D

Cắt bốn tứ giác như nhau bằng giấy rồi
đánh số bốn góc của mỗi tứ giác như tứ
giác ABCD trong Hình 3.1a. Ghép bốn tứ
giác giấy đó để được hình như Hình 3.1b.

C

4
3
1

2
B

a)

2

4 1

• Em có thể ghép bốn tứ giác khít nhau như
vậy không?
• Em có nhận xét gì về bốn góc tại điểm
chung của bốn tứ giác? Hãy cho biết tổng
số đo của bốn góc đó.

A

3

3
1

2

4

4
2 3

1

3 2
4

b)
Hình 3.1

1

1 . TỨ GIÁC LỒI

 Tứ giác lồi và các yếu tố của nó
 Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó
không có hai đoạn thẳng nào nằm trên cùng một đường thẳng .
•

Trên Hình 3.2 , các hình a, b, c là tứ giác , hình d không phải tứ giác
B

D
C A

A

C

B
a)

•

A

D

A

b)

D

C

Hình 3.2

B

C

B

c)

Trong tứ giác ABCD , các điểm A, B, C, D là các đỉnh
Các đạon thẳng AB, BC, CD, DA là các cạnh

d)

1 . TỨ GIÁC LỒI

 Tứ giác lồi và các yếu tố của nó
 Tứ giác lồi là tứ giác mà hai đỉnh thuộc một cạnh bất
kì luôn nằm về một phía của đường thẳng đi qua hai
đỉnh còn lại.
•

Trên Hình 3.2 , chỉ có tứ giác ở hình a là tứ giác lồi.
B

D
C A

A

C

B
a)

•

A

D

A

b)

D

C

Hình 3.2

B
c)

C

B
d)

Trong tứ giác lồi ABCD , các góc ABC, BCD, CDA và DAB gọi là các góc
của tứ giác . Kí hiệu lần lượt là , ,

1 . TỨ GIÁC LỒI

 Tứ giác lồi và các yếu tố của nó
Quan sát tứ giác ABCD trong Hình 3.4.
- Hai đỉnh không cùng thuộc một cạnh gọi là hai đỉnh đối nhau. Đoạn thẳng
nối hai đỉnh đối nhau là một đường chéo, chẳng hạn AC là một đường
chéo. Kể tên đường chéo còn lại.
- Cặp cạnh AB, CD là cặp cạnh đối. Chỉ ra cặp cạnh đối còn lại.
- Cặp góc A, C là cặp góc đối. Hãy kể tên cặp góc đối còn lại.

1

D

•

Đường chéo còn lại của tứ giác ABCD là BD.

•

Cặp cạnh đối còn lại của tứ giác ABCD là cặp cạnh
AD và BC.

•

Cặp góc đối còn lại của tứ giác ABCD là cặp góc B
và D.

A

 Chú ý : Trong tứ giác hai đường chéo cắt nhau tại một
điểm nằm giữa mỗi đường.

C

B
Hình 3.4

1 . TỔNG CÁC GÓC CỦA MỘT TỨ GIÁC

 Tổng các góc của một tứ giác.
Cho tứ giác ABCD. Kẻ đường chéo BD (H.3.5). Vận dụng
định lí về tổng ba góc trong một tam giác đối với tam giác
ABD và CBD, tính tổng của tứ giác ABCD.
A

•

Áp dụng định lí về tổng ba góc trong một tam giác
đối với tam giác ABD và CBD, ta có:

^𝐴+ ^
𝐵1 + ^
𝐷1=18 0
0
^
^
^
𝐶+ 𝐵2 + 𝐷 2=18 0
0

Khi đó, tứ giác ABCD có:

D

1
2

0
0
0
^𝐴+ ^𝐵+ 𝐶+
^ 𝐷=
^ ^
^
^
^
^
^
¿
18
0
+18
0
=36
0
𝐴+ 𝐵1 + 𝐷1 + 𝐶+ 𝐵2 + 𝐷2
^ 𝐷=36
^
Vậy ^
𝐴+ ^
𝐵+ 𝐶+
00

1
2

C

B

Hình 3.5

1 . TỔNG CÁC GÓC CỦA MỘT TỨ GIÁC

 Tổng các góc của một tứ giác.

 Định lí :
Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600 .
D

A

C

B

0
^𝐴+ ^
^
^
𝐵+ 𝐶+ 𝐷=36 0

1 . TỔNG CÁC GÓC CỦA MỘT TỨ GIÁC

 Tổng các góc của một tứ giác.

Cho tứ giác ABCD như Hình 3.6 .
Hãy tính góc D
B
1200

 Theo định lí về tổng các góc của một tứ giác, ta có :
0
^𝐴+ ^
^
^
𝐵+ 𝐶+ 𝐷=36 0

Do đó :

^𝐷=360 0 − ( ^𝐴+ 𝐵+
^ 𝐶^ )

A

¿360 − ( 110 +120 +80 ) ¿ 5 0
0

Vậy

^
𝐷=50

0

0

0

0

0

80

1100

?

D
Hình 3.6

0

C

1 . TỔNG CÁC GÓC CỦA MỘT TỨ GIÁC

 Tổng các góc của một tứ giác.

2

Cho tứ giác EFGH như Hình 3.7
Hãy tính góc F
E

 Theo định lí về tổng các góc của một tứ giác, ta có :
0
^
^
^
^
𝐸+ 𝐹 + 𝐺+ 𝐻=36 0

Do đó :

^𝐹=36 00 − ( ^𝐸+𝐺+
^ ^
𝐻)

?

¿360 − ( 90 +90 +55 )
0

Vậy

^𝐹=1250

0

0

0

¿12 5

0

H

F

550
Hình 3.7

G

1 . TỔNG CÁC GÓC CỦA MỘT TỨ GIÁC

 Tổng các góc của một tứ giác.

Giải bài toán mở đầu.
D
C

 Thực hiện các bước theo yêu cầu bài toán.
Ta có thể ghép bốn tứ giác khít nhau như Hình 3.1b.

0
^𝐴+ ^
^ 𝐷=36
^
𝐵+ 𝐶+
0

3
1

2
B

Nhận xét: Bốn góc tại điểm chung của bốn tứ
giác được ghép khít nhau.
Khi đó :

4

A

a)
2

4 1
3

3
1

2

4

4
2 3

1

3 2
4

b)

1

3.1

Tính góc chưa biết của các tứ giác trong Hình 3.8.
A

0
^𝐴+ ^
^
^
𝐵+ 𝐶+ 𝐷=36 0
0
^
^
𝐶=36 0 −( ^
𝐴+ ^𝐵+ 𝐷)

B

a) Xét tứ giác ABCD, có :
Hay
Vậy

0

0

0

0

¿ 36 0 −(9 0 +9 0 +9 0 )=9 0
0
^
𝐶=90

0

?

D

a)
V

b) Vì và là 2 góc kề bù , nên :
Vì và là 2 góc kề bù , nên :

x
600

?

^
𝑉𝑈𝑆=18
00 −6 00 =12 00

?
R

C

U

? 1100
b)

0
0
0
^
𝑈𝑆𝑅=18 0 −11 0 =7 0
Hình 3.8
0
^
^
^
^
Xét tứ giác VUSR, có : 𝑉 + 𝑈 + 𝑆+ 𝑅=36 0
0
0
0
0
0
0
^
^
^
Hay ^
𝑅=360 −(𝑉 + 𝑈 + 𝑆) ¿ 36 0 −(9 0 +120 +7 0 )=8 0

S

y

3.2

Tính góc chưa biết của tứ giác trong Hình 3.9.
Biết rằng
H

?

 Xét tứ giác HEFG, ta có :

0
^
^
^
^
𝐻 + 𝐸+ 𝐹 + 𝐺=36 0

0 ^
0
0
0
^
( 𝐸+10 )+ 𝐸+6 0 +5 0 =360

2^
𝐸+12 0 =36 0
0

0

0
0
0
^
2 𝐸=36 0 − 120 =24 0
^𝐸=1200
0
^
Suy ra 𝐻=130

500

G

E

?

600

Hình 3.9

F

3.3

Tứ giác ABCD trong Hình 3.10 có AB = AD, CB = CD, được gọi là
hình “cái diều”.
a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
b) Tính các góc B, D biết rằng
D
C

a) Nối AC, BD (như hình vẽ).
Ta có AB = AD hay hai điểm A cách đều hai đầu mút
B và D

D
C

1
2

1
2

I

CB = CD hay hai điểm C cách đều hai đầu mút B và D
Do đó, hai điểm A và C cách đều hai đầu mút B và D.
Vậy AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.

B

B
Hình 3.10

AA

3.3

Tứ giác ABCD trong Hình 3.10 có AB = AD, CB = CD, được gọi là
hình “cái diều”.
a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
b) Tính các góc B, D biết rằng
D
C

a) Nối AC, BD (như hình vẽ).
Ta có AB = AD hay hai điểm A cách đều hai đầu mút B và D
CB = CD hay hai điểm C cách đều hai đầu mút B và D

D
C

1
2

1
2

I

Do đó, hai điểm A và C cách đều hai đầu mút B và D.
Vậy AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
b) Gọi I là giao điểm của AC và BD.

B

B
Hình 3.10

Vì AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD nên AC ⊥ BD.
Xét tam giác ABD cân tại A có AI là đường cao và là đường phân giác :
nên = = 1000:2 = 500

AA

3.3

Tứ giác ABCD trong Hình 3.10 có AB = AD, CB = CD, được gọi là
hình “cái diều”.
a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của đoạn thẳng BD.
b) Tính các góc B, D biết rằng
D
C

Xét tam giác BCD cân tại C có CI là đường cao và cũng là
dường phân giác :
nên = = 600:2 = 300
0
^
^
^
𝐴1+ 𝐶 1+ 𝐴𝐷𝐶=18 0
0
0
0
0
0
^
^
^
𝐴𝐷𝐶=180 −( 𝐴1+ 𝐶 1)=180 −(50 +30 )=10 0

D
C

1
2

1
2

I

Xét tam giác BCD , ta có :

Xét tứ giác ABCD, ta có :

0
^
𝐵𝐴𝐷+ ^
𝐴𝐵𝐶+ ^
𝐵𝐶𝐷+ ^
𝐴𝐷𝐶=36 0

B

B
Hình 3.10

0
0
0
0
0
0
^
^
^
^
𝐴𝐵𝐶=36 0 −( 𝐵𝐴𝐷+ 𝐵𝐶𝐷+ 𝐴𝐷𝐶)=360 −(10 0 +6 0 +10 0 )=10 0

AA