Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
CHƯƠNG
CHƯƠNG
IV. IVECTƠ
TOÁN HÌNH
HỌC
➉
1
2
3

10

VECTƠ TRONG MẶT PHẲNG TỌA
ĐỘ

TỌA ĐỘ CỦA
VECTƠ
BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
BÀI
TẬP

từ vị trí có tọa độ (13,1;119,2) đến vị trí có tọa độ
(14,3;116,3)

Hình 4.31. Ta có
thể
dùng
một
phần mặt phẳng
tọa độ để mô tả
một phạm vi nhất
định trên Trái Đất
mà vị trí x0 vĩ bắc,
y0 kinh đông của
tâm ấp thấp được
thể hiện bởi điểm

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
1. TỌA ĐỘ CỦA
VECTƠ
 HĐ1: Trên trục số , gọi là điểm biểu diễn số và đặt . Gọi là điểm
biểu diễn số , là điểm biểu diễn số . Hãy biểu thị mỗi vectơ theo
vectơ .
 Đáp án:
•
 Trục toạ độ (còn gọi là trục, hay trục số ) là một đường thẳng mà
trên đó đã xác định một điểm và một vectơ có độ dài bằng 1.
Điểm gọi là gốc toạ độ, vectơ gọi là vectơ đơn vị của trục. Điểm
trên trục biểu diễn số (hay có toạ độ ) nếu .
 Chú ý: Điểm gốc có tọa độ là .

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
1. TỌA ĐỘ CỦA
VECTƠ
 HĐ2: Trong hình 4.33:
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ theo các vectơ .
b) Hãy biểu thị vectơ theo các vectơ ; từ đó
biểu thị vectơ theo các vectơ .

 Hướng dẫn:
a) Ta có:

b) Ta có:

𝑀2

𝑀1

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
1. TỌA ĐỘ CỦA
VECTƠ
 Với mỗi vectơ trên mặt phẳng , có duy nhất
cặp số sao cho . Ta nói vectơ
có tọa độ và viết hay .
Các số tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của .
 Ví dụ 1:
•


 OM 3;5 


5

 MN   5;  
2



5

 ON   2; 
2


Nhận xét: Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
 HĐ3: Trong mặt phẳng tọa độ , cho , , .
a) Hãy biểu thị mỗi vectơ , , theo các vectơ , .
b) Tìm tọa độ của các vectơ , .
c) Tìm mối liên hệ giữa hai vectơ , .
 Hướng dẫn:
a)

;
;

b)
c) ;



4 2;  3  a 4u

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
 Cho hai vectơ và . Khi đó:
với
 VD2: Cho và .
a) Tìm tọa độ vectơ ; .
 Hướng dẫn:

b) Hỏi có cùng phương hay không?

a) Vì , nên .
• Ta có nên .
b) Do nên hai vectơ cùng phương.
 Nhận xét: Vectơ cùng phương với vectơ khi và chỉ khi tồn tại số
sao cho (hay là nếu ).

C

Câu hỏi trắc nghiệm:

CÂU 1
Vectơ được phân tích theo hai vectơ đơn vị như thế nào?

A .
Bài giải
Chọn D
Ta có : .

B

.

C

.

.
D
D

III Câu hỏi trắc nghiệm:

CÂU 4
Trong mặt phẳng tọa độ , cho , . Tọa độ của vec tơ là

A

.
Bài giải

Chọn C
Ta có: .

B

.

C
C

.

D

.

III Câu hỏi trắc nghiệm:

CÂU 5
Trong mặt phẳng tọa độ , cho , , . Tọa độ của là

A

.

Bài giải
Chọn C
Ta có: .

B

.

C
C

.

D

.

III Câu hỏi trắc nghiệm:

CÂU 7
Cho . Hai vectơ

A

.

B

và cùng phương nếu số là

.

Bài giải
Chọn D
cùng phương

⇔∃𝑘:𝑏 ⃗=𝑘𝑎 ⃗⇒𝑥=𝑘.0=0

C

.

D
D

.

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
 HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho
điểm . Gọi , tương ứng là hình chiếu
vuông góc của điểm trên trục hoành và
trục tung
a) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu
thị theo và tính độ dài của theo .

Hình 4.35
b) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu  Hướng dẫn:
a)
thị theo và tính độ dài của theo .
c) Dựa vào hình chữ nhật , tính độ dài của
theo , .
d) Biểu thị theo các vectơ đơn vị , .

• .

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
 HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho
điểm . Gọi , tương ứng là hình chiếu
vuông góc của điểm trên trục hoành và
trục tung
a) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu
thị theo và tính độ dài của theo .

Hình 4.35
b) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu  Hướng dẫn:
b)
thị theo và tính độ dài của theo .
c) Dựa vào hình chữ nhật , tính độ dài của
theo , .
d) Biểu thị theo các vectơ đơn vị , .

• .

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
 HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho
điểm . Gọi , tương ứng là hình chiếu
vuông góc của điểm trên trục hoành và
trục tung
a) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu
thị theo và tính độ dài của theo .

Hình 4.35
b) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu  Hướng dẫn:
c) Độ dài của vectơ
thị theo và tính độ dài của theo .
c) Dựa vào hình chữ nhật , tính độ dài của
theo , .
d) Biểu thị theo các vectơ đơn vị , .

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
 HĐ4: Trong mặt phẳng tọa độ , cho
điểm . Gọi , tương ứng là hình chiếu
vuông góc của điểm trên trục hoành và
trục tung
a) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu
thị theo và tính độ dài của theo .

Hình 4.35
b) Trên trục , điểm biểu diễn số nào? Biểu  Hướng dẫn:
d)
thị theo và tính độ dài của theo .
c) Dựa vào hình chữ nhật , tính độ dài của
theo , .
d) Biểu thị theo các vectơ đơn vị , .

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
 Nếu điểm có tọa độ thì vectơ có tọa độ và có độ dài .
 Chẳng hạn, cho thì vectơ và .
Nhận xét:
• Với , ta lấy điểm thì . Do đó .
 Chẳng hạn, vectơ có độ dài là .

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
 HĐ5: Trong mặt phẳng tọa độ ,  Hướng dẫn:
cho các điểm và .
a) Ta có
a) Tìm tọa độ của các vectơ , .

• .

b) Biểu thị vectơ theo các
vectơ , và tìm tọa độ của vectơ .

b) Ta có

c) Tìm độ dài của vectơ .
.
c) Ta có
.

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
 Với hai điểm và thì và khoảng
 Hướng dẫn:
cách giữa hai điểm , là
a) Ta có
• .
• .
 VD3: Trong mặt phẳng tọa độ ,
Khoảng cách từ tới và là:
cho ba điểm , , .
a) Tìm tọa độ của các vectơ , .
So sánh các khoảng cách từ tới
.
và .
b) Hai vectơ , không cùng
b) Ba điểm , , thẳng hàng không?
phương (vì )
c) Tìm điểm để là một hình thoi.
Do đó , , không thẳng hàng.

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
 Với hai điểm và thì và khoảng
 Hướng dẫn:
cách giữa hai điểm , là
c)
Các điểm không thẳng hàng
và , nên là một hình thoi .
 VD3: Trong mặt phẳng tọa độ ,
cho ba điểm , , .
a) Tìm tọa độ của các vectơ , .
So sánh các khoảng cách từ tới
và .
b) Ba điểm , , thẳng hàng không?
• Vậy .
c) Tìm điểm để là một hình thoi.

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
 Luyện tập 2:

 Hướng dẫn:

Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai a) Ta có
điểm , .
a) Các điểm , , có thẳng hàng
không?
b) Tìm điểm để là một hình
bình hành.

• Hai vectơ , không cùng phương
(vì )
• Do đó các điểm , , không cùng
nằm trên một đường thẳng.
• Vậy , , không thẳng hàng.

Học để biết, học để làm, học để chung sống, học để khẳng định mình
2. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN
VECTƠ
 Hướng dẫn:
 Luyện tập 2:
b)
Trong mặt phẳng tọa độ , cho hai
điểm , .
a) Các điểm , , có thẳng hàng
không?
b) Tìm điểm để là một hình

• Các điểm , , không thẳng hàng
nên là một hình bình hành khi
và chỉ khi .

bình hành.
• Vậy .