CHÀO MỪNG CÁC EM
ĐẾN VỚI TIẾT HỌC
HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG
Hai đội xây dựng làm chung một công việc và dự định hoàn thành trong
12 ngày. Nhưng khi làm chung được 8 ngày thì đội I được điều động đi
làm việc khác. Tuy chỉ còn một mình đội II làm việc, nhưng do cải tiến
cách làm, năng suất của đội II tăng lên gấp đôi nên họ đã làm xong
phần việc còn lại trong 3,5 ngày. Hỏi với năng suất ban đầu thì mỗi đội
làm một mình trong bao lâu để xong công việc.

Giải:
Gọi (ngày) là thời gian để đội thứ nhất làm riêng xong công việc theo dự định và
(ngày) là thời gian để đội thứ hai làm riêng xong công việc theo dự định ().
công việc.
Theo dự định, hai đội làm chung trong 12 ngày thì xong công việc, nên mỗi ngày cả hai
đội làm được:

Vậy nếu mỗi đội làm riêng thì đội 1 cần 28 ngày để làm xong công việc, đội 2 cần 21 ngày để
làm xong công việc.

CHƯƠNG I. PHƯƠNG TRÌNH
VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN
BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn và nghiệm của nó
Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn và được gọi là một hệ
hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta thường viết hệ phương trình đó
dưới dạng:
(*)
Mỗi cặp số được gọi là một nghiệm của hệ (*) nếu nó đồng thời là
nghiệm của cả hai phương trình của hệ (*).

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
Bước 1. Từ một phương trình của hệ, biểu diễn một ẩn theo ẩn
kia rồi thế vào phương trình còn lại của hệ phương trình chỉ còn
chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra
nghiệm của hệ đã cho.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
Để giải một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có hệ số của cùng
một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau, ta
có thể làm như sau:
Bước 1. Cộng hay trừ từng vế của hai phương trình trong hệ để
được phương trình chỉ còn chứa một ẩn.
Bước 2. Giải phương trình một ẩn vừa nhận được, từ đó suy ra
nghiệm của hệ phương trình đã cho.

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
Các bước giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1: Lập hệ phương trình:
- Chọn ẩn số (thường chọn hai ẩn số) và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết;
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2. Giải hệ phương trình.
Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm tìm được của hệ phương trình,
nghiệm nào thỏa mãn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, rồi
kết luận.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1.19. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình 
?

A. (–1; 1).

B. (–3; 2).
D. (5; 5).

C. (2; –3).

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1.20. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 2), B(5; 6), C(2;
3), D(–1; –1). Đường thẳng đi qua hai điểm nào trong các điểm đã
cho?

A. A và B.

B. B và C.
D. D và A.

C. C và D.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1.21. Hệ phương trình ?
A. Có nghiệm là (0; −0,5).

B. Có

nghiệm là (1; 0).
C. Có nghiệm là (−3; −8).
nghiệm.

D. Vô

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1.22. Hệ phương trình ?
A. Có một nghiệm.

B.

Vô nghiệm.
C. Có vô số nghiệm.
Có hai nghiệm.

D.

LUYỆN TẬP

TRÒ CHƠI TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Hệ phương trình có nghiệm là:

A.

C.

B.

D.

Câu 2. Phương trình nào dưới đây có thể kết hợp với phương trình
để được một hệ phương trình bậc nhất một ẩn có vô số nghiệm ?

A.

C.

B.

D.

Câu 3. Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng có phương trình
?

A.

C.

B.

D.

Câu 4. Hai đội xe chở cát để san lấp một khu đất. Nếu hai đội cùng
làm thì trong 18 ngày xong công việc. Nếu đội một làm 6 ngày, sau đó
đội thứ hai làm tiếp 8 ngày nữa thì được 40% công việc. Hỏi đội một
làm một mình bao lâu xong công việc?

A. ngày

C. ngày

B. ngày

D. ngày

Câu 5. Cho hai đường thẳng  và . Tìm giao điểm của biết rằng đi qua
điểm và đi qua điểm .

(

1 4
A. −
;
2 3
B.

(

1
4
;−
2
3

)
)

C.

(

D.

3
15
;−
8
2

(

3
15
;
8
2

)
)

Câu 6. Cho ba đường thẳng và . Tìm giá trị của để ba đường thẳng
đồng quy.

A.

C.

B.

D.

BÀI TẬP

{

2 𝑥 +5 𝑦 =10
B à i  1.23 ( SHS − tr 24)   Gi ả i   c á c   h ệ  ph ươ ng   tr ì nh                a ) 2
𝑥 +𝑦 =1
5
Giải:
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 5, ta được:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được (1)
Do không có giá trị nào của và thỏa mãn hệ thức (1) nên hệ phương trình
đã cho vô nghiệm.

BÀI TẬP

{

B à i  1.23 ( SHS−tr 24) Gi ả i  cá c  h ệ ph ươ ng   tr ì nh        b)  0,2 𝑥+0,1 𝑦=0,3
3 𝑥+ 𝑦=5
Giải:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 10, ta được:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được hay
Thế vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta có , suy ra
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

BÀI TẬP

{

3
1
𝑥− 𝑦=
B à i  1.23 ( SHS− tr 24)  Gi ả i   cá c   h ệ  ph ươ ng   tr ì nh                 c)  2
2
6 𝑥 − 4 𝑦=2
Giải:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4, ta được:
Trừ từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được (2)
Với mọi giá trị tùy ý của , đều thỏa mãn giá trị của hệ thức (2)

{

B à i  1.24 ( SHS−tr 24) Gi ả i  cá c  h ệ ph ươ ng   tr ì nh                   a)  0,5 𝑥+2 𝑦=−2,5
0,7 𝑥−3 𝑦=8,1
Giải:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân hai vế của phương trình
thứ hai với 2, ta được:
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được , suy ra
Thế vào phương trình thứ nhất của hệ dã cho, ta có
hay , suy ra
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là

{

B à i  1.24 ( SHS−tr 24) Gi ả i  cá c  h ệ ph ươ ng   tr ì nh                        b)  5𝑥 −3 𝑦=− 2
14 𝑥+8 𝑦=19
Giải:

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 8 và nhân hai vế của phương trình thứ
hai với 3, ta được :

B à i  1.24 ( SHS− tr 24)  Gi ả i   c á c   h ệ ph ươ ng   tr ì nh                       c) 
Giải:

{

2 ( 𝑥 − 2 ) +3 ( 1+𝑦 )=− 2
3 ( 𝑥 −2 ) −2 ( 1+ 𝑦 )=− 3

Đặt
Khi đó phương trình đã cho trở thành :
(I)
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 2 và nhân cả hai vế của phương trình thứ hai
với 3, ta được :
Cộng từng vế hai phương trình của hệ mới, ta được , suy ra .
Thế vào phương trình thứ nhất của hệ (I), ta có , suy ra .
Với thì , suy ra .
Với thì , suy ra .
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

VẬN DỤNG

Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số thì
được một số lớn hơn số là 585 đơn vị, và nếu viết hai chữ số của số theo thứ tự ngược lại thì
được một số nhỏ hơn số là 18 đơn vị.
Giải:
Gọi số có hai chữ số cần tìm là
Sau khi viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số thì ta được số mới có dạng
Nếu viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số thì được một số lớn hơn số là
nên ta có phương trình :
hay
hay
Khi viết hai chữ số của số theo thứ tự ngược lại thì ta được số có dạng

đơn vị

Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng nếu viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số thì
được một số lớn hơn số là 585 đơn vị, và nếu viết hai chữ số của số theo thứ tự ngược lại thì
được một số nhỏ hơn số là 18 đơn vị.
Giải:
Khi viết hai chữ số của số theo thứ tự ngược lại thì được một số nhỏ hơn số là 18 đơn vị nên ta
có phương trình:
hay hay
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Trừ từng vế hai phương trình của hệ, ta được , suy ra (thỏa mãn)
Thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta có , suy ra (thỏa mãn).
Vậy số tự nhiên có hai chữ số cần tìm là 75.

Trên cánh đồng có diện tích 160 ha của một đơn vị sản xuất, người ta dành 60 ha để cấy thí
điểm giống lúa mới, còn lại vẫn cấy giống lúa cũ. Khi thu hoạch, đầu tiên người ta gặt 8 ha
giống lúa cũ và 7 ha giống lúa mới để đối chứng. Kết quả là 7 ha giống lúa mới cho thu hoạch
nhiều hơn 8 ha giống lúa cũ là 2 tấn thóc. Biết rằng tổng số thóc (cả hai giống) thu hoạch cả vụ
trên 160 ha là 860 tấn. Hỏi năng suất của mỗi giống lúa trên 1 ha là bao nhiêu tấn thóc?
Giải:
Gọi (tấn thóc) là năng suất của giống lúa cũ trên 1 ha và (tấn thóc) là năng suất của giống lúa
mới trên 1ha ().
Số hec-ta cấy lúa cũ là: 160 – 60 = 100 (ha).
Số lúa cũ thu được trên 8ha giống lúa cũ là (tấn thóc).
Số lúa mới thu được trên 7ha giống lúa mới là (tấn thóc).

Giải:
Kết quả 7ha giống lúa mới cho thu hoạch nhiều hơn 8ha giống lúa cũ là 2 tấn thóc nên ta
có phương trình
Số lúa cũ thu hoạch được trên 100ha giống lúa cũ là 100 (tấn thóc)
Số lúa mới thu hoạch được trên 60ha giống lúa mới là 60 (tấn thóc) 
Tổng số thóc cả hai giống thu hoạch trên 160ha là 860 tấn nên ta có phương trình:

hay
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (I)

Giải:
Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 3 và nhân cả hai vế của phương trình thứ
hai với 7 ta được :
Trừ từng vế của hai phương trình ta được
 , suy ra (thỏa mãn)
Thế vào phương trình thứ hai của hệ (I), ta có
, suy ra (thỏa mãn)
Vậy trên 1ha, năng suất của giống lúa cũ là 5 tấn thóc, năng suất của giống lúa mới là 6
tấn thóc.

Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ
cùng một điểm. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển
động cùng chiều thì cứ sau 20 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc (cm/s) của mỗi vật.
Giải:
Chu vi của hình tròn là
Giả sử vật thứ nhất chuyển động nhanh hơn vật thứ hai
Gọi là vận tốc của vật thứ nhất và là vận tốc của vật thứ hai ( )
Hai vật chuyển động cùng chiều thì cứ 20 giây chúng gặp nhau nên ta có phương trình là:
hay (1)
Hai vật chuyển động ngược chiều thì cứ 4 giây chúng lại gặp nhau nên ta có phương trình là:
hay

Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ
cùng một điểm. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển
động cùng chiều thì cứ sau 20 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc (cm/s) của mỗi vật.
Giải:
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

Cộng từng vế hai phương trình của hệ, ta được , suy ra (thỏa mãn)
Thế vào phương trình thứ nhất, ta có: , suy ra (thỏa mãn)
Vậy vận tốc của hai vật lần lượt là cm/s và cm/s.

Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng là 21,7 triệu đồng, kể cả thuế giá trị gia tăng
(VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là
9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 21,8 triệu đồng. Hỏi nếu không kể
VAT thì người đó phải bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?
Giải:
Gọi (triệu đồng) là số tiền người mua phải trả đối với loại hàng thứ nhất không kể thuế VAT và
(triệu đồng) là số tiền người mua phải trả đối với loại hàng thứ hai không kể thuế VAT ()
Khi thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất thì giá tiền của loại hàng
thứ nhất là
Khi thuế giá trị gia tăng (VAT) với mức 8% đối với loại hàng thứ hai thì giá tiền của loại hàng
thứ hai là

Giải:
Người mua phải trả tổng cộng là 21,7 triệu đồng nên ta có phương trình (1).
Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng và người đó phải trả tổng cộng là 21,8 triệu đồng
nên ta có phương trình là : hay (2).
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình
Từ phương trình thứ hai ta có .
Thế vào phương trình thứ nhất, ta được:
hay suy ra (thỏa mãn)
Với ta có (thỏa mãn)
Vậy nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả 5 triệu đồng cho mặt hàng thứ nhất và
15 triệu đồng cho mặt hàng thứ hai.

HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
Chuẩn bị trước

Ghi nhớ

Hoàn thành các bài

Bài “Phương trình

kiến thức trong bài.

tập trong SBT.

quy về phương trình
bậc nhất một ẩn”.

HẸN GẶP LẠI CÁC EM
Ở TIẾT HỌC SAU!