Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.2. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

BÀI GIẢNG
3.2. Bất đẳng thức AG suy rộng
Định lý 3.2. (Bất đẳng thức AG suy rộng)

Cho trước hai cặp dãy số dương

Khi đó



Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.2. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

BÀI GIẢNG
Nhận xét 3.2. Các phương pháp đã nêu ở trên để chứng minh bất đẳng thức AG đều có thể sử dụng (có cải biên) để chứng minh Bất đẳng thức AG suy rộng.
Chứng minh. Đặt



Sử dụng bất đẳng thức


Ta thu được hệ



Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.2. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

BÀI GIẢNG
Suy ra




Vậy nên


hay


Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay

Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.2. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

BÀI GIẢNG
Hệ quả 3.3.
Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương
với
Khi đó



Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
trong đó
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.2. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

BÀI GIẢNG
Định lý 3.3. Với mọi dãy số dương ta đều có



Chứng minh. Do vai trò của các số hạng là như nhau nên ta có thể coi vế phải của bất đẳng thức là biểu thức dạng

Đặt
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.2. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

BÀI GIẢNG
Ta nêu một cách chứng minh khác đối với bất đẳng thức


Thật vậy, nếu đặt


thì ta có
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.2. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

BÀI GIẢNG
Do đó



Dễ thấy

Nên

Từ đó ta thu được




Đây chính là điều phải chứng minh.
Bạn đã hoàn thành Mục 3.2 Chương 3
Chương 3: Bất đẳng thức giữa các trung bình cộng và nhân
3.2. BẤT ĐẲNG THỨC AG SUY RỘNG

BÀI GIẢNG