1. Phương trình đường tròn
⍰ Cho trước một điểm I và một số thực dương R. Nhắc lại điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc đường tròn tâm I bán kính R
Cần và đủ để điểm M thuộc đường tròn tâm I bán kính R là:
khoảng cách IM = R hay IM2 = R2
I
1. Phương trình đường tròn
Giả sử điểm I(xo,yo), điểm thay đổi M(x;y). Tính IM2 ?
Suy ra điều kiện đối với (x ; y) để điểm M thuộc đường tròn?
IM2 = (x – xo)2 + (y – yo)2
M  (I,R)  (x – xo)2 + (y – yo)2 = R2
1) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:
Trong mp Oxy, cho đường tròn (C) tâm (xo ; yo), bán kính R.
Điểm M(x ; y) thuộc (C) khi và
chỉ khi :
(x – xo)2 + (y – yo)2 = R2 (1)
Ta gọi pt (1) là phương trình của đường tròn
x , y là các ẩn số của phương trình
(?) Muốn viết phương trình của một đường tròn ta phải tìm những yếu tố nào?
1) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:
(H1) Cho hai điểm P(-2;3) và Q(2;-3)
a) Viết PT đường tròn tâm P và đi qua Q
b) Viết PT đường tròn đường kính PQ
Giải: a) đường tròn tâm P và đi qua Q có bán kính
R = PQ =
PT của đường tròn đó là:
b) đường tròn đường kính PQ có tâm I là trung điểm đoạn thẳng PQ và bán kính r = PQ / 2

Ta có: I(0 ; 0) và r =

PT của đường tròn đó là:
1) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:
Xét PT của đường tròn tâm P bán kính PQ :
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 52  x2 + y2 + 4x – 6y – 39 = 0
Phương trình có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
Ta có: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
 (x + a)2 + (y + b)2 = a2 + b2 – c
(?) Vậy điều kiện nào đối với a, b, c
để phương trình dạng : x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
là PT của một đường tròn?
Khi đó xác định tâm và bán kính của đường tròn đó?
2) NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:
(H2) Khi a2 + b2  c, hãy tìm tập hợp các điểm M có toạ độ
(x ; y) thoả mãn PT (2)
TL: Khi a2 + b2 = c, PT (2) trở thành: (x + a)2+ (y + b)2 = 0
PT có 1 nghiệm (-a, -b) nên tập hợp có một điểm M(-a; -b)

2) NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN:
(?) Trong các phương trình sau, PT nào là PT của đường tròn?
x2 + y2 + 4x - 2y - 4 = 0
2x2 + 2y2 - 6x + 4y +2 = 0
x2 + 2y2 – 6x + 4y + 10 = 0
x2 + y2 – 6x + 2y +12 = 0
Ví dụ : Viết PT của đường tròn đi qua ba điểm
M(1;2) , N(5;2) , P(1;-3)
Có hai cách giải:
Cách 1: Tìm toạ độ tâm I và tính bán kính R của đường tròn
Giả sử đường tròn tâm I(x;y), bán kính R, vì đường tròn đi qua ba điểm M,N,P. Ta suy ra IM = IN = IP, từ đó ta có hệ:
Giải hệ ta được x = 3 ; y = - 0,5 . Vậy I (3 ; - 0,5)
Khi đó R2 = IM2 = 10,25. Phương trình đường tròn cần tìm là:

(x – 3)2 + (y + 0,5)2 = 10,25
Giả sử đtròn cần tìm có tâm I(x;y), bán kính R
(?) Đường tròn đi qua ba điểm M,N,P nên ta suy được gì?
Cách 2: Tìm các hệ số a, b, c của PT: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
Giả sử phương trình đường tròn có dạng
x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (2)
(?) đường tròn đi qua 3 điểm M,N,P, nên toạ độ ba điểm này
là nghiệm của PT (2)
lần lượt thay toạ độ ba điểm này vào PT (2) ta được hệ:

Vậy PT đường tròn cần tìm là: x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0
(?) đường tròn đi qua 3 điểm M,N,P, nên toạ độ ba điểm này có liên hệ gì với PT(2)?
Ví dụ : Viết PT của đường tròn đi qua ba điểm
M(1;2) , N(5;2) , P(1;-3)
TL: Điều kiện để một đường thẳng  tiếp xúc với một đường tròn (C) tâm I bán kính R là khoảng cách d(I, ) = R
3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:
(?) Vậy để giải bài tập ta sẽ thực hiện thế nào?
3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:
3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:
Ghi nhớ: Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn
(?)
3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:
Bài toán 2: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 và điểm M(4; 2)
Chứng tỏ điểm M nằm trên đường tròn (C)
Viết PTTT của đường tròn (C) tại M
a)
(?) để chứng tỏ điểm M nằm trên đường tròn thì ta làm gì ?
b) Ta có điểm M thuộc đường tròn (C).
(?) đt  tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm M thuộc đường tròn thì ta suy được gì? Muốn viết PT của đthẳng , ta phải tìm những yếu tố nào?
3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:
Bài toán 2: Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y – 20 = 0 và điểm M(4; 2)
Chứng tỏ điểm M nằm trên đường tròn (C)
Viết PTTT của đường tròn (C) tại M
Phương trình của tiếp tuyến là: 3(x – 4) + 4(y – 2) = 0
 3x + 4y – 20 = 0
3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:
Ghi nhớ:
Đường thẳng  tiếp xúc với đường tròn (C) tâm I tại điểm M thuộc đường tròn khi và chỉ khi  vuông góc với IM tại điểm M
3) PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN:
(H3) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và tiếp xúc với đường tròn (C): x2 +y2 – 3x + y = 0
(H4) Viết PT tiếp tuyến của đ.tròn (x – 2)2 + (y + 3)2 = 1 biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng : 3x – y + 2 = 0
(?1) đường thẳng đi qua gốc toạ độ và đ.tròn (C): x2 +y2 – 3x + y = 0 có điểm nào chung ? Trình bày cách giải (H3)?
(?2) đ.thẳng ’ cần tìm song song với đ.thẳng : 3x – y + 2 = 0 thì dạng phương trình của nó thế nào? Trình bày cách giải (H4) ?
(H3) PT tiếp tuyến của (C) tai điểm O(0;0) là: 3x – y = 0
Học xong bài học này các em cần nhớ:
+ Hai dạng của phương trình đường tròn
+ Biết cách tìm tâm và bán kính của đường tròn khi biết PT của nó
+ Cách giải hai bài toán tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Giải các bài tập trang 95, 96