Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Khi chất điểm đi qua vị trí cân
bằng thì tốc độ của nó là 20 cm/s. Khi chất điểm có tốc độ là 10 cm/s thì gia tốc của nó
có độ lớn là 40 cm/s2. Biên độ dao động của chất điểm là
A. 5 cm.
B. 4 cm.
C. 10 cm.
D. 8 cm.
v = ωA A2 = x2 + v2/ω2 = a2/ω4 + v2/ω2
A2 = a2/ω4 + v2/ω2

A2ω2 = a2/ω2 + v2

Câu 2: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos( (x tính bằng cm; t
tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = -2 cm lần thứ 2011 tại thời
điểm
A. 3015 s.
B. 6030 s.
C. 3016 s.
D. 6031 s.
cos
= ± + 2kπ

= ± 1+ 3k

Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox. Trong thời gian 31,4 s chất điểm
thực hiện được 100 dao động toàn phần. Gốc thời gian là lúc chất điểm đi qua vị trí có
li độ 2 cm theo chiều âm với tốc độ là 40 cm/s. Lấy  = 3,14. Phương trình dao động
của chất điểm là
A. x = 6cos(20t - ) (cm)
B. x = 4cos(20t - ) (cm)
C. x = 4cos(20t + ) (cm)
D. x = 6cos(20t + ) (cm)
Pt có dạng:. x = Acos(ωt + φ)
A2 = x2 +
x = 4cos(20t + φ)

Chu kì T = t/N = 0,314 s = π/10 ω = 2π/T = 20

A2 = 22 +

→ A = 4 cm

TỔNG HỢP HAI DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
CÙNG PHƯƠNG CÙNG TẦN SỐ
PHƯƠNG PHÁP GIẢN ĐỒ FRE-NEN

Mối liên hệ giữa dao đông điều hòa và chuyển đông tròn đều:
Xét một chất điểm M chuyển động tròn đều trên
một đường tròn tâm O, bán kính A như hình vẽ.
+ Tại thời điểm t = 0 : vị trí của chất điểm là M0,
xác định bởi góc ϕ.
+ Tại thời điểm t : vị trí của chất điểm là M,
xác định bởi góc (ωt+ϕ)
+ Hình chiếu của M xuống trục xx' là P, có toạ độ x:
Hay x = OP = OMcos(ωt+ϕ) = Acos(ωt+ϕ)
Ta thấy: hình chiếu P của chất điểm M dao động điều hoà quanh điểm O

a) Khi một chất điểm chuyển động đều trên đường tròn (O, A) với tốc độ
góc ω , thì chuyển động của hình chiếu của chất điểm xuống một trục bất kì
đi qua tâm O, nằm trong mặt phẳng quỹ đạo là một dao động điều hoà.
b) Ngược lại, một dao động điều hoà bất kì, có thể
coi như hình chiếu của một chuyển động tròn đều
xuống một đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ
đạo, đường tròn bán kính bằng biên độ A, tốc độ góc
ω bằng tần số góc của dao động điều hoà.

I. VECTƠ QUAY:
Có thể biểu diễn một dao động
điều hoà có phương trình:
x = Acos(ωt + ϕ)
bằng một vectơ quay A
Vectơ quay A có
+ Gốc tại O
A
φ

+ Độ dài |A| ≈ A
+ ( A. Ox) = φ
O

+
x

Câu C1 SGK: H·y biÓu diÔn dao ®éng ®iÒu hoµ x = 3cos(5t + ) (cm)
b»ng mét vect¬ quay.

A
O

+
π
3

x

II. Phương pháp giản đồ Frenen.
Xét 2 dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số:
x1 = A1cos(ωt + φ1)
x2 = A2 cos(ωt + φ2)
Ta cần tìm li độ tổng hợp của hai dao động
x = x1+ x2
x = A1cos(ωt + φ1) + A2 cos(ωt + φ2)
Ta có thể dùng phương pháp lượng giác, dễ
nhất là khi A1 = A2 .
Khi A1 ≠ A2 dễ dàng hơn nếu ta dùng
phương pháp giản đồ Frenen.

Phương pháp giản đồ Frenen.
Ta vẽ các vecto quay A1 , A2 biểu diến x1 và x2
x2 = A2 cos(ωt + φ2)
x1 = A1cos(ωt + φ1)

Vectơ quay A1 có

Vectơ quay A2 có

+ Gốc tại O

+ Gốc tại O

+ Độ dài |A1| =A1

+ Độ dài |A2| =A2

+( A1. Ox) = φ1

+ (A2. Ox) = φ2

Vecto quay A1, A2 biểu diễn li độ x1, x2 tại thời điểm ban đầu t0= 0
Ta vẽ vecto A = A1+ A2 biểu diến x = x1+ x2 ==> x = Acos(ωt + φ)
Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số là một dao động
điều hòa cùng phương cùng tần số với hai dao động đó.

Phương pháp giản đồ Frenen.
x1 = A1cos(ωt + φ1)
x2 = A2 cos(ωt + φ2)

==> x = Acos(ωt + φ)

Biên độ dao động tổng hợp:

A = A1+ A2

A2 = + 2A1A2cos(φ2 – φ1)
Pha ban đầu của dao động tổng hợp:
tanφ =
Các trường hợp đặc biêt:
- Hai dao động cùng pha: φ2- φ1 =2nπ Khi đó A = A1 + A2 và φ = φ1= φ2
- Hai dao động ngược pha: φ2- φ1 =(2n+1)π Khi đó A = | A1 - A2|
và φ = φ1 khi A1 > A2 và φ = φ2 khi A1 < A2
- Hai dao động vuông pha: φ2- φ1 = π/2 Khi đó A2 =

Ảnh hưởng của độ lệch pha .
A2 = + 2A1A2cos(φ2 – φ1)
Biên độ dao động tổng hợp A phụ
thuộc A1 ,A2 và độ lệch pha giữa hai
dao động Δφ = φ2 – φ1
- Hai dao động cùng pha: Δφ= φ2- φ1 =2nπ
Khi đó A = Amax = A1 + A2
- Hai dao động ngược pha: Δφ =(2n+1)π
Khi đó A= Amin = | A1 - A2|
- Ta luôn có: | A1 - A2| ≤ A ≤ =A1 + A2

BÀI TẬP
Ví du 4 SGK: Tìm phương trình của dao động tổng hợp của
hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:
x1 = 3cos(5πt) (cm)
x2 = 4cos(5π t + ) (cm)
Giải: Ta vẽ hai vecto quay OM1 và OM2
A2 = + 2A1A2cos(φ2 – φ1)
A2 = 32 + 2.3.4.cos() = 37 (cm2)
==> A = = 6,08 (cm) ≈ 6,1 cm
tanφ = = = = 0,6928

==> φ = 34,710 = 0,19π

Phương trình dđ tổng hợp x = Acos(ωt + φ) = 6,1cos(5πt + 0,19π) (cm)

C1. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động đh cùng phương,
cùng tần số không phụ thuộc vào:
A. Biên độ của dao động thành phần thứ nhất
B. Biên độ của dao động thành phần thứ hai .
C. Tần số chung của hai dao động thành phần
C
D. Độ lệch pha của hai dao động thành phần .
C2. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động đh cùng phương, cùng tần số là lớn
nhất khi hai dao động thành phần :
A
A. cùng pha
B. ngược pha
C. vuông pha
D. lệch pha 45o
C3. Biên độ dao động tổng hợp của hai dao động đh cùng phương, cùng tần số là nhỏ
nhất khi hai dao động thành phần :
A. cùng pha
B.
C. vuông pha
D. lệch pha 45o
B ngược pha

C4. Hai dao động điều hòa cùng phương , cùng tần số lần lượt có phương trình dao động
x1 = 3cos(20πt + ) (cm)

x2 = 4cos(20π t - ) (cm)

Phát biểu nào sau đây là đúng ?
A. Biên độ dao động tổng hợp bằng - 1cm.
B. Pha ban đầu cùa dao động tổng hợp bằng - 2π
C. Dao động x1 trể pha hơn dao động x2 một góc - 3π.
D
D. Hai dao động x1 , x2 ngược pha nhau
C5. Phát biểu nào sau đây là không đúng ?
Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số :
A
A. Nếu hai dao động thành phần ngược pha thì biên độ dao động tổng hợp là: A = A1 – A2
B. Nếu hai dao động thành phần cùng pha thì biên độ dao động tổng hợp là : A = A1 + A2 .
C. Nếu hai dao động thành phần lệch pha nhau bất kì thì biên độ dao động tổng hợp là:
A1 – A2  A  A1 + A2
D. Độ lệch pha của các dao động thành phần đóng vai trò quyết định tới biên độ A của dao động
tổng hợp

C6: Một vật có khối lượng m =100g, thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng
phương, cùng tần số 5Hz và có biên độ 6cm và 8cm . Lấy 2 = 10. Hãy xác định năng
lượng dao động của vật trong mỗi trường hợp sau hai dao động thành phần
a. cùng pha. b. ngược pha . c. vuông pha . d. lệch pha nhau π/3
Giải:

ω = 2πf = 10π

Năng lượng dao động W = mω2A2

a. A = A1+A2 = 16 cm = 0,14 m ==> W = 20,142 = 0,98 J
b. A = A2 - A1 = 2 cm = 0,02 m ==> W = 20,022 = 0,02 J
c. A = = 10 cm = 0,1 m ==> W = 20,12 = 0,5 J
d. A2 = + 2A1A2cos(φ2 – φ1) = 148 cm2 ==> A = 12,17 cm = 0,12 m
==> W = 20,122 = 0,72 J
C7. Biên độ A của dao động tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng
tần số có giá trị :
A. A = A1 + A2
B. A1 + A2 > A > A1  A2
D
C. A = A1  A2
D. A1 + A2  A  A1  A2

B1. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động :
x1 = 10cos10t (cm) và x2 = 6cos(10t + 3) (cm). Dao động tổng hợp của vật là :
A x = 4cos10t (cm)
A.
B. x = 4cos(10t + 3) (cm)
C. x = 16cos10t (cm)
D. x = 16cos(10t + 3/2) (cm)
B2. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động :
x1 = 6cos10t (cm) và x2 = 10cos(10t + 3) (cm). Dao động tổng hợp của vật là :
B
A. x = 4cos10t (cm)
B. x = 4cos(10t + 3) (cm)
C. x = 16cos10t (cm)
D. x = 16cos(10t + 3/2) (cm)
B3. Một vật đồng thời thực hiện hai dao động điều hòa có phương trình dao động :
x1 = 8cos(4t) (cm) và x2 = 8cos(4t + /3) (cm). Dao động tổng hợp của vật là :
A.
A x = 8 cos(4πt + ) (cm)

B. x = 8 cos(4πt + ) (cm)

C. x = 8cos(4πt + ) (cm)

D. x = 8cos(4πt + ) (cm)

B4. Một vật đồng thời thực hiện hai dao động điều hòa có phương trình dao động :
x1 = 8cos(4t) (cm) và x2 = 8cos(4t + 2/3) (cm). Dao động tổng hợp của vật là :
A. x = 8 cos(4πt + ) (cm)

B. x = 8 cos(4πt + ) (cm)

C. x = 8cos(4πt + ) (cm)

D.
D x = 8cos(4πt + ) (cm)

B5. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động :
x1 = 2cos(5t + /2) (cm) và x2 = 2cos(5t) (cm). Vận tốc của vật tại thời điểm t = 2s là :
D
A.   (cm/s)
B. 10 (cm/s)
C.  (cm/s)
D.  10 (cm/s)
B6. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động
x1 = 5cos(5t) (cm) và x2 = 5cos(5t + /2) (cm). Tốc độ của vật khi đi qua
VTCB
C. 25 (m/s)
A. 25là :(m/s)
B. 25 (cm/s)
D. 25 (cm/s)
D

B7. Hai dao động điều hòa cùng phương , cùng tần số lần lượt có phương trình dao động :
x1 = 3cos(20πt + ) (cm)

và x2 = 4cos(20π t - ) (cm)

Dao động tổng hợp của một vật đồng thời thực hiện 2 dao động trên là :
A. x = cos(20πt + ) (cm)

B. x = cos(20πt + 3π) (cm)

C. x = cos(20πt - ) (cm)
C

D. x = cos(20πt - 3π) (cm)

B8. Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa có phương trình dao động :
x1 = 15sin(5t) (cm) và x2 = 5cos(5t + /2) (cm). Tốc độ của vật khi đi qua VTCB là :
A. 50 (cm/s)
Giải

B
B. 50 (cm/s)

C. 25 (cm/s)

D. 25 (cm/s)

x1 = 15sin(5t) = 15cos(5t – π/2) ==>x = x1 + x2 = 10cos(5t – π/2)
v = ωA = 5π.10 = 50π cm/s . Chọn đáp án B

B9. Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa có cùng tần số trên trục Ox
Biết dao động thành phần thứ nhất có biên độ A1 = 5 cm, dao động tổng hợp có biên độ
A = 5 cm. Dao động thành phần thứ 2 sớm pha hơn dao động tổng hợp là π/3 và có biên
độ A2 là :
D. 10 (cm/s)
C
B. 5 (cm/s)
C. 5 (cm/s)
A. 10 (cm/s)

B10. Một vật m = 200g đồng thời thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần
số theo hai phương trình x1 = 3sin4t (cm) và x2 = 4sin(4t + /2) (cm), t tính bằng s . Lấy
2 = 10 . Biên độ và năng lượng dao động của vật là :
C
A. 7cm ; 0,04 J
B. 5cm ; 0,16 J
C. 5 cm ; 0,04 J
D. 8cm ; 0,16 J

B11. Hai dao động điều hòa cùng tần số ngược pha khi pha ban đầu của chúng thỏa mãn
điều kiện:
C 2 - 1 = (2k + 1) .
A. 2 - 1 = 2k . B. 2 - 1 = k . C.
D. 2 - 1 = (2k +1)π/2
B12. Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có biên độ lần lượt là 1,2cm và
1,6cm . Gọi k là số nguyên , biên độ dao động tổng hợp của hai dao động trên là 2cm khi độ
lêch pha của hai dao động bằng
D (2k +1)π/2
A. k2 .
B. (2k + 1).
C. (k +1) π/2
D.
B13. Hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, có biên độ lần lượt là 2cm và 6cm .
Gọi k là số nguyên , biên độ dao động tổng hợp của hai dao động trên là 4cm khi độ lêch
pha của hai dao động bằng
C (k -1) π/2
A. k2 .
B. (2k  1).
C.
D. (2k +1)π/2

14. Câu 5(TN – THPT): Hai dao động điều hòa cùng phương,
cùng tần số, có các phương trình dao động là: x1 = 3cos (ωt – π/4)
cm và x2 = 4cos (ωt + π/4 cm. Biên độ của dao động tổng hợp hai
dao động trên là:A A.5 cm. B. 1 cm.
C. 12 cm. D. 7 cm.
Giải x1; x2 vuông pha nên A= = 5 cm
15. Câu 7(TN – THPT): Hai dao động điều hòa cùng
phương, có phương trình: x1 = Acos(ωt +π/3) và
x2 = Acos(ωt - 2π/3) là hai dao động:
A.lệch pha π/2
B. cùng pha.
C
C. ngược pha.
D. lệch pha π/3

A2

O

π/4
-π/4
A1
A1

O

π/3

-2π/3
A2

x

A

x

16. Câu 14(TN – THPT): Cho hai dao động điều hòa cùng phương có các
phương trình lần lượt là x1 = 4cos(πt - π/6) (cm) và x2 = 4cos(πt - π/2) (cm) .
Dao động tổng hợp của hai dao động này có biên độ là
A. 8cm.
B. 4 cm
C. 2 cm
D. 4 cm
B
O
Giải
A=

Vẽ A1 , A2 , A = A1 + A2
==> A =

17. Câu 22. (Đề thi TN ) Hai dao động điều hòa có các
phương trình li độ lần lượt là x1 = 5cos(100t + π/2) (cm)
và x2 = 12cos100t (cm). Dao động tổng hợp của hai dao
động này có biên độ bằng
D 13 cm.
A. 7 cm. B. 8,5 cm. C. 17 cm. D.
Giải Vẽ A1 , A2 , A = A1 + A2
Δφ = π/2 →A = = 13 cm

A2

-π/6

x
A1
A

A

A1

x
O

A2

18.Câu 27(TN THPT): Cho hai dao động điều hòa cùng phương có phương trình lần lượt là:
x1 = A1cost và x2 = A2cos(ωt +π/2). Biên độ dao động tổng hợp của hai động này là
A. |A1 – A2|

B.
B

C. A1 + A2

B.

19. Câu 14(CĐ): Cho hai dao động điều hoà cùng phương có phương trình dao động
lần lượt là x1 = 3sin(5πt + π/2) cm và x2 = 3sin(5πt - π/2) cm Biên độ dao động tổng
hợp của hai dao động trên bằng
A
A. 0 cm.
B. 3 cm.
C. 6,3 cm.
D. 3,3 cm.
20. Câu 22(ĐH): Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có
các pha ban đầu là và – . Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên bằng
A. -

B.
φ= - =

C.
Chọn đáp án D

D.
D

21.Câu 54(CĐ): Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng
phương. Hai dao động này có phương trình lần lượt là x1 = 3cos10t (cm) và x2 = 4sin(10t+π/2)
(cm) Gia tốc của vật có độ lớn cực đại bằng
A
A. 7 m/s2.
B. 1 m/s2.
C. 0,7 m/s2.
D. 5 m/s2.
Giải

x1 = 3cos(10t)
x2 = 4sin(10t+π/2) = 4cos(10t)
==> x1, x2 cùng pha
nên x = x1 + x2 = 7cos10t

A2

O

Vẽ A1 , A2 , A = A1 + A2
==> Gia tốc cực đại:
amax = ω2A = 700 cm/s2 = 7 m/s2 .

Chọn A

A1

A

x

22. Câu 62(ĐH): Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số
có phương trình li độ x = 3cos(πt – 5π/6) (cm). Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ
x1 = 5cos(πt + π/6) (cm) Dao động thứ hai có phương trình li độ là:
A. x2 = 8cos(πt + π/6) (cm)

B. x2 = 2cos(πt + π/6) (cm)

C. x2 = 2cos(πt - 5π/6) (cm)

D
D. x2 = 8cos(πt - 5π/6) (cm)

Giải Vẽ A1

Vẽ A

Vẽ A2 = A – A1 = A + (- A1)

A1

x, x1 ngược pha, nên x và – x1 cùng pha
Do A > A1 nên φ2 = φ = - 5π/6

O

Do đó A2 = A + A1 = 8 cm
Suy ra x2 = 8cos(πt - 5π/6) (cm)
Chon đáp án D

-5π/6
A2

D

A

π/6

x

23. Câu 80 (Đề ĐH): Dao động của một chất điểm có khối lượng 100 g là tổng hợp của hai dao
động điều hòa cùng phương, có phương trình li độ lần lượt là x1 = 5cos10t và x2 = 10cos10t (x1
và x2 tính bằng cm, t tính bằng s). Mốc thế năng ở vị trí cân bằng. Cơ năng của chất điểm bằng
A 0,1125 J.
A.
B. 225 J.
C. 112,5 J.
D. 0,225 J.
Giải

Ta có x1, x2 cùng pha nên A = A1 + A2 = 15 cm = 0,15 m
Cơ năng W = mω2A2 = 0,1. 102.0,152 = 0,1125 J

Chọn đáp án A

24. 5. SGK. XÐt mét vect¬ quay OM cã nh÷ng ®Æc ®iÓm sau :
− Cã ®é lín b»ng hai ®¬n vÞ chiÒu dµi.
− Quay quanh O víi tèc ®é gãc 1 rad/s.
− T¹i thêi ®iÓm t = 0, vect¬ OM hîp víi trôc Ox mét gãc 300.
Hái vect¬ quay OM biÓu diÔn phư¬ng tr×nh cña dao ®éng ®iÒu hoµ nµo ?
A. x = 2cos(t – π/3)
C. x = 2cos(t – 300)

B. x = 2cos(t + π/6)
D
D. x = 2cos(t + π/3)

25. 6.(SGK). Cho hai dao ®éng ®iÒu hoµ cïng phươnng, cïng tÇn sè gãc ω = 5π rad/s,
víi c¸c biªn ®é A1 = cm, A2 = cm vµ c¸c pha ban ®Çu tương øng φ1 = π/2 vµ
φ2 = 5π/6 Tìm phươngng trình dao ®éng tæng hîp cña hai dao ®éng trªn.
Giải

Vẽ A1 , A2 , A = A1 + A2

A

A2 = + 2A1A2cos(φ2 – φ1)= 5,25(cm2)
==> A = 2,3 cm
tanφ = = -1,154
==> φ = 1310 = 0,73π
Suy ra x = 2,3cos(5πt + 0,73π) (cm)

A2
A1

φ
O

x