vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm toạ độ của điểm .
GIẢI:

Trong Hình 2.38, là hình hộp chữ nhật.
Áp dụng quy tắc hình hộp suy ra

Vì vậy, toạ độ của điểm là

Luyện tập 2
Tìm toạ độ của điểm trong Hình 2.39.
GIẢI:

Ta có:
Vậy, tọa độ của điểm là .

VÍ DỤ 3
Trong không gian , cho hình hộp chữ nhật có đỉnh trùng với gốc và các đỉnh
lần lượt thuộc các tia (H.2.40). Giả sử đỉnh có toạ độ là đối với hệ toạ độ ,
hãy tìm toạ độ của các đỉnh đối với hệ toạ độ đó.
GIẢI:

Vì đỉnh thuộc tia nên hai vectơ và cùng
phương, suy ra có số thực sao cho .
Tương tự, có các số thực sao cho và .

VÍ DỤ 3
GIẢI:

Theo quy tắc hình hộp, suy ra
và do đó điểm có toạ độ là
Mặt khác, đỉnh có toạ độ là nên
tức là .
Từ đây suy ra và

Luyện tập 3
Trong Ví dụ 3, hãy xác định toạ độ của các điểm và .

GIẢI:

Ta có điểm nên:
- Hoành độ của bằng 0.
- Tung độ của bằng tung độ của và bằng 3.
- Cao độ của bằng cao độ của và bằng 5.
.
Tương tự, và .

Nhận xét
Nếu điểm có tọa độ đối với hệ tọa độ thì:
- Hình chiếu vuông góc của điểm trên các trục có tọa độ lần
lượt là , và .
- Hình chiếu vuông góc của trên các mặt phẳng và có tọa độ
lần lượt là và .

VẬN DỤNG 1
Trong tình huống mở đầu, hãy chọn một hệ toạ độ phù hợp và xác định toạ độ
của chiếc bóng đèn đối với hệ toạ độ đó.
GIẢI:

Chọn hệ trục như hình vẽ.
Khi đó tọa độ của điểm chính là tọa độ của
bóng đèn với .

HĐ3:
Khái niệm tọa độ của vectơ trong không gian
Trong không gian , cho vectơ tuỳ ý (H.2.41). Lấy điểm sao cho và giải
thích vì sao có bộ ba số sao cho .
GIẢI:

Áp dụng khái niệm tọa độ của điểm trong
không gian, ta có:

Mà nên .

KẾT LUẬN
Trong không gian , cho vectơ tùy ý. Bộ ba số duy
nhất sao cho

được gọi là tọa độ của vectơ

đối với hệ tọa độ . Khi đó,

ta viết hoặc .

Nhận xét
- Tọa độ của vectơ cũng là tọa độ của điểm sao cho .
- Trong không gian, cho hai vectơ và

Khi đó, nếu và chỉ nếu: .

VÍ DỤ 4
Trong không gian , hãy tìm toạ độ của các vectơ
GIẢI:

Vì nên
Vì nên
Vì nên

Luyện tập 4
Trong không gian , hãy xác định toạ độ của vectơ
GIẢI:

Ta có
suy ra
Vây tọa độ của vectơ là .

HĐ4:
Thiết lập tọa độ của vectơ theo tọa độ hai đầu mút
Trong không gian , cho hai điểm và
a) Hãy biểu diễn hai vectơ và qua các vectơ
b) Xác định toạ độ của vectơ .
GIẢI:

và
a)
b) Ta có suy ra:

KẾT LUẬN
Trong không gian , cho hai điểm và .
Khi đó:

VÍ DỤ 5:
Trong không gian , cho hình lăng trụ tam giác có
và
a) Tìm toạ độ của .
GIẢI:

b) Tìm toạ độ của các điểm

a) Ta có .
b) Gọi toạ độ của điểm là thì .
Vì là hình lăng trụ nên là hình bình hành, suy ra

VÍ DỤ 5:
Trong không gian , cho hình lăng trụ tam giác có
và
a) Tìm toạ độ của .
GIẢI:

b) Tìm toạ độ của các điểm

Do đó hay và
Vậy
Lập luận tương tự suy ra

Luyện tập 5
Trong ví dụ 5, xác định toạ độ của các điểm và sao cho là hình
hộp.
GIẢI:

Để là hình hộp thì và là hình chữ nhật.
* Để là hình chữ nhật thì
và cùng phương, cùng chiều
Gọi tọa độ điểm là
Mà suy ra
Vậy .

Luyện tập 5
Trong ví dụ 5, xác định toạ độ của các điểm và sao cho là hình
hộp.
GIẢI:

* Để là hình chữ nhật thì
và cùng phương, cùng chiều;
Gọi tọa độ của là và
Mà suy ra
Vậy .

Vận dụng 2
Để theo dõi hành trình của một chiếc máy bay, ta có thể lập hệ toạ độ
có gốc trùng với vị trí của trung tâm kiểm soát không lưu, mặt phẳng
trùng với mặt đất (được coi là phẳng) với trục hướng về phía tây, trục
hướng về phía nam và trục hướng thẳng đứng lên trời (H.2.43). Sau khi
cất cánh và đạt độ cao nhất định, chiếc máy bay duy trì hướng bay về
phía nam với tốc độ không đổi là 890 km/h trong nửa giờ. Xác định toạ
độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của chiếc máy bay trong nửa giờ
đó đối với hệ toạ độ đã chọn, biết rằng đơn vị đo trong không gian
được lấy theo kilômét.

Vận dụng 2
GIẢI:

Chiếc máy bay bay về phía nam trong nửa giờ,
nghĩa là nó di chuyển theo trục với độ dài
Do máy bay bay ở độ cao nhất định, nên độ
dịch chuyển của nó theo trục và bằng
Vậy, toạ độ của vectơ biểu diễn độ dịch chuyển
của chiếc máy bay trong nửa giờ đó là .

LUYỆN TẬP

Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm .
Tìm tọa độ điểm  là hình chiếu vuông góc của lên
mặt phẳng .

A.

C.

B.

D.

Câu 2: Cho hai vectơ và . Biết rằng , hãy tính giá
trị biểu thức:

A .  3

C .  1

B .  2

D . − 1

Câu 3: Cho hai điểm và . Hãy tính ?

⃗
A .  𝑀𝑁 ( −2;6;3 )
⃗
C.  𝑀𝑁 ( −2;−6;−3 )

⃗
B .  𝑀𝑁 ( 2;6;3 )
⃗
D .  𝑀𝑁 ( −4;2;−1 )

Câu 4: Nếu ta có , với là các số thực. Thì điểm có
tọa độ là:

A. 𝑀 ( 𝑎;𝑐 ;𝑏)

C.  𝑀 ( 𝑎 ;𝑏;𝑐 )

B. 𝑀 ( −𝑎;−𝑏;−𝑐 )

D. 𝑀 ( 0;0; 0 )

Câu 5: Trên hệ tọa độ , cho hình
hộp với các đỉnh có tọa độ như
hình vẽ. Biết rằng là hình bình
hành. Tính tọa độ của đỉnh .

A .  𝐷 ( −1 ; 2 ; 4 )

B .  𝐷 ( 1 ; 2 ; 4 )

C.  𝐷 ( −1 ; −2 ; 4 )

D .  𝐷 ( 1 ; 2 ; − 4 )

Câu trắc nghiệm đúng sai

Câu 1: Trong không gian , cho ba điểm
a)  .
b)  .
c)  
d) Tọa độ của điểm sao cho là hình bình hành là