Bài 4: ĐƯỜNG TRÒN
Người soạn: Hồ thị Thanh Hằng
NHẮC LẠI KIẾN THỨC CŨ
AB =
?
Cho A(xA, yA), B(xB, yB), I là trung điểm A, B. Công thức tính tọa độ I ?
NỘI DUNG CHÍNH
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN
Với I(x0; y0) và M(x; y) thì
IM=?
Đường tròn tâm O(0; 0) bán kính R có phương trình là gì?
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
Trên mặt phẳng tọa độ cho đường tròn (C) có tâm I(x0; y0), bán kính R.
Ta gọi phương trình (1) là phương trình đường tròn tâm I(x0; y0) bán kính R.
Ta có M(x; y)  (C)
a
I
R
M(x; y)
(1)
 IM = R
Chú ý: Phương trình đường tròn có tâm là gốc tọa độ O(0;0), bán kính R là x2 + y2 =R2
Ví dụ 1:
Viết phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:
a) Biết tâm I(1; -2), bán kính R = 3;
b) Biết tâm I(0, 5), bán kính bằng 4.
Giải
a) Đường tròn tâm I(1; -2), bán kính bằng 3 có phương trình là: (x – 1)2 +(y – (-2))2 = 32
 (x – 1)2 +(y +2)2 = 9

b)Đường tròn tâm I(0; 5), bán kính bằng 4 có phương trình là: (x – 0)2 + (y – 5)2 = 42
 x2 + (y – 5)2 = 16
tâm I(x0; y0), bán kính R.
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(-2; 3) và B(2; -3).
Hãy viết phương trình đường tròn tâm A và đi qua B.
b) Viết phương trình đường tròn đường kính AB.
Hướng dẫn: để viết phương trình đường tròn ta cần xác định tâm và bán kính.
Đường tròn có: tâm
A(-2; 3), bán kính R = AB.
Đường tròn có: tâm I là trung điểm AB
bán kính R= AB/2.
a)
b)
Để viết phương trình đường tròn ta cần xác định gì?
R
.I
tâm I(x0; y0), bán kính R.
Giải
a) Đường tròn có tâm A(-2 ; 3), bán kính R = AB =
b) Gọi I(x ; y) là tâm của đường tròn.
Ta có: I là trung điểm AB.
Suy ra I(0; 0).
Suy ra: bán kính R = IA =
Vậy phương trình đường tròn là x2 + y2 = 13.
có phương trình là (x + 2)2 + (y – 3)2 = 52.
Suy ra
= (-2 ; 3)
Ta có
Ví dụ 3:
Cho đường tròn lần lượt có phương trình là
a) (x -2)2 + (y +5)2 = 55 b) (x+4)2 +(y+3)2 = 14
c) (x-11)2 + (y-2)2 = 81
Hãy xác định tâm và bán kính.
c) Đường tròn có tâm I(11; 2) bán kính R = 9.
a) Đường tròn có tâm I(2; -5) bán kính R =
b) Đường tròn có tâm I(-4; -3) bán kính R =
Giải
Phương trình đường tròn còn được viết dưới dạng nào khác không?
Ta có
(1)  x2 – 2x0x +
2.NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
+ y2 – 2y0y +
Biến đổi phương trình (1)
 x2 + y2 – 2x0x – 2y0y + x0
Ta thấy mỗi đường tròn trong mặt phẳng tọa độ đều có phương trình dạng x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 (2)
= R2
– R2 =0
Ta đặt 2a = – 2x0 ; 2b = – 2y0; c =

Phương trình x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0, với điều kiện a2 + b2 – c > 0 là phương trình của đường tròn tâm I (-a; -b) bán kính R=
Ngược lại:
Mỗi phương trình có dạng
x2 + y2 + 2ax +2by + c = 0 với a, b, c tùy ý có là phương trình đường tròn không? Vì sao?
x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
 ( x2 + 2ax + a2 ) + ( y2 + 2by + b2 ) + c - a2 - b2 = 0
 (x + a)2 + (y + b)2 = a2 + b2 –c (2)
(2) là phương trình đường tròn 
a2 + b2 – c > 0
Ta biến đổi phương trình
* Khi a2 + b2 – c = 0.
Ta có: (2)  (x + a)2 + ( y + b)2 = 0

Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn phương trình (2) là M( -a ; -b) .
* Khi a2 + b2 – c <0, không tồn tại x, y thỏa mãn phương trình (2). Vậy tập hợp các điểm M thỏa mãn phương trình (2) là tập rỗng.
Ví dụ 3:
Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình đường tròn, hãy xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
a) x2 + y2 - 8x + 2y + 7 = 0
b) 3x2+ 3y2 + 6x - 12y = 0
c) x2 + y2 - 2x - 6y + 103 = 0
d) x2 + 2y2 – 2x + 5y + 2 = 0
e) x2 + y2 – 2xy + 3x – 5y - 1 = 0
Ta có: a2 + b2 – c = (-4)2 +12 –7 = 10 > 0
Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn có tâm I( 4; -1), bán kính R =
b) Chia hai vế phương trình cho 3, ta được:
x2 + y2 + 2x - 4y= 0.
a) Phương trình có dạng: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0

Ta có: a2 + b2 – c = 12 + (-2)2 – 0 = 5 >0
Vậy phương trình đã cho là phương trình đường tròn.
Đường tròn có tâm I(-1; 2), bán kính R =
c) Suy ra
Ta có:
a2 + b2 – c = (-1)2 +(-3)2 – 103 = - 93 < 0.
Vậy phương trình đã cho không là phương trình đường tròn.
d) Phương trình đã cho không có dạng (2), nên không là phương trình đường tròn.
e) Phương trình đã cho không có dạng (2) nên không là phương trình đường tròn.
Phương trình đường tròn có dạng x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0
Do M, N, P thuộc đường tròn nên ta có hệ phương trình với ba ẩn số a, b, c:
Lấy (2’) – (1’) ta được
24 + 8a = 0  a = -3
Lấy (1’) – (3’) ta được
Thay a và b vừa tìm vào (1’) ta có c = -5 + 6 – 2 = - 1.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
x2 + y2 – 6x + y – 1 = 0.
-5 + 10b = 0
Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M(1 ; 2), N(5 ; 2) và P(1 ; -3).
Bài tập về nhà: bài 21, 22, 23, 24, 25, 26 trang 95 sách giáo khoa.
CHÀO TẠM BIỆT VÀ HẸN GẶP LẠI
CÁM ƠN CÁC BẠN ĐÃ THEO DÕI
Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm M(1 ; 2), N(5 ; 2) và P(1 ; -3).
Giải
Gọi I(x ; y) là tâm và R là bán kính của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P.



.



Ta có:
Vậy
Suy ra
Khi đó R2 = IM2 =

Phương trình đường tròn cần tìm là
.