1. Định nghĩa cấp số cộng.
2. Số hạng tổng quát của một cấp số cộng.
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng.
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng.
Tiết 46. Cấp số cộng
1. Định nghĩa
Cho u1= -1, u2= 3, u3=7, u4= 11, . . .
Hãy viết tiếp các số u5, u6, u7 của dãy?
u2 = u1 + 4;
u3 = u2 + 4;
u4 = u3 + 4;
u5 = 15; u6 = 19; u7 = 23.
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số không đổi gọi là công sai.
(un) là một cấp số cộng với công sai d
un+1 = un + d, ? n ? N*
Kí hiệu: ? (un)
Ví dụ 1: 1, 2, 3, 4, 5, . là một cấp số cộng vô hạn công sai 1.
Ví dụ 2: -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 là một cấp số cộng hữu hạn công sai 2.
Cho cấp số cộng -2, x, 6, y. Chọn kết quả đúng?
A x = -6, y = - 2
B x = 2, y = 8
C x = 1, y = 7
D x = 2, y =10
? u1, u2, u3, . . ., un, . . .
?
2. Số hạng tổng quát
Mai và Hùng chơi trò xếp diêm thành hình tháp trên mặt sân. Cách xếp được thể hiện như hình vẽ.
2 tầng
3 tầng
1 tầng
Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu diêm để xếp tầng một của tháp?
u1 = 3; u2 = 7; u3 = 11; u100 = ?
u3 = u2 + 4 = u1 + 2.4 =11;
Ta có
u1 = 3;
u2 = u1 + 4 = 7;
. . .
u100 = u1 + 99.4 = 399.
2. Số hạng tổng quát
Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức.
un = u1 + (n-1)d, n ≥ 1
Chứng minh:
Giả sử (I) đúng với n = k ? 1, tức là uk = u1 + (k-1)d.
Ta cm (I) cũng đúng với n = k +1. Hay uk+1 = u1 + kd.
(I)
Ví dụ 1: Cho ? (un) với u1 = -5, d =3.
a) Tìm u15?
b) Số 100 là số hạng thứ bao nhiêu?
c) Biểu diễn các số hạng u1, u2, u3, u4, u5 trên trục số bằng các điểm tương ứng. Nhận xét vị trí mỗi điểm so với hai điểm liền kề?
Giải:
a) Ta có u15= -5 + (15-1).3 = 37
b) Giả sử số 100 là un. Ta có
un= -5+(n-1)3. Vì un= 100
nên -5 + (n-1)3 = 100 ? n =36.
Với n = 1 thì (I) đúng.
Thật vậy
uk+1= uk+d = u1+(k-1)d+d = u1+ kd.
Quy nạp
Định lí:
-5
-2
1
0
7
4
u4
u5
u3
u2
u1
c) Ta có u1=-5, u2=-2, u3=1, u4=4, u5=7.
u2 là trung điểm của u1, u3, hay u2= (u1+u3) / 2.
Biểu diễn trên trục
u3 là trung điểm của u2, u4, hay u3= (u2+u4) / 2.
u4 là trung điểm của u3, u5, hay u4= (u3+u5) / 2.
Nhận xét:
3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối ) đều là trung bình cộng của hai số hạng kề với nó.
uk-1 + uk+1
uk =
2
, k ? 2
uk-1 = uk - d

uk+1 = uk + d
(II)
Định lí:
Chứng minh:
Giả sử (un) là một cấp số cộng với cộng sai d.
Ta có
?
Hay uk = (uk-1+ uk+1)/ 2.
uk-1 + uk+1 = 2uk
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Cho cấp số cộng (un) có công sai d. Đặt Sn = u1+ u2 + . . . + un.
n(u1+ un )
Sn =
2
Ta có
Sn = u1 + u2 + . . . + un
Sn = un + un-1 +. . . + u1
(III)
Chú ý:
n [2u1+ (n-1)d]
Sn =
2
(IV)
Định lí:
Ta có
Chứng minh:
Cộng từng vế của 2 đẳng thức trên được:
2Sn= (u1+ un) + (u2+ un-1) + . . . + (un+ u1)
Nhận xét:
u1+ un = u2 - d + un-1 + d
= u2 + un-1 = . = un+ u1.
Nên 2Sn = n(u1+ un)
Vì un= u1+ (n-1)d nên (III) có thể viết là:
Tính tổng
S = 1 + 2 + 3 + . + 100 = ?

S = 100(100+1)/2 = 5050
Gauss (1777 - 1855)
Nhà Toán học người Đức
Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tháp?
u1 = 3; u2 = 7; u3 = 11; . u100 = 399.
S100 = u1+ u2 + . . . + u100
= 100 (3 +399)/2 = 20100.
Ví dụ: Cho dãy (un) với un = 3n-1
a) CMR: dãy (un) là cấp số cộng.
Tìm u1và d?
b) Tính tổng của 50 số hạng đầu tiên?
c) Biết Sn = 260. Tìm n?
Giải:
a) Vì un = 3n - 1 nên u1 = 2. Với n ? 1 xét
un+1 - un = 3(n+1) - 1 - (3n - 1) = 3. Hay un+1 = un + 3 với ? n ? 1.
Vậy un là 1 cấp số cộng với u1 = 2 và d = 3
b) S50 = 50[ 2.2 + (50 - 1)3]/2 = 3775
c) Ta có n[2.2 + (n-1)3]/2 = 260 hay 3n2 + n - 520 = 0
Do n ? N* nên n = 13.
4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng
Bài tập
1) Bài tập sách giáo khoa.
2) Điền vào ô trống trong bảng các giá trị thích hợp
3
530
36
-20
28
140
-5
2
-43
10