CHƯƠNG II. BẤT ĐẲNG THỨC.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

CHƯƠNG II. BẤT ĐẲNG THỨC.
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Bất đẳng thức

Bất phương trình
bậc nhất một ẩn

KHỞI ĐỘNG
Tìm hiểu trên Internet, bạn Minh được biết một con voi trưởng thành
nặng khoảng kg, một con hổ trưởng thành nặng khoảng kg, một con tê
giác đen trưởng thành nặng khoảng kg.

Hệ thức dạng
gợi lên
khái niệm gì trong toán học?
Để biểu thị cân nặng của con voi hơn tổng cân nặng của cả con hổ và
con tê giác ta cần viết như thế nào?

𝟓𝟎𝟎𝟎>𝟐𝟎𝟎+𝟒𝟓𝟎

Bài 1. Bất đẳng thức

TRÒ CHƠI: Ô SỐ MAY MẮN
Thể lệ trò chơi:
+ Mỗi học sinh chọn một số trong bảng 5 số. Mở mỗi số có một câu hỏi, học
sinh chọn đáp án đúng nhất trong 30 giây, học sinh sẽ được quay vòng quay
may mắn để nhận thưởng.
+ Trong 5 số, có một số may mắn không phải trả lời câu hỏi và được quay
vòng quay may mắn để nhận thưởng.

10

ần
h
P
g
n
ở
thư

Ô SỐ MAY
MẮN
8

2

ần
Ph ng
ưở
th

5

8

10

4

3

9

1

9

QUAY

Câu hỏi: Điền vào chỗ trống
Nếu số thực nhỏ hơn số thực ta viết ……… hay ………
A. hay

B. hay

C. hay

D hay
D.

Câu hỏi: Điền vào chỗ trống được đáp án lần lượt là:
Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực ……… Số thực nhỏ hơn
0 gọi là số thực ………
A. không âm, âm

B. không âm, dương

C.
C dương, âm

D. dương, không âm

Câu hỏi: Điền vào chỗ trống:
Với hai số thực ta có:
• thì cùng dương hoặc cùng âm (hay cùng dấu).
• thì …
A.
A trái dấu

B. cùng dương

C. cùng âm

D. cùng dấu

Câu hỏi: Điền vào chỗ trống:
Với là hai số thực dương, nếu … thì .
A.

B.
B

C.

D.

Bài 1. Bất đẳng thức
I. Nhắc lại về thứ tự trong tập hợp số thực
• Nếu số thực nhỏ hơn số thực ta viết hay .
• Số thực lớn hơn 0 gọi là số thực dương. Số thực nhỏ hơn 0 gọi là
số thực âm.
• Trên trục số nằm ngang, nếu số thực a nằm bên trái số thực b thì
hay .

𝑎

𝑏

• Tổng của hai số thực dương là số thực dương. Tổng của hai số
thực âm là số thực âm.

Bài 1. Bất đẳng thức
I. Nhắc lại về thứ tự trong tập hợp số thực
• Với hai số thực ta có:
thì cùng dương hoặc cùng âm (hay cùng dấu).
thì trái dấu.
• Với mỗi số thực , ta luôn có . Dấu xảy ra khi
• Với là hai số thực dương, nếu thì .

I. Nhắc lại về thứ tự trong tập hợp số thực
Ví dụ 1. So sánh:
a) và
b) và
c) và
Giải
a) Ta có: .
c) Ta có:
Vậy .
Do nên
b) Ta có:
Vậy
Do nên .
Vậy .

HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI
Vế phải
II. Bất đẳng thức
Vế trái
1. Khái niệm
❓Viết hệ thức thể hiện số thực nhỏ hơn số thực .
𝑎 <𝑏
Ta gọi hệ thức dạng (hay ) là bất đẳng thức và gọi là vế trái, là vế
phải của bất đẳng thức.
Chú ý:
• Hai bất đẳng thức và (hay và ) được gọi là hai bất đẳng thức
cùng chiều.
• Hai bất đẳng thức và (hay và ) được gọi là hai bất đẳng thức
ngược chiều.

II. Bất đẳng thức
1. Khái niệm
Ví dụ 2. Hãy viết hai cặp bất đẳng thức cùng chiều và hai cặp bất
đẳng thức ngược chiều.
Giải
- Hai cặp bất đẳng thức cùng chiều là:
và
và .
- Hai cặp bất đẳng thức ngược chiều là:
và
và .

II. Bất đẳng thức
2. Tính chất
Với hai số thực và , ta có:
• Nếu thì . Ngược lại, nếu
• Nếu thì . Ngược lại, nếu
• Nếu thì . Ngược lại, nếu
• Nếu thì . Ngược lại, nếu

thì .
thì .
thì .
thì .

Nhận xét: Để chứng minh , ta có thể chứng minh hoặc .

II. Bất đẳng thức
2. Tính chất
Ví dụ 3. Cho . Chứng minh:
a)
b)
Giải
a) Xét hiệu:

b) Xét hiệu:

Vì nên
Do đó
Vậy .

Vì nên
Do đó
Vậy .

2. Tính chất
Bài toán 1. Cho bất đẳng thức và số thực .
a) Xác định dấu của hiệu:
b) Hãy so sánh: và .
Giải
a) Ta có:
Vì nên .

Do đó
b)

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức, ta được
bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

II. Bất đẳng thức
2. Tính chất
Ví dụ 4. Chứng minh:
a)
Giải
a) Do
nên
Vậy

b)

b) Do nên
Vậy

II. Bất đẳng thức
2. Tính chất
Ví dụ 5. Chứng minh:
a) với
b) với
Giải
a) Do nên

b) Do nên

Suy ra:
Vậy

Suy ra:
Vậy .

II. Bất đẳng thức
2. Tính chất
Bài toán 2. So sánh:
a. ;

Tính chất 1. Khi nhân cả hai
vế của một bất đẳng thức với
cùng một số dương ta được
bất đẳng thức mới cùng chiều
với bất đẳng thức đã cho .

Tính chất 2. Khi nhân cả hai
vế của một bất đẳng thức với
cùng một số âm ta được bất
đẳng thức mới ngược chiều
với bất đẳng thức đã cho.

II. Bất đẳng thức
2. Tính chất
Ví dụ 6. Chứng minh:
a) với
b) với
Giải
a) Do nên .
Vậy

b) Do hay nên
Vậy .

II. Bất đẳng thức
2. Tính chất
Ví dụ 7. Chứng minh:
a) với
b) với
c) với
Giải
a) Do nên .
Vậy .
b) Do nên .
Vậy

c) Do nên .
Suy ra
Hay
Vậy .

II. Bất đẳng thức
2. Tính chất

𝑐

𝑏

𝑎

Nếu và thì .
Ví dụ 8. Cho và . Chứng minh: .
Giải
Do nên .
Mà nên .
Vậy .

Luyện tập
Ví dụ 9. Cho là các số thực dương thỏa mãn và . Chứng minh:
Giải
Do nên .
Mà nên .
Vậy .

Vận dụng
Ví dụ 10. Một ca nô đi xuôi dòng trong 2 giờ 30 phút. Biết rằng tốc độ của
ca nô khi nước yên lặng không quá 40 km/h và tốc độ của dòng nước là 6
km/h. Chứng minh quãng đường ca nô đi được trong thời gian trên không
vượt quá 115 km.
Giải
Gọi tốc độ của ca nô khi nước yên lặng
là (km/h) .
Tốc độ ca nô đi xuôi dòng là (km/h).
Quãng đường ca nô đi được trong 2 giờ
30 phút 2,5 giờ là (km).

Ta có nên
Hay .
Suy ra
Tức là .
Vậy quãng đường ca nô đi được

trong thời gian trên không vượt
quá 115 km.

Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo
và các em đã chú ý lắng nghe!