CHƯƠNG
CHƯƠNG
VIII. ĐẠII SỐ TỔ HỢP

TOÁN ĐẠI
SỐ
➉

25

NHỊ THỨC NEWTON

1 XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.
2ỨNG DỤNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON VÀO CÁC BÀI TOÁN

LIÊN QUAN.

3
4

Ở lớp 8, khi học về hằng đẳng thức, ta đã biết khai triển:

Quan sát các đơn thức ở vế phải của các đẳng thức trên, hãy nhận xét về
quy luật số mũ của và . Có thể tìm được cách tính các hệ số của đơn thức
trong khai triển khi không?

1
4

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.

HĐ1: Hãy xây dựng sơ đồ hình cây của tích hai
nhị thức như sau:

Trả lời:
Sơ đồ hình cây của

Từ một điểm gốc, kẻ các mũi tên, mỗi mũi tên
tương ứng với một đơn thức (gọi là nhãn của
𝑎
𝑏
mũi tên) của nhị thức thứ nhất (H.8.6);
Từ ngọn của mỗi mũi tên đã xây dựng, kẻ các
𝑐
𝑑
𝑐
𝑑
mũi tên, mỗi mũi tên tương ứng với một đơn
thức của nhị thức thứ hai;
𝑎⋅𝑐 𝑎⋅ 𝑑 𝑏⋅𝑐 𝑏⋅𝑑
Tại ngọn của các mũi tên xây dựng tại bước sau
Hình 8.6
cùng, ghi lại tích của các nhãn của các mũi tên đi
Tổng các tích nhận được là:
từ điểm gốc đến đầu mút đó.
Hãy lấy tổng của các tích nhận được và so sánh
Tổng này chính là kết quả của khai triển
kết quả với khai triển của tích .

1
4

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.
HĐ2: Hãy cho biết các đơn thức còn
thiếu trong sơ đồ hình cây của tích

Có bao nhiêu tích nhận được lần lượt
bằng ?
Hãy so sánh chúng với các hệ số nhận
được khi khai triển .

Sơ đồ
đồ hình
hình cây
cây của
của
Sơ

𝑎
𝑎

𝑏

𝑏
𝑎

𝑏

𝑎
…
…
…
𝑎 𝑏𝑎 …
…
…
3
…
3
2
3 2 … …
𝑏
3
𝑎
𝑏
𝑎

1
4

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.
Trả lời:
Sơ đồ hình cây của

𝑎

Nhận
xét

Các tích nhận được từ cây sơ đồ hình
cây của một tích các đa thức giống
như cách lấy ra một đơn thức từ mỗi
đa thức rồi nhân lại với nhau. Hơn nữa,
tổng của chúng cho ta khai triển của
tích các đa thức đã cho.

𝑏

𝑎

Có 1, 3, 3, 1 tích nhận được lần lượt
bằng

𝑏𝑎 𝑏

𝑎
3

2

2

𝑎 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎𝑏

𝑏

𝑎

𝑏

2

𝑎 𝑏 𝑎 𝑏
2

𝑎 𝑏 𝑎𝑏 𝑎𝑏
2

2

3

𝑏

1
4

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.

Chẳng hạn, trong sơ đồ hình cây (H.8.8) của
thì các tích nhận được là cũng chính là các
tích nhận được khi ta lấy một hạng tử của nhị
thức thứ nhất (là hoặc ) nhân với một hạng
tử của nhị thức thứ hai (là hoặc ). Ta có:
.

𝑏

𝑎

Nhận
xét

𝑐
𝑎⋅𝑐

𝑐

𝑑
𝑎⋅ 𝑑

𝑑

𝑏⋅𝑐 𝑏 ⋅𝑑

( 𝑎+𝑏 ) ⋅( 𝑐+ 𝑑)
Hình 8.8

1
4

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.
HĐ3: Hãy vẽ sơ đồ hình cây của khai triển được mô tả như Hình 8.9.

Sau khi khai triển, ta thu được một tổng gồm (theo quy tắc nhân)
đơn thức có dạng , trong đó mỗi là hoặc . Chẳng hạn, nếu là , còn
là thì ta có đơn thức , thu gọn là . Để có đơn thức này, thì trong 4
nhân tử có 1 nhân tử là , 3 nhân tử còn lại là . Khi đó số đơn thức
đồng dạng với trong tổng là .

1
4

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.
Sơ đồ hình cây của

HĐ3:

Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức
về tổ hợp, hãy cho biết trong tổng nêu

Trả lời

Có đơn thức đồng dạng với
mỗi đơn thức .

𝑎 𝑏

𝑎 𝑏

trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng
với mỗi đơn thức thu gọn sau:
,

𝑏

𝑎

𝑎

𝑏 𝑎 𝑏

𝑎 𝑏

𝑎 𝑏

𝑎 𝑏𝑎 𝑏 𝑎 𝑏𝑎 𝑏 𝑎 𝑏𝑎 𝑏 𝑎 𝑏𝑎 𝑏
Hình 8.9

Trong khai triển nhị thức Newton

a  b 

4

, các đơn thức có bậc là 4.

1
4

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.
Nhận xét

Trong khai triển nhị thức Newton , các đơn thức có bậc là 4.

1
4

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.

Ví dụ 1

Khai triển
Bài giải

Thay và trong công thức khai triển của , ta được:
.

1
4

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.

Luyện tập
1.

Khai triển
Bài giải

Thay và trong công thức khai triển của , ta được:
.

1
4

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.
HĐ4: Tương tự như HĐ3, sau khi khai triển , ta thu được một tổng gồm đơn
thức có dạng , trong đó mỗi là hoặc . Chẳng hạn, nếu là , còn là thì
ta có đơn thức , thu gọn là . Để có đơn thức này, thì trong nhân tử có
nhân tử là , nhân tử còn lại là . Khi đó số đơn thức đồng dạng với
trong tổng là .

Lập luận tương tự trên, dùng kiến thức về tổ hợp, hãy cho biết trong
tổng nêu trên, có bao nhiêu đơn thức đồng dạng với mỗi đơn thức thu
gọn sau:
,
Từ HĐ 4, sau khi rút gọn các đơn thức đồng dạng ta thu được:

Trong khai triển nhị thức Newton , các đơn thức có bậc là 5.

1
4

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.

Ví dụ 2

Khai triển
Bài giải

Thay và trong công thức khai triển của , ta được:
.

1
4

XÂY DỰNG CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON.

Luyện tập
2.

Khai triển
Bài giải
Nhận
xét

Các công thức khai triển với là công cụ hiệu quả để
xác hoặc
xấp ,xỉtamột
số đại lượng mà không
Thay và trong tính
côngchính
thức khai
triển của
được:
cần dùng máy tính.

2
4

VẬN DỤNG

VẬN Dụng

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của để tính giá trị gần
đúng của .
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của và tính sai số tuyệt đối của
giá trị gần đúng nhận được ở câu a
Bài giải

a).
b) Cách bấm: 1.05^4=
Hiển thị

Sai số tuyệt đố:

BÀI TẬP

3
4

BÀI 8.12

Khai triển các đa thức:
a)
b)
c)
d)
Bài giải

.
b
.

BÀI TẬP

3
4

BÀI 8.12

Khai triển các đa thức:
a)
b)
c)
d)
Bài giải

c

d

3
4

BÀI TẬP

BÀI 8.13

Tìm hệ số của trong khai triển của

Bài giải

Số hạng thứ 4 của khai triển là .
Vậy hệ số của trong khai triển là .

3
4

BÀI TẬP

BÀI 8.14

Biểu diễn dưới dạng với là các số nguyên.

Bài giải

Nhận xét:
)
Do đó: )

3
4

BÀI TẬP
BÀI 8.15

a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của để tính giá trị gần
đúng của .
b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của . và tính sai số tuyệt đối của
giá trị gần đúng nhận được ở câu a
Bài giải

a).
b) Cách bấm: 1.02^5=
Hiển thị

Sai số tuyệt đố:

3
4

BÀI TẬP

BÀI 8.16

Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả
sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là
a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy
ra công thức tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa là (nghìn người).
b) Với , dùng hai số hạng đầu trong khai triển của , hãy ước tính số dân
của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

3
4

BÀI TẬP

Bài giải

Số dân của tỉnh đó sau 1 năm là (nghìn người)
Số dân của tỉnh đó sau 2 năm là
(nghìn người).
Lập luận hoàn toàn tương tự ta có số dân của tỉnh đó sau 5 năm là:
(nghìn người)
b) Số dân của tỉnh đó ước tính sau 5 năm nữa là:
(nghìn người)

3
4

BÀI TẬP

Em có biết?

Trong di truyền quần thể, nguyên lí Hardy-Weinberg đưa ra công thức
toán học tính tần số của các kiểu gen trong một quần thể (thỏa mãn một
số điều kiện) ở các thế hệ.
Trong trường hợp ở mỗi vị trí trên nhiễm sắc thể chỉ có hai alen (là một
trạng thái cụ thể của một gen) và với các tần số khởi đầu lần lượt là và ,
tức là ), công thức của lí Hardy-Weinberg là tương ứng với khai triển nhị
thức Newton.

3
4

BÀI TẬP

Em có biết?

Chẳng hạn:
• Tần số các kiểu gen tương ứng là
(ứng với qui tắc kết hợp );
• Tần số các kiểu gen tương ứng là
(ứng với );
• Tần số các kiểu gen tương ứng là
(ứng với
• Tổng quát, ta có tần số kiểu gen gồm alen A và gen gồm alen B là .

TIẾT HỌC ĐẾN ĐÂY KẾT THÚC