Luyện Tập
PHÉP QUAY
VÀ PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM
Hoạt động 1
Phiếu học tập
Cho điểm O và góc lượng giác φ. Dựng ảnh của đường thẳng d qua phép quay tâm O với góc quay φ.
Bài toán 1
Cho hai đường thẳng a, b và điểm C ở ngoài hai đường thẳng đó. Hãy dựng điểm A thuộc a, điểm B thuộc b sao cho ABC là tam giác đều.
Phân tích: Giả sử dựng được các điểm A, B thỏa yêu cầu bài toán. Khi đó A là ảnh của B qua phép quay tâm C với góc quay 60 độ. Do đó A thuộc đường thẳng b’ là ảnh của đường thẳng b qua phép quay nói trên. Như vậy A là giao điểm của a và b’. Khi đã có A thì B là ảnh của A qua phép quay tâm C với góc quay -60 độ.
Cách dựng:
+ Dựng đường thẳng b’ là ảnh của đường thẳng a qua phép quay tâm C với góc quay 60 độ.
+ Xác định giao điểm A của a và b’.
+ Dựng điểm B là ảnh của điểm A qua phép quay tâm C với góc quay -60 độ.
Biện luận:
Do có hai phép quay tâm C với góc quay lần lượt là ±60 độ nên bài toán có thể có hai nghiệm. Ngoài ra còn tùy thuộc vào vị trí tương đối của a và b’.
Bài toán 2
Chứng minh rằng hợp thành của hai phép phép đối xứng trục với hai trục cắt nhau là một phép quay.
Yêu cầu của bài toán: Thực hiện liên tiếp hai phép đối xứng trục với hai trục cắt nhau thì có một phép quay.
Chứng minh: Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O với (a, b) = φ.
Lấy điểm M tùy ý. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua a và M” là điểm đối xứng của M’ qua b.
Theo định nghĩa của phép đối xứng, ta có
OM’ = OM, (OM, a) = (a, OM’)
OM” = OM’, (OM’, b) = (b, OM”)

Ta cần chứng minh M” là ảnh của M’ qua một phép quay.
Thật vậy
OM” = OM
(OM, OM”) = (OM, OM’) + (OM’, OM”)
= 2(a, OM’) + 2(OM’, b) = 2(a, b) = 2φ
Từ đó ta có M” là ảnh của M qua phép quay tâm O với góc quay 2φ.
Vậy hợp thành của hai phép đối xứng trục với hai trục cắt nhau là một phép quay.
Ghi nhớ
Nếu hai trục cắt nhau tại O thì phép quay hợp thành có tâm là O.
Nếu φ là góc lượng giác giữa hai trục đối xứng thì phép quay hợp thành có góc quay là 2 φ.
Hoạt động 2
Phiếu học tập
Hợp thành của hai phép đối xứng trục với hai trục vuông góc với nhau là phép gì ?
Hoạt động 3
Phiếu học tập
Một phép quay có thể xem là hợp thành của hai phép đối xứng trục hay không ? Nếu phải hãy xác định các trục đối xứng.
Bài toán 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C): .
Tìm phương trình ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A(-1,2).

Giải: Lấy điểm M(x,y) tùy ý. Gọi M’(x’,y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm A. Khi đó


Do đó:


Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C’):
Hoạt động 4
Phiếu học tập
Xác định tâm và bán kính của các đường tròn (C) và (C’). Có nhận xét gì về tâm của (C) và (C’), về bán kính của (C’) và (C’) ?
Củng cố và bài tập về nhà
1.Cho hai đường thẳng a, b song song với nhau và một điểm G ở ngoài hai đường thẳng đó. Dựng tam giác đều ABC với A thuộc a, B thuộc b và tam giác ABC nhận G làm trọng tâm.
2.Cho hai phép quay với tâm quay khác nhau và có cùng góc quay 90 độ. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép quay này là một phép đối xứng tâm.
3.Vẽ bên ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABE và ACF. Gọi I, J là trung điểm của BF, CE. Chứng minh AIJ là tam giác đều
Buổi học đến đây là hết.
Chào các em !